dang toan 9 co ban

CAÙC DAẽNG TOAÙN Cễ BAÛN LễÙP 9 THệễỉNG GAậP TRONG CAÙC Kè THI Chúng ta đã biết rằng: Trong chơng I của phần Đại Số 9 với tiêu đề là căn bậc hai - Căn bậc ba, thì kiến thức cũng nh kĩ nă

CAÙC DAẽNG TOAÙN Cễ BAÛN LễÙP 9 THệễỉNG GAậP TRONG CAÙC Kè THI

Chúng ta đã biết rằng: Trong chơng I của phần Đại Số 9 với tiêu đề là căn bậc hai

- Căn bậc ba, thì kiến thức cũng nh kĩ năng cơ bản của nó chính là vận dụng ĐN, HĐT

và các phép biến đổi của căn thức vào việc giải các bài tập tính toán và thu gọn (Các công thức biến đổi căn bậc hai đợc nhắc lại ở cuối chuyên đề) Song có không ít các bài tập trong chơng trình, đặc biệt là các bài tập dành cho các em HS khá giỏi thì việc thực hiện vận dụng trực tiếp các kiến thức đó sẽ dẫn đến một lời giải rờm rà, không ngắn gọn

và thậm chí không giải đợc Sau đây là một số dạng toán đó và kèm theo là cách giải quyết loạt bài tập nh vậy

dạng 1 Vận dụng "hệ thức Viét" để đa biểu thức có dạng S 2 P± về dạng ( a± b)2

(Biểu thức S±2 P đa đợc về dạng ( )2

a± b nếu S và P là tổng và tích của hai số))

Chúng ta bắt đầu với các căn thức có dạng S 2 P± Việc đa căn thức này về dạng

( a± b)2 chỉ dễ dạng thực hiện đợc nếu nh các số a và b là không quá lớn và dễ nhẩm Tuy nhiên việc tìm hai số a và b trong nhiều trờng hợp là một vấn đề không đơn giản

Xét bài toán: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A=5 48 10 7 4 3− + b) B= 66536 192 14168+

Biểu thức A tuy có nhiều dấu căn nhng khá đơn giản cho HS khi thực hiện rút gọn căn thức từ trong ra ngoài, ở biểu thức B thì tuy có ít dấu căn nhng việc đa biểu thức

66536 192 14168 + về dạng bình phơng của một tổng (hay bình phơng của một hiệu) thì

đúng là một việc khó làm!

Trở lại bài toán ban đầu đã đặt ra là đa biểu thức có dạng S 2 P± về dạng ( a± b)2

S± P = a± b ⇔ ±S P = a± b ⇔ ±S P = + ±a b ab

Từ đó thấy rằng có thể coi S = (a + b) còn P = ab

Trên cơng vị là một ngời giáo viên thì chúng ta đều biết rằng nếu hai số a và b có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số a và b là nghiệm của phơng trình bậc hai: x2 - Sx + P = 0 (Theo hệ thức Viét) Do vậy để đa biểu thức có dạng S±2 P về dạng ( )2

a± b ta làm theo các bớc sau:

• Bớc 1: Viết căn thức đã cho về dạng S± 2 P (chú ý phải có số 2 đứng trớc P)

• Bớc 2: Lập phơng trình x2 - Sx + P = 0 rồi giải tìm đợc hai nghiệm x1 = a và x2= b

• Bớc 3: Biến đổi và rút gọn căn thức S± 2 P = ( a± b) 2 = a± b

Chúng ta hãy cùng minh hoạ bằng một việc rút gọn một số biểu thức sau đây:

Ví dụ 1) M = 10 2 21−

Bớc 1: Căn thức đã cho đã có dạng S±2 P với S = 10 và P = 21

Bớc 2: Có thể nhẩm nhanh đợc ngay hai số 3 và 7 có tổng bằng 10 và tích bằng 21

Bớc 3: Khi đó M = 10 2 21 − = ( 7 − 3) 2 = 7 − 3

Chú ý: Trong thực hành ta chỉ cần trình bầy bớc 3

Ví dụ 2) N = 53 4 90 +

Bớc 1: Đa căn thức N = 53 4 90 + về dạng 53 2 360 + với S = 53 và P = 360

Bớc 2: Phơng trình x2 - 53x + 360 = 0 có hai nghiệm x1 = 45 và x2 = 8

Bớc 3: Khi đó N = 53 4 90 + = 53 2 360 + = ( 45 + 8) 2 = 45 + 8 3 5 2 2 = +

Ví dụ 3) Q = 65 2 984+

Thực hiện tơng tự trên ta có đợc: Q = 2

65 2 984 + = ( 41 + 24) = 41 + 24 = 41 2 6 +

Ví dụ 4) K = 66536 192 14168 + = 66536 2 130572288 + (làm xuất hiện số "2")

