Chuyên đề hình học OXYZ

OH vuông góc với ABC nên đường thẳng OH nhận vectơ pháp tuyến nr2;1; 1 − của ABC làm vectơ chỉ phương của nó... Lập phương trình mặt phẳng P đi qua A, B và vuông góc với Q... Gọi H là hì

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

TRONG KHÔNG GIAN

A LÝ THUYẾT

I TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ

A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba

vectơ đơn vị i j kr ur ur, , (ir= = =rj kur 1)

B a a a auur( 1 ; ; 2 3 ) ⇔aur=a i1ur+a j2uur+a k3uur; M(x;y;z)⇔OMuuuuur=xiur+y juur+zkuur

C Tọa độ của vectơ: cho u x y z v x y zr( ; ; ), ( '; '; ')r

5 ABC là một tam giác⇔uuurAB∧uuurAC≠0r khi đó S=12 uuur uuurAB∧AC

6 ABCD là một tứ diện⇔uuurAB∧uuurAC.uuurAD≠0, V ABCD=1 ( )

II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT

a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.

b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có nr(ABC) = [uuur uuurAB AC, ]

c/ α//β⇒nuur uurα =nβ d/ α⊥β⇒nuur uurα =uβ và ngược lại

e/ α//d⇒uuur uurα =u d f/ α⊥d⇒nuur uurα =u d

Chú ý:

* (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0

* Phương trình mặt phẳng đi qua M(a; 0; 0), N(0; b; 0), P(0; 0; c) với a b c, , ≠0 là

đó nuur1 = ( ; ;A B C1 1 1 ),nuur2 = ( ;A B C2 2 ; 2 )là hai VTPT và VTCP uuur uuruur∆ = [n n1 2 ]

†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: =z y=00 ; Oy: 0

0

x z

x y

III.KHOẢNG CÁCH

Cho M (xM;yM;zM), α:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M0(x0;y0;z0), u∆

r},

∆’ {M’0(x0';y0';z0'), u' ∆

uur}

* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=[ , ']. 0 '0

[ , ']

u u M M

u u

r uur uuuuuuuur uur uur

IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}

Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S)

Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R= a b c2 + 2 + − 2 d

1 d(I, α)>R: α∩(S)=∅

2 d(I, α)=R: α∩(S)=M (M gọi là tiếp điểm)

*Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng α là tiếp diện

của mặt cầu (S) tại M khi đó nuurα =uuurIM )

3 Nếu d(I, α)<R thì α sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của

α và (S) Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:

a Tìm r = R d I2 - 2 ( , )α

b Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với α

+H=∆∩α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α)

B CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

I Xác định tọa độ của một điểm:

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2).Tìm tọa độ

điểm O’ đối xứng với O qua (ABC)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC)

OH vuông góc với (ABC) nên đường thẳng OH nhận vectơ pháp tuyến nr(2;1; 1) −

của (ABC) làm vectơ chỉ phương của nó.

2

; 3

4 (

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1),

C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng

2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

Giải:

Ta có uuurAB= (2; 3; 1), − − uuurAC= − − − ⇒ = ( 2; 1; 1) nr (2; 4; 8) − là 1 vtpt của (ABC)

Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0

* Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có phương trình 2x – 3y – z – 2 = 0

* Mặt phẳng trung trực của đoạn BC có phương trình 2x – y – 1 =0

Điểm M là giao của mặt phẳng (ABC), mặt phẳng trung trực của đoạn AB và

mặt phẳng trung trực của đoạn BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ

x y z

x y z

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (6;-2;3); B

+ Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào M∈ ( ).P

Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn.

Ví dụ 7 Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng

z

t y

t x

; 2

M

+ Khoảng cách từ A đến ∆là AH =

5

6 2

, )

, (

d

+ Tam giác AEF đều

5

2 4 3

2 =

1 ( 1 2

2 2

2 y z x

z

t y

t x

⇒ t =

5

2 2

2 4 2 5

2 2 1

1 5

2 4 2 5

2 2 1

z y x

z y x

Ví dụ 8 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ( )P :x+ 2y−z+ 5 = 0 và

2

3 : ) (d x+ = y+ =z− , điểm A( -2; 3; 4) Gọi ∆ là đường thẳng

nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm

trên ∆ điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.

3 2

t z

t y

t x

Gọi I là giao điểm của (d) và (P) ⇒I(2t− 3 ;t− 1 ;t+ 3)

u y

u 1 x

− − và hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2) Tìm điểm I trên đường

thẳng d sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất

Khi A1, I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A1B và d

Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B

Gọi H là hình chiếu của A lên d1 Tìm được H 36 33 15; ;

I là trung điểm của A’B suy ra I 65; 21; 43

− Tìm điểm M thuộc d 1 , N thuộc d2 sao cho

MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2.

