Đề thi HSG 9 (dự kiến) năm 2009 - 2010

I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.. AI cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMN và ABC lần lượt tại E và F.. a Chứng minh tứ giác AMIC nội tiếp.. b So sánh IE và IF.. HÕt -PHÒN

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

DUY TIÊN

Đề thi đề xuất

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4đ).

a) Cho phương trình x2- x- 1 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 (x2 < 0) Tính giá trị của biểu thức:

1

3

b) Giải hệ phương trình:

3

1 2

x y xy

x x y



Bài 2 (3đ): Tìm số thực a để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:

x − a+ x+ a + =

Bài 3 (5đ).

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2

10 3

5 6

x C

+

=

− + + b) Giải phương trình:

x2 − − = −3x 1 23 x4−x2

Bài 4 (6,5đ) Cho tam giác ABC có AB > AC > BC Trên các cạnh AB; AC lấy lần lượt 2

điểm M và N sao cho BM = BC = CN I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC AI cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMN và ABC lần lượt tại E và F

a) Chứng minh tứ giác AMIC nội tiếp

b) So sánh IE và IF

Bài 5 (1,5đ) Cho Parabol (P) y = x2 Tìm tất cả các số thực m ≥ 0 sao cho qua điểm M(0;m) có đúng 2 dây cung của (P) có độ dài bằng 2

HÕt

-PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

MÔN TOÁN 9

BÀI NỘI DUNG ĐIỂM

1 a) x2- x- 1 = 0(1)

x1; x2 là 2 nghiệm của (1) ; x2 < 0 nên x1 > 0

x12 = x1+1 ; x22 = x2+1

0,25

x14= (x1+1)2 = x12+2 x1+1= 3 x1+2

Tương tự x24 = 3 x2+2

0,5

x15 = x1(3x1+2) = 3x12+ 2x1

( )2

1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1.( 1 1 0)

x − x + = x + x + = x + = +x x + >

0,5

8

A = x1+1- ( 2 ) 1 2

3 − x − = + + = + =x x 3 3 3 0,25

b)

3

1(1)

x y xy

x x y

 Thay (1) vào (2) được 2x3 = (x+y)(x2+y2-xy) = x3+y3

1,25

Bài 2

Viết pt đã cho là pt bậc 2 đối với a:

∆ = − − +

1,0

Pt có nghiệm khi ' ( ) ( ) 2

3

Để pt đã cho có nghiệm nguyên thì x∈{1; 2;3} 0,25

x= 1 tìm được 3 2

4

BÀI NỘI DUNG ĐIỂM

x = 3 tìm được 9

4

Bài 3

a) –x2+ 5x +6 = (x+1)(6-x)

ĐK: -1 < x < 6

0,25

2 5 6 1 6

− + + = + −

Đặt x+ = 1 a a( > 0); 6 − =x b b( > ⇒ + 0) 10 3x= 4a2 +b2

1,0

2 2 2 2

4

C

+

Dấu “=” xảy ra khi 2 2 2

4

5

b) Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của pt đã cho 0, 5 Chia cả 2 vế cho x ≠ 0 được pt:

3

− − = − −

1,0

Đặt 3 1

x

− = ; ta có pt 3

KL: Nghiệm của pt đã cho là 1 5

2

a) Chứng minh được · · 1·

2

1,0

b) Chứng minh được ∆ BIF cân tại F => IF = BF(*) 0,5

(1)

BF ME BFC MEN

BC MN

Chứng minh được MIE MCN ME IE (2)

MN CN

Từ (1) và (2) => IE BF

Bài 5

Phương trình đường thẳng (d) đi qua M(0;m) có dạng : y = ax + m

Pt hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 – ax – m = 0.(1)

Vì m≥0 nên pt (1) luôn có 2 nghiệm x1; x2 A(x1; x12) ; B(x2;x22) là giao

của (d) và (P)

0,25

BÀI NỘI DUNG ĐIỂM

Tính được AB2 = a4 + (4m +1)a2+4m

Để AB = 2 thì ta có a4 + (4m +1)a2+4m = 4 (2)

Đặt a2 = t ( t≥0) Ta có pt:

t2 +(4m + 1 ) t + 4(m-1) = 0 (3)

0,25

Để có đúng 2 dây cung của (P) có độ dài bằng 2 thì pt (2) có 2 nghiệm;

=> pt (3) có đúng 1 nghiệm dương

0,25

Chứng minh được pt(3) có ∆ = (4m− 1) 2 + > 16 0 với mọi m nên có 2 nghiệm

 4(m-1) < 0 m < 1

Kết luận: 0≤ <m 1

0,25