2 ( 64512 2024) 64512 2024 96 7 2 506

Bài tập đề nghị: Rút gọn các căn thức sau:

9) 40 2 57 − − 40 2 57 + 10) 8 2 10 2 5+ + + 8 2 10 2 5− +

11) 6 2 2 3+ − 2+ 12+ 18− 128 12) 15− 216 + 33 12 6−

13) 4+ 10 2 5+ + 4− 10 2 5+ 14) 14 8 3− − 24 12 3−

15) 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ − + 16) 2 2− 21−4 11−6 2

17) 13 30 2+ + 9 4 2+ = +5 3 2

dạng 2

phơng pháp tính gián tiếp giá trị của một biểu thức

Đối với một số bài toán rút gọn biểu thức số có chứa căn bậc hai thì việc đa biểu thức trong dấu căn về dạng bình phơng của một tổng hoặc một hiệu là không thể (hoặc nếu đa đợc về dạng bình phơng của một tổng hoặc một hiệu thì lời giải khá phức tạp,

đôi khi dài dòng mất nhiều thời gian) Khi đó có thể lựa chọn phơng pháp tính gí trị của biểu thức đó một cách gián tiếp Chúng ta sẽ đi tìm hiểu qua một số ví dụ điển hình sau

đây:

Ví dụ 1) Tính A = 3− 5 + 7 3 5− + 2

Nhận xét: Ta nhận thấy biểu thức 3− 5 và 7 3 5− đều không thể đa đợc về dạng

2

( a± b) và nh vậy không thể rút gọn đợc biểu thức A bằng cách rút gọn mỗi biểu thức thành phần của A

Để ý rằng nếu: gấp đôi biểu thức 3 − 5đợc 6 2 5 ( 5 1) − = − 2

gấp đôi biểu thức 7 3 5 − đợc 7 3 5 14 6 5 (3 − = − = − 5) 2

Và khi đó ta có lời giải của Ví dụ 1 nh sau:

2 2 3 5 7 3 5 2 6 2 5 14 6 5 2

( 5 1) (3 5) 2 5 1 3 5 2 4

Vậy A = 4 : 2 2 2 =

Ví dụ 2) Tính B = 2+ 3+ 2− 3 (2)

Nhận xét: Ta nhận thấy biểu thức B có thể rút gọn bằng cách nhân hai vế của (2) với 2 (tơng tự cách giải của Ví dụ 1) Tuy nhiên ta thấy rằng 2 + 3 và 2 − 3là các

biểu thức liên hợp của nhau, tích của chúng có giá trị bằng 1 Do đó ta nghĩ tới việc có thể lập tích 2 + 3 2 − 3 bằng cách xét luỹ thừa bậc hai của biểu thức B Ta có lời giải cho Ví dụ 2 nh sau:

Ta có: B 2 = ( )2

2 + 3 + 2 − 3 = + 2 3 2 + − 3 2 (2 + + 3)(2 − 3) 4 2 6 = + =

Do 2 + 3 + 2 − 3 > 0 nên B > 0 Vậy B = 6

 KL1: Nh vậy khi thực hiện thu gọn biểu thức A ta có thể tính kA (việc xác

định hệ số k tuỳ thuộc vào hạng tử trong căn) hoặc luỹ thừa của A (việc xác định bậc của luỹ thừa tuỳ thuộc vào bậc của căn thức)

Chúng ta tiếp tục thấy đợc sự "lợi hại" của phơng pháp luỹ thừa của biểu thức cần thu gọn qua các ví dụ sau:

Ví dụ 3 Tính C = 3 10 1 3 10 3

Để ý thấy 2 10 3 2 10 1

3 3

+ và 2 10 3

9

− là hai biểu thức liên hợp của nhau

C 3 =

3

3 10 1 3 10 1

3 3 3 3

=

(Vận dụng HĐT: (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b))

C 3 = 10 1 10 1 3 10 1 10 1

+ + − +  + ữữ − ữữ

3

C)

C 3= 3 100

27

Suy ra: C 3 - 6C - 4 = 0 ⇔ (C + 2).(C 2 - 2C - 2) = 0 Do C > 0 nên C + 2 ≠ 0

Do đó ta có C 2 - 2C - 2 = 0

Tìm đợc C 1 = 1+ 3 (Thoả mãn C > 0); C 2 = 1 - 3 (Loại, không thoả mãn C > 0)

Vậy C = 1+ 3

Ví dụ 4 Tính D = 4− 10 2 5− − 4+ 10 2 5− (3)

Ta có: D 2 =

2

4 10 2 5 4 10 2 5

= 4− 10 2 5 4− + + 10 2 5 2 (4− − − 10 2 5 )(4− + 10 2 5 )−

8 2 16 (10 2 5) 8 2 6 2 5 8 2 ( 5 1) 8 2( 5 1) 6 2 5 ( 5 1)

Do 4− 10 2 5− < +4 10 2 5− ⇒ 4− 10 2 5− < 4+ 10 2 5− ⇒D < 0 Vậy C = 1 − 5

Ví dụ 5 Tính E = 3+ 5 2 3+ − 3+ 5 2 3− + 3− 5 2 3+ + 3− 5 2 3−

Đặt E 1 = 3+ 5 2 3+ + 3− 5 2 3+ Tính (E 1 ) 2 rồi tìm đợc E 1 = 3 1 +

Đặt E 2 = 3− 5 2 3− − 3+ 5 2 3− Tính (E 2 ) 2 rồi tìm đợc E 2 = 1 − 3

Do vậy E = E 1 + E 2 = 2

Ví dụ 6 Tính G = 5+ 17 2 7+ + 5− 17 2 7+ − 7

Đặt G 1 = 5+ 17 2 7+ + 5− 17 2 7+

Bằng phơng pháp luỹ thừa bậc hai biểu thức G 1 ta tìm đợc G 1 = 7 1 + Do vậy G = 1

 KL2: Nh vậy khi thực hiện thu gọn biểu thức A = B + C ta có thể tính gián tiếp

B hoặc C hoặc cả B và C

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Rút gọn các căn thức sau:

1) 2− 3( 5+ 2) 2) 3− 5 + 3+ 5

2

8 2 10 2 5 + + + 8 2 10 2 5 − + + 2 − 10

5) 6+ 18 2 17+ + 6− 18 2 17+ + 6+ 18 2 17− − 6− 18 2 17−

1 15

4

1

+

−

−

Bài 2: Thực hiện phép tính:

1 A = 3 20 14 2 + + 3 20 14 2 − 2 B = 3 2+ 5 +3 2− 5

3 C =

3 6 3 10+ −3 6 3 10−

5 E = 3 5 2 13 + + 3 5 2 13 − 6 F = 3 45 29 2 + + 3 45 29 2 −

Bài 3 Cho a = 3 − 5 3( + 5)( 10 − 2) CMR a là số tự nhiên

Bài 4 CMR: 4 49 20 6 449 20 6 3

2

HD: Ta có: 49 20 6 (5 + = + 24) 2 = ( 3 + 2) 4 Suy ra: 4 49 20 6 + = 3 + 2

Tơng tự nh vậy, ta có: Từ đó ta có ĐPCM

dạng 3

tính giá trị của biểu thức KHI BIếT GIá TRị MộT biểu

thức LIÊN HợP CủA Nó

Ví dụ 1 Cho A = 16−2x+x2 − 9−2x+x2 =1 Tính B = 16 2 − x x+ 2 + 9 2 − x x+ 2 Nhận xét: Ta nhận thấy A và B là hai biểu thức liên hợp của nhau Tích của chúng bằng

7, là một số không đổi Do đó ta có thể lập tích A.B từ đó có cách giải cho bài toán này Giải: Ta có A.B =( 16 2 − x x+ 2 + 9 2 − x x+ 2 )( 16 2 − x x+ 2 − 9 2 − x x+ 2 )