Ví dụ 11 Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tìm tọa độ điểm D thuộc

đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất

26 26 26

Ví dụ 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z+ + − = 1 0

và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho

AB’ có phương trình :

1 3 2

x y z

Ví dụ 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7;

II Viết phương trình mặt phẳng:

Ví dụ 1 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ;

1 ; 2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (P)

đi qua A, B và vuông góc với (Q)

Giải:

Ta có uuurAB(1;1;1),nuurQ(1; 2;3), uuur uurAB n; Q = − (1; 2;1)

Vì uuur uurAB n; Q ≠ 0r nên mặt phẳng (P) nhận uuur uurAB n; Q làm véc tơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm M( 0 ; 2 ; 0 ) và có vectơ chỉ phương u( 1 ; − 1 ; 1 )

Đường thẳng d’ đi qua điểm M' ( 2 ; 3 ; − 5 ) và có vectơ chỉ phương u(' 2 ; 1 ; − 1 )

Ta có u ur.uur/ = ⇒ ⊥ 0 u ur uur/

Suy ra d và d’ vuông góc với nhau.

Ta có MM = ( 2 ; 1 ; − 5 ), [ ]u;u' = ( 0 ; 3 ; 3 ), do đó [ ]u;u .'MM' = − 12 ≠ 0 vậy d và d’ chéo nhau.Mặt phẳng ( α )đi qua điểm M( 0 ; 2 ; 0 ) và có vectơ pháp tuyến là u(' 2 ; 1 ; − 1 ) nên có phương trình:2x+ (y− 2 ) −z= 0 hay 2x+y−z− 2 = 0

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần

Giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M( 0 ; 2 ; 0 ) và có vectơ chỉ phương u( 1 ; − 1 ; 1 )

Đường thẳng d’ đi qua điểm M' ( 2 ; 3 ; − 5 ) và có vectơ chỉ phương u(' 2 ; 1 ; − 1 )

Mp( α ) phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và

2

1 60 cos

2

0

2 2

A

C B

=

+

=

0 2

) ( 6

3

C A B C

C A A A

C A B

Ta có 2A2 −AC−C2 = 0 ⇔ (A−C)( 2A+C) = 0 Vậy A=C hoặc 2A= −C

Nếu A=C ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B= 2, tức là n= ( 1 ; 2 ; 1 ) và mp( α )có

phương trình

0 )

Ví dụ 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S) :

(x− 1)2 +y2 +(z+ 2)2 = 9 Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường

thẳng a : 1x = y2−1=−z2và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng 2

2 0 2 1

= +

−

−

5 3 5

D D

Vậy có 2 mặt phẳng : (P1) : x+ 2y− 2z− 5 + 3 5 = 0 và (P2) :

0 5 3 5

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4

Véc tơ pháp tuyến của ( ) α là nr(1; 4;1)

Vì ( ) ( )P ⊥ α và song song với giá của vr nên nhận véc tơ

Ví dụ 6 Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :

+ Mp(Q) qua M và vuông góc với d2 có pt 2x – y - z + 3 = 0

+ Giao của d2 với mp(Q) là H(-1 ;0 ;1)

⇒Điểm đối xứng M’ của M qua d2 là M’(-3 ;-2 ;-1)

2 Gọi A(t;t;2t) và B(-1-2t1 ;-t1 ;1+t1) AB ngắn nhất khi nó là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2

Ví dụ 7 Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng : 1 2.

Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( )α lớn nhất.

Giải:

Gọi K là hình chiếu của A trên d ⇒K cố định;

Gọi ( )α là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên ( )α .

Trong tam giác vuông AHK ta có AH ≤AK.

Vậy AH max =AK ⇔( )α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK.

Gọi ( )β là mặt phẳng qua A và vuông góc với d ⇒( )β : 2x y+ + 2z− = 15 0

(3;1; 4)

K

⇒

( )α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK ⇒( )α :x− 4y z+ − = 3 0

Ví dụ 8 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

t y

t x

31

21

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,

song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất

Giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P).

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P),

ta có AH ≥HI=> HI lớn nhất khi A≡I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến

) 3 1

;

; 2 1

Gọi tâm mặt cầu là I Giả sử I(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(∆)

Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:

t t

III Viết phương trình đường thẳng:

Ví dụ 1 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0

Giải hệ tìm được =m t =11

Khi đó điểm M(1; 4; 3) , uuuurMN = (2; 1; 5) − −

⇒Phương trình d:

1 2 4

Lại có VTPT của(P) là nuurP(1;1;1), VTCP của d là uuurd(2;1; 1) − .

