2 Đồ thị của hàm số là một đờng cong Parapol nhận trục tung làm trục đối xứng và nhận gốc toạ độ làm đỉnh.. aVẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ.. b Với giá trị nào c
Trang 1A Những công thức biến đổi căn thức:
1) A2 = A
2) AB = A. B ( với A ≥ 0 và B ≥ 0 ) 3)
B
A B
A
= ( với A ≥ 0 và B > 0 ) 4) A2B = A B (với B ≥ 0 ) 5) A B = A2B ( với A ≥ 0 và B ≥ 0 )
A B = − A2B ( với A < 0 và B ≥ 0 )
6)
B
AB B
A = ( với AB ≥ 0 và B ≠ 0 )
7)
B
B A B
A = ( với B > 0 )
B A
B A C B A
C
−
=
±
( Với A ≥ 0 và A ≠ B2 )
9)
B A
B A C B A
C
−
=
±
) ( ( với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )
B Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
a) 2x+3 b)
1 2
3
+
1
2
−
2
1
x
HD: a)
2
3
−
≥
2
1
<
≠
≥
1
0
x
x
d) x≠ 0
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x ≥ 0 )
a) 2+ 3+ 6+ 8 b) x2 – 5 c) x - 4 d) x x−1
HD: a) (2 + 3)( 2 + 1) b) (x+ 5)(x− 5) c) ( x+ 2)( x− 2) d) ( x − 1)(x+ x+ 1)
Bài 3: Đa các biểu thức sau về dạng bình phơng.
a) 3+2 2 b) 3− 8 c) 9+4 5 d) 23−8 7
HD: a) ( )2
1
2 + b) ( )2
1
2
7
4 −
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) ( )2
17
4 − b)
28 3 2
14 6
+
+ c)
5
5
2 +
−
x
x (với x ≠ 5) d)
1
1
−
−
x
x
x ( với x≥ 0 ,x≠ 1) Phần I: Các bài toán về căn thức
Trang 2HD: a) 17−4 b)
2
2 c) x− 5 d) x+ x+1
Bài 5: Tìm giá trị của x ∈ Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên
a)
2
3
+
x ( với x ≥ 0) b)
1
5
+
+
x
x ( với x ≥ 0) c)
2
2
−
+
x
x ( với x ≥ 0 và x ≠ 4)
HD: a) x={ }1 b) x={0 ; 1 ; 9} c) x={0 ; 1 ; 9 ; 16 ; 36}
Bài 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a) x−5=3 b) 3−2x ≤ 5 c) 2
3
3 =
−
+
x
1
3
>
−
x
HD: a) x = 14 b)
2
3
1 ≤ ≤
− x c) x = 81 d) 1 <x< 16
C Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho biểu thức: A =
1
1 1
1
+
−
−
−
+
x
x x
x x
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =
4
9 c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1
HD: a) ĐKXĐ là:
≠
≥
1
0
x
x
, rút gọn biểu thức ta có: A =
1
−
x
x
b) x =
4
9 thì A = 3 c) 0 ≤x< 1
Bài 2: Cho biểu thức: B =
4
5 2 2
2 2
1
−
+
− +
+
−
+
x
x x
x x
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B
b) Tìm x để B = 2
HD: a) Điều kiện:
≠
≥
4
0
x
x
, rút gọn biểu thức ta có: B =
2
3
+
x
x c) B = 2 ⇒ x = 16
Bài 3: Cho biểu thức: C =
−
+
−
−
+
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C
b) Tìm giá trị a để C dơng
HD: a) Điều kiện:
≠
≠
>
1 4 0
a a
a
, rút gọn biểu thức ta có: C =
a
a
3
2
−
b) C dơng khi a > 4
Trang 3Bài 4: Cho biểu thức D =
x
x x
x x
x
4
4 2 2
−
+
+
−
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D
b) Tính giá trị của D khi x = 6−2 5
HD: a) Điều kiện:
≠
>
4
0
x
x
, rút gọn biểu thức ta có: D = x b) D = 5−1
Bài 5: Cho biểu thức E =
1
3 1
− +
−
−
x x
x x
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức E
b) Tìm x để E = -1
HD: a) Điều kiện:
≠
>
1
0
x
x
,rút gọn biểu thức ta có: E =
x
+
−
1
3
c) x = 4
2
2 2
+
−
−
x x x
x
a) Tỡm TXẹ roài ruựt goùn bieồu thửực F
b) Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực F khi x=3 + 8;
c) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa x ủeồ bieồu thửực F coự giaự trũ nguyeõn ?