⇒ 1 B = (16 2 − x x+ 2 ) (9 2 − − x x+ 2 ) 7 = Vậy B = 7

Một số Bài tập cùng dạng Ví dụ 1

1.Cho 25 x − 2 − 15 x − 2 = 2 Tính 25 x − 2 + 15 x − 2

2.Cho x 2 −6x 13+ − x 2 −6x 10 1+ = Tính x 2 − 6x 13 + + x 2 − 6x 10 +

3 Tính M = x 2 − 4x 9 + + x 2 − 4x 8 + Biết 2 2 1

2

4 Tổng quát 1: Cho M = A(x) a + + A(x) b + = c Tính N = A(x) a + − A(x) b +

5 Tổng quát 2: Cho M = A(x) a + − A(x) b + = c Tính N = A(x) a + + A(x) b +

Chú ý: A(x) a + ≥ 0; A(x) b 0 + ≥ nên A(x) a + + A(x) b + ≥ A(x) a + − A(x) b + Hay M ≥ N ⇒ khi lập đề toán tơng tự cần chú ý đến ĐK : c ≥ a b

c

−

⇔ c 2 ≥ a - b để bài toán có tồn tại Đây là một điểm mà một số GV không để ý đến vì vậy thờng chỉ lập ra đợc đề toán và giải đợc nó tuy nhiên không để ý đến tính logíc của bài Toán

Ví dụ sau đây là một câu trong đề thi HSG của một số năm.

Tính M = x 2 − 4x 9 + + x 2 − 4x 8 + Biết N = 2 2 1

2

− + − − + = (?!!!)

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức S = x 1 +y2 +y 1 +x2 với xy+ ( 1 +x2 )( 1 +y2 ) =a

HD: Tính a2 - 1 = x y2 2 + + (1 x2 )(1 +y2 ) 2 + xy (1 +x2 )(1 +y2 )- 1

Ví dụ 3 Cho (x + x 2 + 1).(y + y 2 + = 1) 1 Tìm giá trị của biểu thức A x= 2007 +y2007

Đây là một dạng bài tập gặp khá nhiều trong các lần thi chọn HSG huyên hay tỉnh, đôi khi là trong các kì thi vào THPT

Giải: Từ (x + x 2 + 1).(y + y 2 + = 1) 1⇒ + + = = + − = + −

+ − + +

2

2

1

+ − + +

2

2

x 1 x

Từ (1) và (2) ⇒(x + x 2 + − 1) ( x 2 + − 1 x) (= y 2 + − − 1 y) ( y 2 + + 1 y)

⇒2x = -2y ⇒ x = -y ⇒x2007 = (-y)2007 = -y2007

Vậy A x= 2007 +y2007= −y2007 +y2007= 0

Tổng quát VD3: Cho (A + A 2 + a ).(B + B 2 + = a ) a Tìm GT của b't': M A= 2k 1 + +B2k 1 +

dạng 4

một số phơng pháp so sánh hai biểu thức chứa Cbh

1 áp dụng tính chất a> ⇔b a> bvới a ; b ≥ 0

Ví dụ 1.1: So sánh 3 và 11

Vì 9 < 11 nên 9 < 11 Vậy 3 < 11

Ví dụ 1.2: So sánh 2

35 và 3

36

Vì 2.36= 72 < 35.3 = 105 nên 2 3

35 < 36 Vậy 2

35 < 3

36

2 Đa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh

Ví dụ 2: So sánh 2 3 và 3 2

Ta có 2 3 = 12; 3 2 = 18 Vì 12 < 18 nên 2 3 < 3 2

3 Bình phơng mõi số rồi so sánh

Ví dụ 3.1: So sánh 2 3 và 3 2

Ta có(2 3) 2 = 12; (3 2) 2 = 18.Vì 12 < 18 nên (2 3) 2 < (3 2) 2.Vậy 2 3<3 2

Ví dụ 3.2: So sánh 5 + 3 và 6 + 2

Ta có ( 5 + 3)2 = 8 + 2 15; ( 6 + 2)2 = 8 + 2 12

Vì 15 > 12 nên 8 + 2 15> 8 + 2 12 Vậy 5+ 3 > 6 + 2

(Chú ý: ở Ví dụ 3.2 có 5 + 3 = 6 + 2 nên dùng pp bình phơng hai số)

