Bài tập ôn thi HSG toán 9Dạng Xác định đa thức 1.. Xác định a, b để Px chia hết cho Qx.. Xác định a, b để Px chia hết cho Qx.. Xác định a, b để Px chia hết cho Qx.. Dạng rút gọn biểu thứ
Trang 1Bài tập ôn thi HSG toán 9
Dạng Xác định đa thức
1 Tìm một đa thức bậc hai biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995
2 Tìm một đa thức bậc ba biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1
3 Tìm một đa thức bậc hai, cho biết P(0) = 19, P(1) =85, P(2) = 1985
4 Tìm một đa thức bậc ba P(x), cho biết khi chia P(x) cho các đa thức (x– 1),
(x – 2), (x – 3) đều đợc d là 6 và P(-1) = -18
5 Cho đa thức: P(x) = x4 + x3 + x2 + ax + b và Q(x) = x2 + x – 2 Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)
6 Xác định a và b sao cho đa thức P(x) = ax4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức Q(x) = (x – 1)2
7 Cho đa thức: P(x) = 6x4 - 7x3 + ax2 + 3x + 2 và Q(x) = x2 – x + b Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)
8 Cho đa thức: P(x) = x3 + ax2 + 2x + b và Q(x) = x2 + x + 1 Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)
9 Cho đa thức: P(x) = x4 + ax2 + 1 và Q(x) = x3 + ax + 1 Xác định a để P(x) và Q(x)
có nghiệm chung
10 Xác định d của phép chia đa thức P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 cho đa thức Q(x) =
x – 1
11 Xác định đa thức d của phép chia đa thức P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 cho đa thức Q(x) = x2 – 1
12 Xác định d của phép chia đa thức P(x) = 1 + x + x9 + x25 + x49 + x81 cho đa thức Q(x) = x3 – 1
Dạng Chứng Minh số hữu tỷ
1 Cho a, b, c là những số hữu tỷ khác 0 và a = b + c
2 Cho ba số a, b, c là ba số hữu tỷ khác nhau đôi một Chứng minh rằng:
A =
( ) (2 ) (2 )2
a b + b c + c a
3 Cho a, b, c là ba số hữu tỷ thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng: (a2 −1)(b2−1)(c2 −1) là một số hữu tỷ
Dạng rút gọn biểu thức
4 Rút gọn B = 5x+ x2 +6x+9
7 2
−
10 Rút gọn biểu thức:
Trang 2Dạng toán cực trị
2 Cho 2x + y = 6
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + y2
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy
3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = (3x – x2)(x2 + 5x + 4)
4 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1
x x x
=
+
5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x − +3 2x−1
6 Rút gọn rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x x
=
7 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
B = x2 – 5x + 1
C = (x + 3)2 + (x – 5)2
D = (x2 – 3x)(x2 – 11x + 28)
8 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
B = 1 – x2 + 3x
9 Cho a + b = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = a2 + b2
B = a4 + b4
C = a8 + b8
10 Cho x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 + z2
11 Cho x + 3y = 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2
12 Cho x +2y = 8 Tìm giá trị lớn nhất của: B = xy
13 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = (3x−1)2 −4 3x− +1 5
B = x− + −3 x 7
C = x2 + + +x 3 x2 + −x 6
14 Cho x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x3 + y3 + 2xy
15 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2
2 2
x x
− +
2
1
x x
x x
+ +
4 2
1
x x
+
16 Tìm giá trị lớn nhất của:
2
x x
x x
x
x+
17 a) Chứng minh rằng nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau
b) áp dụng tìm giá trịn nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A = ( x 2) (x 8)
x
x
+
18 Tìm giá trịn nhỏ nhất và giá trin lớn nhất của:
2 2
x y
x y
+
2 2
1
x x x
+
Trang 3C =
2 2
x y
1 1
x
x x
+ + +
19 Cho các số dơng a, b, c, d có tích bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
