TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG ÔN HỌC SINH GIỎI MÔN GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY THCS

Những kinh nghiệm ôn luyện : - Trong quá trình ôn luyện, giáo viên nên chia nhỏ các dạng bài đế học sinh dễ nắm bắt, và mỗi dạng bài có cách giải cụ thể và Ví dụ: a, Bài tập tính giá

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG ÔN HỌC SINH GIỎI

MÔN GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY

I Những kinh nghiệm ôn luyện :

- Trong quá trình ôn luyện, giáo viên nên chia nhỏ các dạng bài đế học sinh dễ nắm bắt, và mỗi dạng bài có cách giải cụ thể và

Ví dụ:

a, Bài tập tính giá trị biểu thức có thể chia thành các dạng sau:

- Tính giá trị của biểu thức đại số

- Tính giá trị của biểu thức hình học

- Tính giá trị của biểu thức có sử dụng biến nhớ

b, Bài toán kinh tế có thể chia thành các dạng sau:

- Bài toán lãi kép

- Bài toán trả lãi

- Bài toán gửi góp

- Phải nhận dạng được những dạng bài tập cơ bản mà trong đề thi luôn có như : tính giá trị của biểu thức, bài tập về đa thức, bài toán kinh tế

- Không được ôn tủ, mà phải ôn kĩ các dạng bài Xem các đề thi của năm trước để tìm tòi thêm các dạng bài tập mới

- Luyện cho học sinh thật kĩ, học sinh phải nắm được hết các dạng bài tập

và cách giải của nó, không được mở lại phần hướng dẫn của giáo viên khi gặp được dạng bài đã học

- Khuyến khích các em tự học qua mạng, tự tìm tòi cách bấm máy để cho kết quả nhanh

- Luyện đề cho học sinh sau khi các em đã làm thành thạo các dạng bài tập Luyện đề sẽ giúp các em học sinh củng cố nhiều dạng kiến thức, rèn

luyện kĩ năng làm bài, hình thành thói quen đọc kĩ hướng dẫn của đề ( điều này rất quan trọng với đề thi casio )

II Các dạng bài tập cơ bản thường gặp trong đề thi:

1 Tính giá trị của biểu thức :

- Đây là dạng bài tập luôn có trong đề thi, là bài tập dễ nhất trong đề về mặt toán học nhưng yêu cầu kĩ năng bấm máy cao

- Trong đề thi, bài tập này chiếm từ 5 đến 6 điểm và là dạng bài tập chỉ cần điền kết quả

- Trong quá trình ôn luyện, với dạng bài tập này giáo viên phải luyện được cho học sinh bấm kết quả phải đúng, không được phép đuổi theo kết quả của đáp án

- Với những học sinh mới ôn, giáo viên nên bắt đầu từ những biểu thức đơn giản để học sinh đỡ chán nản

- Có thể chia nhỏ dạng bài tập này như sau:

a, Tính giá trị của biểu thức đại số:

- Bấm máy theo thứ tự thực hiện phép tính

- Với hệ thống máy tính CASIO FX 500MS, CASIO FX 500ES thì phải chú ý đến hệ thống dấu ngoặc

- Nếu biểu thức quá cồng kềnh, phải ngắt phép tính một cách hợp lý

- Hướng dẫn học sinh cách chuyển đổi từ số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số

Cách đổi chung: Đổi số tuần hoàn sang số thập phân: mỗi chữ số tuần hoàn là

1 số 9 dưới mẫu (nếu sau dấu phảy có một con số thì thêm 1 chữ số 0 bên phải

số 9), trên tử lấy nguyên số trừ phần trước tuần hoàn

Kq: A = 10

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức A =23% của

3

2 2

b, Tính giá trị của biểu thức hình học:

- Nhập biểu thức vào máy tính nếu gặp biểu thức đã biết số đo của góc

Ví dụ : B =

2 cos 55 sin 70 10cotg 50 cotg 65 3

sin 90 cot 30 cos 45 tan 20

2 7 sin108 cos32 tan 64

c, Tính giá trị của biểu thức có sử dụng biến nhớ :

- Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) hoặc tính trực tiếp bằng nút Ans

VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x2 -11x - 2006 tại

Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1997)

Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:

Rồi dùng phím # để tìm lại biểu thức, ấn = để nhận kết quả (Ghi kết quả

là -1 904)

Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c) 19951

2

− ; d)

-2006,899966).

