Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.. D06 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng ABC.. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vu
Trang 1MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC-HÌNH HỌC
( có giải chi tiết )
B06 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =a 2, SA = a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I
là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
HD: Cách 1: Dễ thấy I là trọng tâm ∆ABD ⇒ BI = 2 BM
3 = a 23 và AI = 1AC a 3
3 = 3
∆ABI có BI2 + AI2 = 2a2 3a2 a2 AB2
3 + 9 = =
⇒ BI⊥ AI và BI ⊥ SA ⇒ BI⊥(SAC) ⇒(SMB) ⊥ (SAC)
Khối tứ diện SABC có thể chia làm 3 tứ diện:
SABN ; CNBI ; ANIB
Gọi V = VSABC; V1 = VSABN; V2 = VCNBI
Ta có : V 1 V 2 SN.SA.SB CN.CI.CB
V + V =SC.SA.SB SC.CA.CB+
V V 1 2 1 1 2 1 1 5.
V 2 2 3 2 3 6
+ = + = + =
⇒ VANIB = SABC
1V 1 1 BA.BC.SA
6 =6 6
= 1 a.a 2.a
36 ⇒ VANIB =
3
a 2 36
C2:
Xét ∆ABM và ∆BCA vuông đồng dạng ?
ABM +BAC =BCA+ BAC =90 ⇒AIB= 90 ⇒MB AC⊥ (1)
SA ⊥(ABCD) ⇒SA ⊥MB (2)
Từ (1) và (2) ⇒MB ⊥(SAC) ⇒(SMB) ⊥(SAC)
Gọi H là trung điểm của AC ⇒NH là đường trung bình của ∆SAC
⇒NH = SA/2= a/2 và NH//SA nên NH ⊥(ABI), do đó VANIB = 1 . 3 2
a
NH S =
A06 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O' , bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB= 2a Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB
Kẻ đường sinh AA' Gọi D là điểm
đối xứng với A ' qua O' và H là hình
chiếu của B trên đường thẳng A'D
Do BH ⊥ A'D và BH ⊥ AA' nên BH ⊥ (AOO'A')
VOO’AB = (1/3)BH.SAOO’
Ta có: A'B2 = AB2 - A'A2 = 3a2 và BD2 = A'D2 - A'B2
= a2 ,suy ra ∆BO'D đều BH= ?
Vì AOO' là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên:
SAOO' = a2 /2
Vậy thể tích khối tứ diện OO'AB là: 1 3 2
3 2 2
a a
y z
x B
S
C
D
M I
a
C
I H M
N
D A
B
C E
O A
O'
C B
H
Trang 2D06 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM
S ABC ABC
a
V = SA S∆ = (đvtt)
+ ∆SAB vuông tại A có AM là đường cao
⇒ SM.SB = SA2 ⇒ 22 4
5
SM SA
SB = SB =
+ ∆SAC vuông tại A có AN là đường cao
⇒ SN.SC = SA2⇒ 22 4
5
SN SA
SC = SC =
.
SAMN
SAMN SABC SABC
V SA SM SN
V = SA SB SC = ⇒ =
⇒ VABCMN = VSABC – VSAMN = 9 3 3 3
25 SBAC 50
a
A07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP
HD:
Gọi H là trung điểm của AD
Do ∆SAD đều nên SH ⊥ AD
Do (SAD) ⊥ (ABCD) nên
SH⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ BP (1)
Xét hình vuông ABCD ta có
∆CDH = ∆BCP
CH ⊥ BP (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BP⊥ (SHC)
Vì MN//SC và AN // CH ⇒(AMN) // (SHC)
Do đó: BP⊥(AMN) ⇒ BP⊥ AM
Kẻ MK ⊥ (ABCD) , Ta có: VCMNP = (1/3)MK.SCNP
MK = SH = S = CN CP= V =
-B07 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN
và AC
A
B
C
S
K M
P
N H
D
C S
Trang 3Gọi H là tâm ABCD ⇒SH ⊥(ABCD)
Từ BH ⊥ AC và BH ⊥ SH suy ra BH ⊥ (SAC)
Và Gọi I, K là trung điểm SA và AB :
IH// BE và MK// BE nên IH//MK
MK//IH (1) và KN//AC (2)
1(1) và (2) ⇒ (MKN) // (SAC)
(MKN) ⊥ BD ⇒MN ⊥ BD
Khoảng cách giữa MN và AC
bằng khoảng cách từ H đến (KMN) = HQ/2
D07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC= BAD= 900 , BA = BC = a,
AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
HD:
Kẻ CE vuông góc AD, thì tứ giác OBCE là hình vuông nên CE=AE=ED=a Sử dụng định
lý Pitago ta có: CD2 =2a2 ,SC2 = 4a2 ,SD2 = 6a2 ;
SD2 =SC2 + SD2 ⇒ ∆ SCD vuông tại C
b) Gắn vào hệ trục tọa độ Oxyz:
A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); C(a, a, 0); D(0, 2a, 0); S(0, 0, a)
Hạ HI vuông góc với AB, HK vuông góc SA
3
a
SB a= AI = AK a=
Pt mp(SCD): x y+ + 2z−2a=0
⇒d(H;(SCD))=a
3
A08 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'
HD:
Gọi H là trung điểm của BC
Suy ra A'H ⊥(ABC) và AH = 12BC=12 a2+3a2 =a
Do đó : A'H =A'A2 – AH2 = 3a2 ⇒A'H =a 3
Vậy '. 1 ' 3
a
V = A H S =
Trong tam giác vuông A'B'H có: HB'2= A'B' 2 + A'H2 =4a2 nên tam giác
B'BH cân tại B' Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' thì ϕ = B'BH
· ' ;cos =BH/2 1
BB' 2.2 4
a
B BH
a
H
B
C' B'
A'
I
N
K
H
D A
S E
M
A
C
E
S K
D I
B H
Trang 4B08 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN
Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH ⊥ (ABCD) Do đó SH là đường cao của hình chóp S.BMDN.Ta có: SA2 + SB2 = AB2 nên tam giác SAB vuông tại S, suy ra SM = AB/2
Do đó tam giác SAM đều, suy ra SH =a 3/2 Diện tích tứ giác BMDN là
SBMDN=SABCD/2 = 2a2 Thể tích khối chóp S.BMDN là VSBMDN= 3 3
3
a (đvtt).
Kẻ ME//DN Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng SM và DN Ta có (SM,ME) = ϕ
Theo định lý ba đường vuông góc ta có SA ⊥ AE
SE2 = SA2 + AE2 = 5a2/4 ; ME2= AM2 + AE2 = 5a2 /4 Suy ra tam giác SME cân tại E nên và
· ;cos =ME/2 / 2 1
a SME
a
-D08 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' =a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C
HD:
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B Thể tích khối lăng trụ là
VABC.A'B'C' = AA’.SABC = 2.1 2 3 2
a
a a = (đvtt)
Gọi E là trung điểm của BB’.Khi đó mặt phẳng (AME) song song với B’C nên khoảng cách giữa hai đường thẳng AM,B’C bằng khoảng cách giữa B’C và mặt phẳng (AME) Nhận thấy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) bằng khoảng cách từ C đến mp(AME) Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME)
Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên suy ra đường cao :
12 12 12 1 2 7
7
a h
h = BE +BA +BM ⇒ =
Khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AM bằng
N
M
D A
S
H
M
A B
C
A' B'
C'