4
x x
− + +
4x −4x x+ + +1 x 1 +9 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 25x2 −20x+ +4 25x2
Dạng chứng minh bất đẳng thức
1 Với mọi x, y, z chứng minh rằng:
a) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz
b) x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz
c) x2 + y2 + z2 + 3≥ 2(x + y + z)
2 Chứng minh rằng:
a +b ≥ a b+
a +b +c ≥ a b c+ +
3 Cho a, b, c, d, e là các số thực Chứng minh rằng:
4
b
a + ≥ab
b) a2 +b2 + 1 ≥ ab + a + b
c) a2 +b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)
4 Chứng minh rằng:
(a10 +b10)(a2 + b2) > (a8 + b8)(a4 + b4)
5
Dạng chứng Minh đẳng thức Dạng Tìm nghiệm của phơng trình
Dạng Giải phơng trình
2 a) x12 – x6 – 1 = 0 b) x10 + x5 – 6 = 0 c) x6 + x4 + x2 = 0
c) 6x4 +7x3 – 36x2 – 7x +6 = 0
4 a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0
b) x7 – 2x6 + 3x5 – x4 – x3 + 3x2 – 2x + 1 = 0
d) 3x2 +6x + +7 5x2 +10x+14 4 2= − x x− 2
2
x
Trang 49 a) x + 4 x =12 b) 23 x2 −33 x =20
2 3 3
3 2
3
4 1 1
x x
+
−
11 Giải phơng trình:
a) x2 −4x+ +5 x2 −4x+ +8 x2 −4x+ = +9 3 5
b) 2− +x2 2x + − −x2 6x− = +8 1 3
c) 9x2 −6x+ +2 45x2 −30x+ =9 6x−9x2 +8
12 Giải các phơng trình:
c) x2 − − + =4 x2 4 0
Dạng Rút gọn biểu thức
1 a) A = 6 2 2 3 + − 4 2 3 + b) B = 5 − 3 − 29 12 5 − c) C = 3 − 5 10( − 2 3)( + 5)
2 a) 4+ 10 2 5+ + 4− 10 2 5+ b) x 2 2x 4 + − + x 2 2x 4 − −
Dạng chứng minh đẳng thức
1 Cho a+b+c =1 và 1 1 1 0
a + + = b c chứng minh: a 2 +b 2 +c 2 =1
2 Chứng minh 12 12 1 2 1 1 1
a b a b
a + b + (a b) = + −
+ +
3 Với x>0, y>0 và x 2 >y Chứng minh: x y x x2 y x x2 y
+ − − −
4 Cho a>0, b>0 và 1 1
1
a + = b Chứng minh: a b + = a 1 − + b 1 −
Dạng Chứng minh bất đẳng thức
1 Cho a 1,b 1 ≥ ≥ chứng minh: a b 1 b a 1 ab − + − ≤
2 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab bc ca) + +
3 Cho x, y, z, t là các số dơng t/mãn: x+y+z+t = 1Cm: 1 1 1 1
16
x + + + ≥ y z t
4 Cho a>0, b>0, c>0 thoả mãn a+b+c = 1 cm: 1 1 1
9
a + + ≥ b c
5 Chứng minh rằng: (a 10 +b 10 )(a 2 + b 2 ) > (a 8 + b 8 )(a 4 + b 4 )
Dạng Toán cực trị
1 Cho 2x + y = 6 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x 2 + y 2
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy 2.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:A 3 2 22 3
1
x
=
+
3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x− + 3 2x− 1
4.Cho x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x 2 + y 2 + z 2
Trang 55 Tìm giá trị nhỏ nhất của:A = (3x− 1) 2 − 4 3x− + 1 5 ; B = x− + − 3 x 7 ; C =
6.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:
A = ( ) 2
+
+ ; B =
2 2
1
x
+ − + ; C =
2 2
4x 2xy 4y
1 1
x
x x
+ + +
7 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x = 2 + 2y 2 − 2xy 2x 10y + −
B
8 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2 3
4
− + +
Dạng Giải phơng trình
1 a) x 4 +5x 3 – 12x 2 + 5x +1 = 0 b) 6x 4 +5x 3 – 38x 2 + 5x +6 = 0
c) 6x 4 +7x 3 – 36x 2 – 7x +6 = 0
2.a) 6x 5 – 29x 4 + 27x 3 + 27x 2 – 29x +6 = 0
b) x 7 – 2x 6 + 3x 5 – x 4 – x 3 + 3x 2 – 2x + 1 = 0
3.a) (x− + − 1 ) 4 4 x− + 1 x− − 1 6 x− + = 1 9 1 b) 2x+ − 5 3x− = 5 2
c) 1 +x x2 + = + 4 x 1 d) x− − 3 2 x− + 4 x− 4 x− = 4 1
4.a) x+ x− = 1 13 b) 2x2 + 3x+ 2x2 + 3x+ = 9 33
5 a) x2 − + 5 x2 − = 6 7 b) x2 − + 9 x2 − 6x+ = 9 0
c) x2 − − 4 x2 + = 4 0 d) x2 + 2x+ = 1 x+ 1 e) 2 +22 − 2 +22 =72
Dạng Xác định đa thức
1.Tìm một đa thức bậc ba biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1
2.Cho đa thức: P(x) = 6x 4 - 7x 3 + ax 2 + 3x + 2 và Q(x) = x 2 – x + b Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x).