Ta có thể sử dụng phím Ans: 1 = 20Ans 2 – 11Ans – 2006 =

VD2: Tính giá trị của biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y -

2.Bài tập liên phân số:

- Giáo viên hướng dẫn học sinh theo 3 dạng:

a Tính giá trị của liên phân số

- Tính theo thứ tự thực hiện phép tính

- Tính ngược từ dưới lên

Ví dụ: Tính

= +

+ + +

5

A 3

4 2

5 2

4 2

5 2 3

= +

+ + + +

c =

ấn Sau đó ấn Máy hiện

ấn ấn Máy hiện 5

Cứ bấm tiếp tục đến khi máy hiện 7

1 a b

=

+ + +

Tìm các số tự nhiên a ; bsao cho

1

1 4

1 3

1 8

1 a b

= +

+ + + + +

c, Tìm x trong liên phân số:

- Tính giá trị của liên phân số

Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x)

Vì hệ số của x5 = 1 nên suy ra Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5)

Nên Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 - 5) = P(6) – 62

Suy ra P(6) = 62 + 5! = 156

a b c

Ấn tiếp: SHIFT SOLVE máy hiện: A = 222 Vậy : a = 222.

Ví dụ 6: Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho đa thức

Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x2 – x – 2 thì cũng chia hết cho (x – 2)(x + 1)

Áp dụng định lí Bezoul và định nghĩa của phép chia hết ta thay x = -1 hoặc x

= 2 vào f(x), ta được f(-1) = 0 ⇔ k = - 30.

c/ Tìm thương của phép chia đa thức: Trong trường hợp chia một đa thức

Pn(x) cho mộtnhị thức x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau:Giả sử khi chia đa thức Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 cho nhị thức x – m ta được đa thức Qn(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + … + b1x + b0 thì giữa các hệ số an , an-1 , an-2 , …, a1 , a0 và bn-1 , bn-2 , b1, b0 có mối quan hệ sau đây:

bn-1 = an

bn-2 = m bn-1 + an-1

b0 = m.b1 + a1 và số dư r = m.b0 + a0

Vậy đa thức thương Q(x) 2x = 3 − 4x 2 + 5x 6 − và số dư r = 7

Ví dụ 2: Tìm thương và số dư của đa thức f(x) 3x = 4 + 5x 3 − 4x 2 + 2x 7 − chia

d/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử:

Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x1, x2 thì nó viết

được dưới dạng ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)”

“Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ pq thì p là

ước của a0, q là ước của a0”

Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có a1 = 1 thì nghiệm

hữu tỷ là ước của a0”

Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a)

Ví dụ 1: Phân tích đa thức f(x) = x3 - 5x2 + 11 x - 10 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm

nghiệm của f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực là x1 = 2

Nên ta biết được đa thức x3 - 5x2 + 11 x - 10 chia hết cho (x - 2).

Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3 - 5x2 + 11 x - 10 cho (x - 2) ta có:

Khi đó bài toán trở về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x – 2)

Khi đó ta có f(x) = (x - 2)(x2 - 3x + 5)

Tam thức bậc hai x2 - 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành

nhân tử được nữa

Vậy x3 - 5x2 + 11 x - 10 = ( x - 2)(x2 - 3x + 5)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử?

Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60).

Ta có Ư(60) = {±1;±2;±3;±4;±5;±6;±10;±12;±15;±20;±30;

±60}

Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:

Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 3) Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x - 3)

Khi đó ta có f(x) = (x + 3)(x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20)

* Ta lại xét đa thức g(x) = x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20

Nghiệm nguyên là ước của 20

Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {±1;±2;±4;±5;±10;±20}

Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):

Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 5) Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5)

Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x3 - 3x2 + 6x - 4)

Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của h(x) = x3 - 3x2 + 6x - 4

Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được:

h(x) = (x - 1)(x2 - 2x + 4) Ta thấy đa thức (x2 - 2x + 4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử

Vậy f(x) = (x + 3)(x + 5)(x - 1)(x2 - 2x + 4)

e.Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

- Sử dụng kĩ năng tìm GTNN, GTLN trong toán học

- Sử dụng máy tính trong việc tính toán

Ví dụ:(đề QN năm 2012)

Cho x là một số thực khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4

b

a ≈0,99851

10 2 3

Giải: - Dùng máy tính, tính một số kết quả:

10 2

1156 3

10 2

111556 3

10 2

11115556 3

 +  =

10 2

3 là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là 6

- Ta dễ dàng chứng minh được nhận xét trên là đúng, do đó

A = 111111111111555555555556

b, Tìm số dư

*, Lý thuyết

Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ≠ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp

số nguyên q và r sao cho:

a = bq + r và 0 ≤ r < |b|

Định lý 1 Giả sử: a chia cho b dư r1, c chia cho b dư r2

1 Nếu r1.r2 < b thì ac chia cho b dư r1.r2

2 Nếu r1.r2 > b thì số dư của phép chia ac cho b là số dư của phép chia r1.r2

cho b

3 Nếu r1 + r2 < b thì a + c chia cho b dư r1 + r2.

4 Nếu r1 + r2 > b thì số dư của phép chia a + c cho b là số dư của phép chia r1

913500 chia cho 9999 dư 3591

101112 chia cho 9999 dư 1122

Vậy số dư của phép chia đã cho là 3591 + 1122 = 4713

Cách 2: Cắt ra nhóm 11 chữ số đàu tiên, tìm số dư rồi viết số dư đó liên tiếp vào phần còn lại tối đa 11 chữ số rồi tìm số dư Nếu còn nữa thì tính liên tiếp nhu vậy

VD: 12345678910 chia cho 9999 dư 31601

360111112 chia cho 9999 dư 4713

*Tìm dư bằng quan hệ đồng dư

- Tìm số dư của phép chia AN cho số nguyên dương B ( Trong đó A và N cũng là số nguyên dương)

Thuật toán: Để tìm số dư của phép chia AN cho B ta tìm số R < 0 sao cho: AN

º R(modB)

Thì R chính là số dư của phép chia trên

Để giải dạng toán này ta cần có một số kiến thức về quan hệ đồng dư

1 Định nghĩa quan hệ đồng dư

Cho 2 số nguyên A và B Ta nói A có quan hệ đồng dư theo modul M với B,

kí hiệu là A º B(modM) khi và chỉ khi M là ước số của (A – B), trong đó M là

số nguyên dương

Ví dụ: 7 º 2(mod5); 2 5 º 4(mod7)

2 Một số tính chất

i A º 0(modM) < => A M M

ii A º B(modM); B º C(modM) => A º C(modM)

iii A º B(modM) => A ± C º B ± C(modM); A.C º B.C(modM)

vi M là số nguyên tố và ƯCLN(A,M) = 1 thì: A M 1 - º 1(modM)

vii M là số nguyên tố thì: (A + B) M º A M + B (modM) M

3 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 52008 cho 2003

Giải: Vì 2003 là số nguyên tố và ƯCLN (5; 2003) = 1 Nên ta có:

º

2002

5 1(mod2003) Suy ra: 5 2002 5 6 º 5 (mod2003) 6 º 1064(mod2003)

Vậy số dư của phép 52008 cho 2003chia là 1064

Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 199140 cho

Giải: Cách 1: Ta có: 1991 2 º 289(mod2008); 1991 3 º 1111(mod2008)

=>1991 5 º 289.1111(mod2008) º 1807(mod2008)

=> 1991 10 º 1807 (mod2008) 2 º 241(mod2008)

=> 1991 40 º 241 (mod2008) 4 º 713(mod2008)

Vậy số dư của phép chia 199140 cho 2008 là 713

Ví dụ 3: Tìm số dư của 32 2012chia cho 11

Dùng máy tính thử ta có 35 ≡1(mod 11)

Có 22012= (24)503 ≡1503(mod 5)≡1(mod 5)

⇒ 22012= 5k +1

32 2012= 35k+ 1= (35)k.3 ≡1k.3(mod11)≡3(mod11)

Vậy số dư của phép chia bằng 3

c, Tìm ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN)

- Phương pháp giải toán

Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của hai số nguyên dương A và B (A < B).Thuật toán: Xét thương BA Nếu:

1 Thương BA cho ra kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc cho ra kết quả dưới dạng số thập phân mà có thể đưa về dạng phân số tối giản ba (a b là các

số nguyên dương) thì:

ƯCLN(A, B) = A:a = B:b ; BCNN(A, B) = A.b = B.a

2 Thương A

B cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng phân

số tối giản thì ta làm như sau: Tìm số dư của phép chia A

B Giả sử số dư đó là

R (R là số nguyên dương nhỏ hơn A ) thì:

ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, R) ( Chú ý: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, B))Đến đây ta quay về giải bài toán tìm ƯCLN của hai số A và R

Tiếp tục xét thương R

A và làm theo từng bước như đã nêu trên

Sau khi tìm được ƯCLN(A, B), ta tìm BCNN(A, B) bằng cách áp dụng đẳng thức:

ƯCLN(A.B).BCNN(A, B) = A.B => BCNN(A, B) = UCLN(A, B)A.B

Bài toán 2: Tìm ƯCLN và BCNN của ba số nguyên dương A, B và C.