4 áp dụng tính chất a > bvà c > d ⇒ a+ c > b+ d với a;b;c;d ≥ 0

(phơng pháp cộng vế với vế của các bất đẳng thức cùng chiều)

Ví dụ 4: So sánh 4 5 3 2+ và 2 7 2 3+

Ta có 4 5 3 2+ = 80 + 18 ; 2 7 2 3+ = 28 + 12

Vì 80 > 28; 18 > 12 , nên 80 + 18 > 28 + 12

Vậy 4 5 3 2+ > 2 7 2 3+

Chú ý: Phơng pháp này không đợc dùng để trừ các BĐT cùng chiều

5 áp dụng tính chất a > bvà c < d ⇒ a− c > b− d với a;b;c;d ≥ 0

(phơng pháp trừ vế với vế của các bất đẳng thức ng ợc chiều )

Ví dụ 5: So sánh 2 5 2 2− và 3 2 3−

Ta có 2 5 2 2− = 20 − 8 ;3 2 3− = 18− 9

Vì 20 > 18; 8 < 9 , nên 20 − 8 > 18− 9

Vậy 2 5 2 2− > 3 2 3−

6 áp dụng tính chất bắc cầu: a > bvà b > c ⇒ a > c với a;b;c ≥ 0

Ví dụ 6: So sánh 65 1− và 15 + 8

Ta có: 65 1− > 64 1 8 1 7− = − = ; 15+ 8 < 16 + 9 = + =4 3 7

Dó đó 65 1− > 7 > 15+ 8 Vậy 65 1− > 15 + 8

7 Đa về hai phân số cùng tử có mẫu dơng (hoặc cùng mẫu ) rồi so sánh:…

Ví dụ 7: So sánh 2010− 2008 và 2009 − 2007

2010 2008 < 2009 2007

Vậy 2010− 2008 < 2009 − 2007

(Chú ý: 2010 - 2009 = 2009 - 2007 = 2)

8 Giả sử và biến đổi tơng đơng:

Đề bài: So sánh a và b

Cách 1: Giả sử a> b⇔…….⇔ c > d

Nếu c > d là Đ thì a> b là Đ; Nếu c > d là S thì a > blà S, khi đó a≤ b

Cách 2: Giả sử a < b⇔…….⇔ c < d

Nếu c < d là Đ thì a < b là Đ; Nếu c < dlà sai thì a < bsai, khi đó a≥ b

Chú ý: Phơng pháp này dùng thích hợp cho trờng hợp a ≠ b

Ví dụ 8.1: So sánh 8− 3 và 7 − 2

Ta giả sử 8− 3 ≥ 7 − 2(*)

BĐT (**) sai nên BĐT (*) sai, vậy ta có 8 − 3 < 7 − 2

Bài tập đề nghị.

Bài 1: So sánh

1) 4 và 20 11) 3 5 2 7+ và 2 10 3 3+ 21) 4 + 7 − 4 − 7 − 2 và số 0 2) 7 − 2 và 1 12) 8 + 5 và 7 + 6 22) 4+ 7 − 4− 7 và 2 3) và 5 + 3 13) 2005 + 2007 và 2 2006 23) a− b ; a b− (a > b > 0) 4) 2 3 3 và 3 23 14) 2000 − 1999và 2001 − 2000 24) a+ b ; a b+ (a > b > 0) 5) 7 + 15 và 7 15) 2009 − 2008 và 2011 − 2010 25) x+ − 1 x ; x− x− 1 (x ≥ 1) 6) 3 ; 5 − 8 16) 3 2 và 2 3 26) n + n 2 và 2 n+1+

7) 33 và 3 133 3 17) 2005− 2002 và 2007− 2004

8) 17 + 5 1 và 45 + 18) a 3 3 3 và b=2 2 1 = − −

9) 5

222 và 3

111

19) 2000 − 1999; 2001 − 2000

10) 23 2 19 và 27

3

8

2 và 1 27

2

+ +

Bài 2

1998 2.