HD: a) ĐKXĐ:
≠
≥
4
0
x
x
,rút gọn biểu thức ta có: F =
2
2
−
+
x x
1 2 2 2 3
⇒ A = 2 2−1
c) Biểu thức A nguyên khi: x − 2 ={± 4 ; ± 2 ; ± 1} ⇒ x = {0; 1; 9; 16; 36}
D Bài tập luyện tập:
Bài1: Cho biểu thức :
+
− +
− +
+
=
6
5 3
2
a a a
a P
a
−
2 1
a) Tìn ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi: a = 7−4 3
c) Tìm giá trị của a để P < 1
Bài2 : Cho biểu thức: Q= −
+
−
−
+
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
a Rút gọn Q
b Tìm giá trị của a để Q dơng
Bài3: Cho biểu thức: A =
x
x x
x x
x
x
−
+
−
−
+
− +
−
−
3
1 2 2
3 6
5
9 2
a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
Trang 4b, Tìm các giá trị của x để A > 1.
c, Tìm các giá trị của x∈ Z để A∈ Z
Bài4 : Cho biểu thức: C =
1
2 1
3 1
1
+
−
+ +
−
x
a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức C
b, Tìm các giá trị của x để C = 1
2
x) (1 1 x 2 x
2 x 1
x
2
+ +
+
−
−
−
a) Rút gọn M
b) Tìm các giá trị của x để M dơng
c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Bài6: Cho biểu thức: P = − − − + + − 1
2 1
1 :
1
x x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6
A Kiến thức cơ bản về hàm số - Đồ thị của hàm số:
Hàm số bậc nhất một ẩn 1) Hàm số bậc nhất một ẩn có dạng: y = ax + b (a ≠ 0)
2) Hàm số đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0
3) Đồ thị hàm số là một đờng thẳng cắt trục tung tại điểm ( 0; b ) cắt trục hoành tại
điểm (
-a
b; 0 ) Khi b = 0 đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ
4) Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) (a; a’ ≠ 0)
• (d) cắt (d’) khi a ≠ a’.
• (d) // (d’) khi a = a’ và b ≠ b’.
• (d) ≡ (d’) khi a = a’ và b = b’.
Hàm số bậc hai y = ax2 ( a ≠ 0) 1)Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
Phần II: Hàm số và đồ thị
Trang 5Nếu a > 0 hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biíen khi x < 0.
Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
2) Đồ thị của hàm số là một đờng cong Parapol nhận trục tung làm trục đối xứng và nhận gốc toạ độ làm đỉnh Khi a < 0 đồ thị nằm phía dới trục hoành và khi a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành
B Bài tập cơ bản về hàm số - Đồ thị hàm số:
Bài 1 : Cho hai hàm số : y = 2x - 1 và y =
3
2
x +
3
1
a)Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm của chúng
HD : a) Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ, sau đó kẻ đờng thẳng đi qua hai điểm đó
b) Toạ độ giao điểm (1 ; 1)
Bài 2 : Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b biết :
a) Đồ thị hàm số của nó có tung độ gốc bằng 3 và đi qua điểm A (-1 ; 2)
b) Song song với đờng thẳng y =
3
2
− x và đi qua điểm B(3 ; -1)
HD : a) y = x + 3 b) y =
3
2
− x +1.