Vì ∆ nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP uuur∆ =u nuur uurd, P=(2; 3;1)−

Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆, khi đóMN xuuuur( − 1;y+ 3; )z

Ta có MNuuuur vuông góc với uuur∆nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0

Lại có N∈(P) và MN = 42 ta có hệ:

2 0

2 3 11 0 ( 1) ( 3) 42

−

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1)

và hai đường thẳng ( ) : 1

*(d) đi qua M1 (0; 1;0) − và có vtcp uuur1 = − − (1; 2; 3)

(d’) đi qua M2 (0;1; 4) và có vtcp uuur2 = (1; 2;5)

*Ta có u uuur uur1 ; 2  = − − ( 4; 8; 4) ≠Our , M Muuuuuuur1 2 = (0; 2; 4)

Xét u uuur uur uuuuuuur1 ; 2 .M M1 2 = − + =16 14 0

∆ , ∆2.

Giải:

*∆ 1 có phương trình tham số

2 2 1 3

Ví dụ 5 Trong không gian cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng (d) có

phương trình: x = -3 + 2t; y = 1 - t; z = -1 + 4t; t ∈ R Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua A; cắt và vuông góc với (d)

Giải:

( 3 2 ;1 ; 1 4 )

∆ ∩ = ⇒ − + − − + , Vt chỉ phương uuurd = (2; 1; 4) −

cả hai đường thẳng (d) và (d’) CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1uur( )

a CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau

b Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’)

Giải:

a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5 v( )

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3uur( − − )

Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là I 1;0;3

2 2

  hay (d) và (d’) cắt nhau (ĐPCM)

∆ có vtcp u2(1; 3; 3) − − ;∆2 đi qua điểmM2(0; 2;0)

• mp(P)chứa ∆ 1và điểm I có vtpt nr=M I uuuuur ur1 , 1 =(3; 1; 2)− −

⇒p/t mp(P) : 3x –y - 2z + 2 = 0

Tương tự mp(Q) chứa ∆ 2và điểm I có vtpt nur' (3;-1;2)

⇒p/t mp(Q) : 3x - y + 2z + 2 = 0

*Vì đường thẳng d qua I , cắt ∆ 1 và ∆ 2, nên d = (P) ∩(Q)

→đường thẳng d có vtcp uuurd =   n nr,ur' = (1;3;0); d đi qua điểm I(1;5;0)

Nên p/t tham số của d là

1

5 3 0

2 2t 2t ' 1 t t ' 0 MN.u 0

6t 3t ' 3 0

t t ' 1 3t 5t ' 2 0

Giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2

lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b)

Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> MA k MBuuur= uuur

MAuuur=(3a− 1;a− 11; 4 2 , − + a MB) uuur=(b; 2 − − −b 3; b)

Gọi A = d1∩(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 ∩ (P) suy ra B(2; 3; 1)

Đường thẳng ∆ thỏa mãn bài toán đi qua A và B

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là ur= (1;3; 1) −

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: x1−1= =3y z−−12

IV Viết phương trình mặt cầu:

Ví dụ 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

2

5 1

1 3

4 :

3 1

2 :

2

z y

Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2 tại hai điểm A và

B khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥d d d( 1 , 2) dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2

Ta tìm A, B :

d1 có vec tơ chỉ phương ur= (3; 1; 2) − −

d2 có vec tơ chỉ phương uuur/ = (1;3;1)

Ta có: / 1

1 '

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R=IA= 6

Nên mặt cầu cần tìm có phương trình là: ( )2 2 2

a Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau

b Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung

của (d1) và (d2)

Giải:

* Đường thẳng (d1) đi qua M1( 1; -4; 3) và có VTCP uuur1 =(0; 2;1)

Đường thẳng (d2) đi qua M2( 0; 3;-2) và có VTCP uuur2 = −( 3; 2;0)

Do đó : M Muuuuuur1 2 = −( 1;7; 5 − ) và u , uuur uur1 2  = − − ( 2; 3;6)

Suy ra u , u M Muur uur uuuuuur1 2  1 2 = − ≠49 0

Vậy (d1) và (d2) chéo nhau

* Lấy A( 1; -4 + 2t; 3 + t) thuộc (d1) và B(-3u; 3 + 2u; -2) thuộc (d2)

B' Y

X N

a Viết phương trình hình chiếu của (d) trên (P)

b Lập ph.trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai

mặt phẳng (P) và (Q)

Giải:

* + Đường thẳng (d) đi qua M(0; -1; 0) và có VTCP uuurd =(1;0; 1 − )

+ Mp (P) có VTPT : nuurP =(1; 2; 2)

Mp (R) chứa (d) và vuông góc với (P) có VTPT :nuurR =u ; nuur uurd P =(2; 3; 2− )

Thay x, y, z từ Pt của (d) vào PT của (P) ta có :

t - 2 - 2t + 3 = 0 hay t =1 Suy ra (d) cắt (P) tại K(1; -1; -1)

Hình chiếu (d’) của (d) trên (P) đi qua K và có VTCP :

Ví dụ 4.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng 2 Gọi M là trung

điểm của đoạn AD, N là tâm hình vuông CC’D’D Tính bán kính mặt cầu đi qua

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 23

Ebooktoan.com

Ví dụ 5 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2),

B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình

:x+ y+z− 2 = 0.Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S)

−

= + + + +

= + + + +

= + +

−

1 d

1 c

1 b 2

5 a

0 21 d c 4 b a 8

0 29 d c 4 b a 8

0 14 d c 4 b a 2

0 2 d b a 2

Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x2 +y2 +z2 − 5x− 2y− 2z+ 1 = 0 

1

; 3

5 H

+) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P)

;t 1

;t 2

5 H t

1 z

t 1 y

t 2 / 5 x

Do H =( )d ∩ ( P ) nên:

6

5 t 2

5 t 3 0 2 t 1 t 1 t 2

x t y

Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của D1 và

t t

V Xác định tâm và bán kính của đường tròn:

Ví dụ 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán

kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1),

C(-1; 2; 3).

Giải:

Ta có: uuurAB= (2; 2; 2), − uuurAC= (0; 2; 2).

Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC lần lượt là:

1 0, 3 0.

x y z+ − − = y z+ − =

Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là nr=uuur uuurAB AC, =(8; 4; 4).−

Suy ra (ABC):2x y z− + + = 1 0.

Tâm I là giao của mặt phẳng trung trực của AB, AC và mặt phẳng (ABC) nên

tọa độ tâm I là nghiệm của hệ

⇒ (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

Phương trình đường thẳng d đi qua I, vuông góc với (P) là:

VI PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta

cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa

vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình

PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp

Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.

Các dạng toán thường gặp:

• Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, …

• Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích,

thể tích, diện tích thiết diện, …

• Bài toán cực trị, quỹ tích

………

Ta thường gặp các dạng sau

1 Hình chóp tam giác

a Dạng tam diện vuông

Ví dụ : Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC=

3

a , (a>0) và đường cao OA= a 3 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.

MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ AB // MN

⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)).

x B

M a

Ví dụ 1: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ∆ABC vuông tại C

Độ dài của các cạnh là SA =4, AC = 3, BC = 1 Gọi M là trung điểm của cạnh

AB, H là điểm đối xứng của C qua M.

Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC).

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB =

AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ∆ABC Đặt

SG = x (x > 0) Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o

B

A

E

F G M

x

4 z

y

M B

A

H

S

C K I

Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA SBuur uur, nên có vectơ pháp tuyến nr1.

Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA SCuur uuur, nên có vectơ pháp tuyến nr2

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM ⊥BC (∆ABC vuông cân)

Ta có: SG⊥ (ABC) ⇒ SG⊥BC Suy ra: BC⊥ (SAM)

Dựng BI ⊥SA⇒ IM ⊥SA và IC⊥SA⇒ ·BIC là góc phẳng nhị diện (B; SA; C).

Ví dụ 3: (Trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác đều

S.ABC có độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính theo a diện

tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).

Hướng dẫn giải

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm ∆ABC Gọi I là

trung điểm của BC, ta có:

Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO = h,

chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:

I C

B S

B'

C A'

a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông

(hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông

b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O

đường cao SO vuông góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần

lượt là Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).

c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b ∆SAD đều

cạnh a và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia

Hy vuông góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H(0; 0; 0),

Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên

Ví dụ: 1 Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a Chứng

minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD).

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A; B ∈ Ox; D ∈ Oy và A' ∈ Oz

⇒ A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1)⇒ Phương trình đoạn

chắn của mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = 0

⇒Pháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): nr(A BC' ) =(1;1;1) và uuuurAC' =(1;1;1)

Vậy AC' vuông góc với (A'BC)

2 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Gọi

D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách giữa hai

⇒ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều

Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0;0;0),

y z

A

B

C D

FH = A F + FD = a + a = a ⇒ =Vậy, ( ' ; ' ') 21

7

a

d A B B C =FH =

3 Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3,

AC=AD=4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

F

D H