1999

HD câu a: Từ BĐT: a b+ ≥2 ab với a,b không âm  ab a b2 1 2

a b ab

+

+

b) Cho A = 9 + 3 7 và B = 9 - 3 7 Hóy so sỏnh A + B và A B

Bài 3 Chứng minh các BĐT sau:

2) Chứng minh rằng 2000 2 2001 − + 2002 < 0

3) 211+312 +413 + +(n+11) n <2











+ +













+

−

=













+

−

= +

=

1 1

1

1 1

1

1 1 )

1 ( )

1

(

1

k k k

k

k k

k

k k

k

k k

k













+

−

=













+

−

<

1

1 1

2

2 1

1 1

k k k

k k k

3 2 2

3 2 3

2 2

3 2

5

−

−

− +

+ +

+

<

1 1

1 1

1

+

−

= + +

Từ đó tính tổng:

100 99 99 100

1

4 3 3 4

1 3

2 2 3

1 2

2

1

+ +

+ +

+ +

+ +

=

S

6) a)

100

2 + 2 + + 2 + 2 < 2

1 4 4 44 2 4 4 4 43

dấu căn

b) 6+ 6+ 6+ 6 + 30+ 30+ 30+ 30 <9

7) a 2( − a) ≤ 1; ∀ ≥ a 0 8) 3 − 4x+ 4x+ 1 ≥ 2 Với mọi x t/mãn:

4

3 4

1 ≤ ≤

9(*) ( )( ) 2 2

2

−

−

−

+ + +

−

y x

y y x

y x y

x

y

x

với x≥ 0 ;y≥ 0 ;x≠ y

11)

1

2 1 1

2 1

2

2

−

=

+









−

−

− + +

+

a a

a a

a a

a

a

(a > 0& a ≠ 1) 12) 1 1 1 1 n

13) 2 n 1 2 n 1 2 n 2 n 1

n

+ − < < − − .Từ đó suy ra 2004 1 1 1 1 2005

Bài 4: Cho a; b; c ≥ 0 Chứng minh rằng:

1

2

a b

ab

+ ≥ (Bất đẳng thức Côsi) 2 a b c+ + ≥ ab+ bc + ca

2

b+ ≥a (a > 0; b > 0)

dạng 5

một số bài toán mang tính chất của dãy số có quy luật

Bài 1: Cho biểu thức : Sk =( 2 1 + ) (k + 2 1 ; k − )k ∈ Ơ*

a) Chứng minh rằng S 2009 S2010 - S4019 = 2 2 (n∈N ; n≥ 2 )

b) S m + n + Sm -n = Sm S n (∀m,n∈Ơ*;m n )>

HD: a) Đặt a = 2 1 + và b = 2 1thì a.b = 1 và a− + b=2 2

S 2009 S2010 - S4019 = (a2009 + b2009)( a2010 + b2010) -(a4019 + b4019)

= a4019 + b4019 + a2009 .b2010 + a2010 .b2009 - a4019 - b4019

= a2009 .b2010 + a2010 .b2009 = (a.b)2009.( a2 +b2) =12009.(a+b) = 2 2 b) S m + n +Sm -n = am+n + bm+n + am-n + bm-n = am+n + bm+n+ anbn.( am-n + bm-n) (Do anbn =1)

= am+n + bm+n+ ambn+ anbn = (am + bm)( an+ bn) = Sm S n Chú ý: Cũng từ câu b ta suy ra S 2009 S2010 =S4019 +S1 ⇒ S 2009 S2010 - S4019 = S1 = 2 2

Bài 2: Cho biểu thức : ( ) (n )n

n

S = 5 + 4 + 5 − 4 a) Tính S 2 b) Chứng minh rằng S 2n = 2

n

S - 2 (n∈N ; n≥ 2) HD: a) = ( 5 + 4) (2 + 5 − 4)2 = + 9 2 20 9 2 20 18 + − =

b) Đặt a = 5 + 4và b = 5− 4 thì a.b = 1

Ta có 2

n

S - 2 = (an + bn )2 - 2 = a2n + b2n +2anbn -2 = a2n + b2n +2(ab)n -2 = a2n + b2n = S2n

Bài 3: Gọi x1; x2; x3 là các nghiệm của phơng trình x 3 - 5x2+ 3x + 1 = 0 (1)

Đặt An = x1n + x2n + x3n Chứng minh rằng An là số nguyên với (với mọi n ∈ Ơ *)