Bài 3 : Cho hai hàm số : y = 2x2 và y = x – m
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ khi m = -1 và tìm toạ độ giao
điểm của hai đồ thị hai hàm số trên
b) Với giá trị nào của m thì hai đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại hai điểm
HD : a) Vẽ hai đồ thị : y = 2x2 và y = x +1
b) 2x2 = x – m có hai nghiệm phân biệt ⇒ m <
8
1
D Bài tập luyện tập:
Bài 1 : Cho hàm số y = ax + 2 Hãy xác định hệ số a, biết :
a) Hàm số là một đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - 4x + 1
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm a( 2 ; -3)
c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 2
Bài 2 : Cho đờng thẳng y = (m – 2)x + n (m ≠2) (d)
Tìm các giá trị m, n trong các trờng hợp sau :
a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1 ; 2) và B(3 ; - 4)
b) Song song với đờng thẳng 3y + 2x = 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 3 : Cho hàm số y =
2
1
x2 và y = x + m - 1 a) Vẽ hai đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ khi m =
2
5 Tìm toạ độ giao điểm
b) Tìm m để hai đồ thị trên chỉ có một điểm chung
Trang 6A KiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph ¬ng tr×nh bËc hai:
1) C«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
∆ = b2 – 4ac
• NÕu ∆ > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :
a
b x
a
b x
2
;
1
∆
−
−
=
∆ +
−
=
• NÕu ∆ = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x x b a
2
2
1 = = −
• NÕu ∆ < 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
2) C«ng thøc nghiÖm thu gän cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
'
∆ = b’2 – ac (
2 ' b
b= )
• NÕu ∆ ' > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :
a
b x
a
b
x1 = − '+ ∆'; 2 = − '− ∆'
• NÕu ∆ ' = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
a
b x
x1 = 2 = − '
• NÕu ∆ ' < 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
3) HÖ thøc ViÐt vµ øng dông :
a) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) th× :
=
−
= +
a
c x x
a
b x x
2 1
2 1
.
b) Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) nÕu :
• a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm :
a
c x
x1 = 1 ; 2 =
• a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm :
a
c x
x1 = − 1 ; 2 = −
PhÇn III: Ph¬ng tr×nh bËc hai
Trang 7c) Cho hai số u và v có :
=
= +
P v u
S v u
.
thì u và v là nghiệm của phơng trình X2 – SX + P = 0 ( ĐK để phơng trình có nghiệm S2
≥ 4P)
4) Điều kiện nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
• Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi :
>
≥
∆
0
0
2
1 x x
• Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi : x1.x2 < 0
• Phơng trình có hai nghiệm dơng khi :
>
+
>
≥
∆
0
0 0
2 1
2 1
x x
x x
• Phơng trình có hai nghiệm âm khi :
<
+
>
≥
∆
0
0 0
2 1
2 1
x x
x x
B Bài tập cơ bản về ph ơng trình bậc hai :
Bài 1 : Giải các phơng trình sau :
a) x4 – 9x2 + 18 = 0 b) ( x2 + 3x - 2)(x -1) = 0 c) ( 3)( 1)
12 1
2
x x
HD : a) x1 = x2 = 1, x3 = -1 và x4 = 3 b) x1,2 =
2
17
3 ±
− ; x3 = 1 c) x = 2
Bài 2 : Cho phơng trình x2 – (m + 2)x + 2m = 0
a) Giải phơng trình với m = -1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
c) Tính tổng và tích hai nghiệm của phơng trình theo m
c) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình, tìm m để (x1 + x2)2 - x1 x2 = 5
HD : a) x1 = -1; x2 = 2
b) ∆ ≥ 0 ⇒ ∀m
c)
=
+
= +
m x x
m x x
2
2
2 1
2 1
d) m=−1± 2
Bài 3 : Cho phơng trình : 2x2 – (m + 3)x + m = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = 2
b) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn
x1 + x2 =
2
5
x1 x2
c) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x1 −x2
Trang 8HD : a) x1 =
2
1
; x2 = 2 b) m = 2 c) m = 1
Bài 4 : Cho phơng trình x2 + (m – 2)x + m + 5 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = - 2
b) Tìm các giá trị của tham số m để các nghiệm x1 ; x2 của phơng trình (1) thoả mãn
x1 + x2 = 10
HD : a) x1 =1 ; x2 = 3 b) 2
0 16 6
0 16 8
2
2
−
=
⇒
=
−
−
≥
−
−
m m
m
m m
Bài 5 : Cho phơng trình : x2 – 2mx + m2 -1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phơng trình có tổng bình phơng các nghiệm bằng 4
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm
e) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm còn lại
HD : a) x1 =1 ; x2 = 3 b) ∆ = 1 > 0 với ∀m c) x1 + x2 = 2m2 + 2 = 4 ⇒ m = ±1
0 1
0 2
2 ⇒ < −
>
−
<
m m
m
=
=
⇒
=
=
4
0 3
1
2
2
x
x m
m
Bài 6 : Cho phơng trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m là tham số
a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia
HD: a)Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0 ⇔ (m - 1)2 – m2 – 3 ≥ 0⇔ 4 – 2m
≥ 0
⇔ m ≤ 2
b) Với m ≤ 2 thì (1) có 2 nghiệm Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a Theo Viet ,ta có: 3 22 2
a a m
1 2
m− ⇒3( 1
2
m− )2 = m2 – 3⇔ m2 + 6m – 15 = 0⇔ m = –3±2
6
( thõa mãn điều kiện)
C Bài tập luyện tập:
Bài 1 : Giải các phơng trình sau :
a)
2
3
1
5
2
−
=
−
−
x
x x
x b) (4x2 - 25)(2x2 – 7x - 9) = 0 c) x4 + 5x2 + 4 = 0
d) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24
Bài 2 : Cho phơng trình x2 + (m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Chứng minh phơng trình (1) luôn có nghiệm Tìm nghiệm của (1)
c) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để : 1 1 2
2 1
= +
x
d) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức P = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3 : Cho phơng trình x2 – 2(m – 1)x + m2 - 3m = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 0 Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 + x2 = 8
Trang 9d) Tìm m để phơng trình có đúng một nghiệm âm.
e) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
A Các b ớc giải bài toán bằng cách lập hệ ph ơng trình:
B
ớc 1 : Lập hệ phơng trình
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thờng ẩn là đại lợng mà bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết
3) Lập hệ phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các lợng
B
ớc 2 : Giải hệ phơng trình
B
ớc 3 : Kết luận bài toán
B Bài tập cơ bản:
Bài 1 : Giải các hệ phơng trình sau :
a)
=
+
=
−
2
2
5 3
2
y
x
y
x
b)
= +
= +
4
1 1 1
3
1 2 1
y x
y x
c)
+
=
− +
= +
−
1 )
2 )(
1 (
) 3 )(
2 (
xy y
x
xy y
x
HD : a)
−
=
=
1
4
y
x
b) Đặt
=
=
⇒
=
=
12 1 6 1 1
1
v
u
y v x
u
⇒
=
=
12
6
y
x
c)
=
−
=
5
2
y x
Bài 2 : Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đờng, sau 3 giờ thì
hai xe gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km Tính vận tốc xe đạp và ô tô
HD : Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h)
ta có hệ phơng trình :
=
=
⇔
=
−
= +
40
12 28
156 3
3
y
x x
y
y x
Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h), vận tốc của ô tô là 40 (km/h)
Bài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với
vận tốc 35 km/h thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi
từ A đến B
HD : Gọi quãng đờng AB là x(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là y (giờ)
(x > 0 ; y > 1)
Ta có hệ phơng trình :
=
=
⇒
=
−
=
−
8
350 1
50
2 35
y
x x
y
y x
Vậy quãng đờng AB là 350(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là 8 (giờ)
Phần IV: Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Trang 10Bài 4 : Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau.
Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô
đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nớc là 3km/h
HD : Gọi vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là x(km/h), vận tốc ca nô đi ngợc dòng là y (km/h) (x,y > 3)
Theo bài ra ta có phơng trình :
=
=
⇒
=
− + +
=
−
− +
24
27 85
) 3 ( 3
5 ) 3 ( 3 5
9 ) 3 ( 3
y
x y
x
y x
Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là 27(km/h), vận tốc ca nô đi ngợc dòng là 24 (km/h)
Bài 5 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 16 ngày thì xong Nếu đội thứ
nhất làm 3 ngày, đội thứ hai làm trong 6 ngày thì hoàn thành đợc
4
1 công việc Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
HD : Gọi thời gian đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình là x ( ngày) Thời gian
đội thứ hai hoàn thành công việc một mình là y ( ngày)
=
=
⇒
=
+
=
+
⇒
48 24 4
1
6
3
16
1 1
1
y x
y
x
y
x
Vậy thời gian đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình là
24 ( ngày) Thời gian đội thứ hai hoàn thành công việc một mình là 48 ( ngày)
Bài 6 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể Nếu mở vòi
thứ nhất trong 10 phút, vòi thứ hai trong 12 phút thì đợc
15
2 bể nớc Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy trong bao lâu đầy bể ?
HD : Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (phút), thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y (phút)
=
=
⇒
=
+
=
+
⇒
240 120 15
2 12
10
1 80
80
y x
y
x
y
x
Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là 120 (phút), thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 240 (phút)
Bài 7 : Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m Tính diện
tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi
HD : Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x (m), chiều dài của thửa ruộng là y (m) ( x> 0,
y > 0)
=
=
⇒
+
=
+
=
−
⇒
60
15 )
2 3 ( 2 )
(
2
45
y
x y
x y
x
x
y
⇒ Diện tích của thửa ruộng là : 900 m2