3.Tìm một đa thức bậc ba P(x), cho biết khi chia P(x) cho các đa thức (x– 1),
(x – 2), (x – 3) đều đợc d là 6 và P(-1) = -18
4 Xác định d của phép chia đa thức P(x) = 1 + x + x 9 + x 25 + x 49 + x 81 cho đa thức Q(x) = x 3 – 1
5 Tìm các số nguyên m, n để cho đa thức P(x) = x 4 + mx 3 + 29x 2 + nx 4 + là một số chính phơng
Dạng giải hệ phơng trình
1 a)
2 2 2( 2)
6
x y
1 0 22
x y xy
+ − − =
2 a)
3
3
5
5
= +
2
3 a) 2 2 2 2
x y x y y
x y 144
− =
= +
= + + + +
8
3 ) 1 ( 1
y x
x y y x
c)
=
−
−
= +
−
−
1
1 1
3 1 5
y x
x y
x
4 a)
= + +
= + +
3 6 3 2
3 3 2
yz xz xy
z y x
b)
−
= +
−
= +
−
= +
1 2 2
1 2 2
1 2 2
y x z
x z y
z y x
5 Tìm các số x, y, z dơng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: x+ 2 y+ 3 z = 3và2 xy+ 3 xz+ 6 yz = 3
Dạng tìm nghiệm của phơng trình
1 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 5x + 7y = 112
2 Tìm nghiệm nguyên dơng nhỏ nhất của phơng trình:
a) 16x - 25y = 1 b) 41x - 37y = 187
3 Cho 3 là một nghiệm của phơng trình x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c là các số hữu tỉ) Tìm các nghiệm còn lại
Dạng khác
1 Trong mặt phẳng tọa độ xét đờng thẳng (d m ) có phơng trình: 2mx +(m - 1)y = 2 với m là tham số.
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đờng thẳng (d m ) luôn đi qua một điểm cố định Tìm điểm cố định đó b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d m ).
2 Tìm x biết:
3
14 5
1
x− + 3
1 5
4
x− + ( )3
15 −x = 0
3 a) Có hay không các số tự nhiên n thoả mãn: n 2 + n + 1 chia hết cho 2005 ?
b) Cho x và y là hai số thực sao cho
y
x+ 1 và
x
y+1 đều là các số nguyên CM rằng 2 2 212
y x y
x + là số nguyên.
Lời giải dạng khác:
Bài 1 a) Giả sử khi m thay đổi, các đờng thẳng (d m ) luôn đi qua điểm cố định M 0 (x 0 ;y 0 ) Trong các đờng thẳng (d m ) lấy 2 đờng thẳng d 1 :
y = -2 (ứng với m = 0) và d 2 : x = 1 (ứng với m = 1) => M 0 (x 0 ;y 0 ) thuộc d 1 và d 2
Trang 6=> x 0 = 1; y 0 = -2 Thử lại thấy điểm M 0 (1;-2) luôn thuộc d m với mọi m (đpcm !)
Khi m = 0, ta đợc đờng thẳng d 1 : y = -2 => khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d 1 bằng b) Khi m = 1, đợc đ.thẳng d 2 : x = 1 => khoảng cách từ O đến d 2 bằng 1
Với m ≠ 0, 1 tìm đợc d m cắt Ox tại A(1/m;0) , cắt Oy tại B(0;2/m-1).
Trong ∆ AOB kẻ đờng cao OH => khoảng cách từ O đến d m bằng OH
áp dụng hệ thức lợng trong ∆ AOB , tính đợc OH = 2/ 5m2 − 2m+ 1
Bài 2 Đặt:
−14
5
1x = a ;
−1
5
4
x = b ; ( 15 −x) = c => a + b + c = 0 Chứng minh đợc với a+b+c = 0 thì a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc
Khi đó giả thiết
3
14 5
1
x− + 1 3
5
4
x− + (15 −x)3 = 0 <=>
−14
5
1
−1
5
4x ( 15 −x) = 0 <=> x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15
Vậy các giá trị cần tìm của x là: x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15
Bài 3
a) Ta sẽ chứng minh n 2 + n + 1 không chia hết cho 5 với ∀ n ∈ N.
Xét n = 5k + r với 0 ≤ n ≤ 4 => n 2 + n + 1 = 5p + r 2 + r + 1
Thử trực tiếp từng trờng hợp của r => r 2 + r + 1 ∈ 1;2;3 => n 2 + n + 1 chia 5 cho d là 1;2;3 => n 2 + n + 1 không chiahếtcho 5 Mặt khác thấy 2005 chia hết cho 5 Vậy không có số tự nhiên n nào thoả mãn: n 2 +n+1 chia hết cho 2005
b)Từ giả thiết => (
y
x+ 1 )(
x
y + 1) ∈ Z =>
xy
xy+ 1 ∈ Z => (
xy
xy+ 1 ) 2 ∈ Z => 2 2 212
y x y
x + ∈ Z (đpcm !)