(Trích đề thi HSG Tỉnh HY năm học 2009 - 2010) HD: Giải PT (1) tìm đợc x1 = 1; x2;3 = 2± 5

Ta có An = n + +( ) (n + − )n

1 2 5 2 5 Đặt Bn = (2 + 5) (n + − 2 5)n

Ta có Bn+2 = ( ) (+ ) +

= (2+ 5) (2+ − 5) (2    + 5) n 1+ + −(2 5) n 1+ − +(2 5).(2− 5) (2  + 5) n+ −(2 5) n 

⇒ Bn+2 = 4Bn+1 + Bn (*) Ta lại có B0 = 2∈Â ; B1 = 4∈Â (**)

Từ (*) và (**) ⇒ Bn ∈Â với mọi n ∈ Ơ *.Vậy An là số nguyên với (với mọi n ∈ Ơ *)

Bài 4: Giả sử phơng trình ax2 + bx + c = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2

Đặt Sn = x1n+x2n (n nguyên dơng)

a) CMR aSn + 2 + bSn+ 1 + cSn = 0 b) áp dụng: Tính gtr của: A=

5 5

2

5 1 2

5 1







 − +







 +

HD: a Đk để (1) có hai nghiệm là b2 - 4ac ≥ 0

Ta có: aSn + 2 + bSn+ 1 + cSn = a(x1n+2+x2n+2) + b(x1n+1+x2n+1) + c(x1 +x2 )

= (ax1n+2+ bx1n+1+ cx1n) + (ax2n+2+ bx2n+1+ c+x2n)

= x1n(ax12+ bx1+ cx1) + x2n(ax22+ bx2+ cx2) = x1n .0 + x2n .0 = 0

(Do x1 và x2 là nghiệm của (1) nên ax1 + bx1+ cx1= 0 và ax2 + bx2+ cx2 = 0)

b Đặt S5 = ( ) (5 )5

1 + 5 + − 1 5 thì S1 = ( ) (1 )1

1 + 5 + − 1 5 = 2; S2 = ( ) (2 )2

1 + 5 + − 1 5 = 12

- Phơng trình bậc hai ẩn x nhận x1 = + 1 5;x2 = − 1 5làm nghiệm là: x2 - 2x - 4 = 0

(a =1; b = -2; c = -4)

- Theo câu a ta có 1.S 3+ (-2)S2 + (-4)S1 = 0 Do S1 = 2 và S2 = 12 nên ta tìm đợc S3 = 32

- Tơng tự có: 1.S 4 + (-2)S3 + (-4)S2 = 0 Với S2 = 12; S3 = 32, tìm đợc S4 = 114

- có : 1.S 5 + (-2)S4 + (-4)S3 = 0 Với S3 = 32, S4 = 114, Tìm đợc S 5 = 356

Vậy A = S 5 / 32= …

dạng 6: một số bài tập khác

Bài 1 Cho a là một nghiệm dơng của phơng trình 4x2 + 2x - 2= 0 Tính giá trị của biểu thức 4 a +1 2

A =

a + a +1 - a (Trích đề thi HSG Tỉnh HY 2009 - 2010) HD: a là một nghiệm dơng của phơng trình 4x2 + 2 x - 2= 0

⇒ 4a2 + 2a - 2= 0 ⇒ 2 1 a 4 1 2a a2

8

2 2

Ta có:A = 4 a +1 2

8 2 2 2 2 2 2

4 2 1- 2a + a a 1-a a 1- a

Bài 2 Cho phơng trình x2 + x - 1 = 0 Cmr phtrình có hai nghiệm trái dấu Gọi x1 là nghiệm âm của phơng trình Hãy tính giá trị của biểu thức: 8 1 1

1 10x 13 x x

Bài 3 Tính giá trị của biểu thức ( 3 2 )2009

2 8

5 6 14 5

38 5 17

3

+

⋅

− +

−

=

x

5 − 14 6 5 − = 5 + 3 − 5 = 5 3 + − 5 3 = ⇒ M = 3

2

17 5 38 − 5 2 + = 17 5 38 17 5 38 − + = 17 5 − 38 = 1⇒ T = 1

Vậy x =

3

1

thay vào biểu thức A ta có:

2009

2009

Vậy A=32009