Khi đó, dạng phân tích trên được gọi là dạng phân tích chính tắc của số n.

Bổ đề: Mọi hợp số có ước thực sự nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của nó.

Định lí 2: (Xác định số ước số của một số tự nhiên n):

Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta được:

* Bài tập

Bài toán 1: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:

A = 2152 + 3142

- Tính trên máy, ta có: A = 144821

- Đưa giá trị của số A vào ô nhớ A : 144821 SHIFT STO A

- Lấy giá trị của ô nhớ A lần lượt chia cho các số nguyên tố từ số 2:

ANPHA A ÷ 2 = (72410,5)

ANPHA A ÷ 3 = (48273,66667)

tiếp tục chia cho các số nguyên tố: 5, 7, 11, 13, ,91: ta đều nhận được A không chia hết cho các số đó Lấy A chia cho 97, ta được:

- Số các ước số của N chỉ chứa thừa số: 2 là 7, 3 là 5, 5 là 3

- Số các ước số của N chứa hai thừa số nguyên tố:

2 và 3 là: 7x5 = 35; 2 và 5 là: 7x3 = 21; 3 và 5 là: 5x3 = 15

- Số các ước số của N chứa ba thừa số nguyên tố 2, 3, 5 là 7x5x3 = 105

Như vậy số các ước số của N là: 7 + 5 + 3 + 35 + 21 + 15 + 105 + 1 = 192

Bài toán 4: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm

( Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu của tổng các chữ số thứ chẵn

và tổng các chữ số thứ lẻ ( tính từ phải sang ) chia hết cho 11 )

- Số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 sẽ phải có dạng:

10203 4z với z ∈{0, 1, 2, ,8, 9}

lần lượt thử với z = 0; 1; 2; 3 đến z = 3, ta có:

1020334 ÷ 7 = (145762)Vậy số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 là 1020334, thương là 145762

Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x

cho 393 cũng như 655 đều có số dư là 210

Bài 6: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9

Giải

- Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ

số x, y, z sao cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315

Ta có 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz

⇒ 30 + xyz chia hết cho 315 Vì 30 ≤ 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy

tính tìm các bội của 315 trong khoảng (30 ; 1029):

- Nếu 30 + xyz = 315 thì xyz = 315 - 30 = 285

- Nếu 30 + xyz = 630 thì xyz = 630 - 30 = 600

- Nếu 30 + xyz = 945 thì xyz = 945 - 30 = 915Vậy ta có đáp số sau:

a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lượt n = 0, 1,

2, ta được n = 0 và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1.

Chứng minh với mọi n ≥ 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật vậy:

Ta có 92000 ≡ 001 (mod 1000) => 92003 ≡001.93 (mod 1000) ≡729 (mod 1000)

Do đó 2 9 2003 ≡2729 (mod 1000) ≡2700.229 (mod 1000)≡376.912 (mod 1000) ≡

912 (mod 1000)

Vậy 3 chữ số cuối cùng của 2 9 2003 là 912

Bài 5 Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn của

số tự nhiên: = 2010

Định lí: (Dấu hiệu nhận biết một phân số đổi được ra số thập phân hữu hạn)

Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra

số thập phân hữu hạn là mẫu số của nó không chứa những thừa số nguyên

tố ngoài 2 và 5

* Từ định lí trên ta rút ra nhận xét sau:

Nếu phân số tối giản a

b có mẫu b không chứa các thừa số nguyên tố 2,

5 hoặc ngoài thừa số nguyên tố 2, 5 còn chứa cả thừa số nguyên tố khác thì do các số dư trong quá trình chia bao giờ cũng phải nhỏ hơn b nên các số dư chỉ

có thể là các số trong: {1; 2; 3; ;b-1}

Như vậy trong phép chia a cho b, nhiều nhất là sau (b - 1) lần chia có thể gặp các số dư khác nhau, nhưng chắc chắn rằng sau b lần chia thì thế nào

ta cũng gặp lại số dư đã gặp trước Do đó, nếu ta cứ tiếp tục chia thì các số dư

sẽ lặp lại và dĩ nhiên các chữ số trong thương cũng lặp lại