b Tính khoảng cách giữa SC và AB.. d Tìm điểm O cách đều các đỉnh của hình chóp và tính khoảng cách từ O đến các đỉnh đó.. b Tính khoảng cách giữa PD và BC.. d Tìm điểm I cách đều các đỉ
Trang 1Bài 1: Tìm
3
2 1 lim
sin( 3)
→
− −
−
x
x
x
Bài 2: Tìm k để hàm số liên tục trên R
Bài 3: Cho f(x) = cos cos 22x x , tìm
12
÷
,
Bài 4: Cho Cho hàm số y = − 13x3 + mx (m là tham số ) , có đồ thị là đường cong Cm
a) Khi m = 1 , viết phương trình tiếp tuyến của C1 tại điểm có hoành độ x = 3 ;
b) Tìm m để Cm tiếpxúc với đường thẳng ∆ : y = x +2
3
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ; SA vuông góc với đáy;
Cạnh SC lập với đáy một góc 45o.Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của A trên SB và SD.
a) Chứng minh SC ⊥(AEF)
b) Tính khoảng cách giữa SC và AB
c ) Tính góc hợp bởi 2 mp (SAD) và (SBC)
d) Tìm điểm O cách đều các đỉnh của hình chóp và tính khoảng cách từ O đến các đỉnh đó
ĐỀ SỐ 2
Bài 1: Tìm
2
lim sin (2 )
→
− −
−
x
x
x
Bài 3: Cho f(x) = sin2x.sin2x , tìm
12
÷
,
.
Bài 4: (2điểm) Cho y = 2
3 − 2mx (m là tham số) ; có đồ thị là đường cong Cm
a) Khi m = 1 , viết phương trình tiếp tuyến của C1 tại điểm có hoành độ x = 3 ;
b) Tìm m để đường cong Cm tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x + 32
3
Bài 5: Cho hình chóp P.ABCD có đáy là hình vuông cạnh c ; PB vuông góc với đáy;
PD lập với đáy một góc 45o Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của B trên PA và PC
b) Tính khoảng cách giữa PD và BC
c) Tính góc hợp bởi 2 mp (PAD) và (PBC)
d) Tìm điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và tính khoảng cách từ I đến các đỉnh đó
2
x x 6
khi x 2
f (x) x 2
3x k khi x 2
+ −
= −
2
x 3x 4
khi x 1
f (x) x 1
2x 3 khi x 1
= +
Trang 2Cách giải vắn tắt Điểm
Bài 1: (1điểm) Tìm
3
2 1 lim
sin( 3)
→
− −
−
x
x
3
2 1
lim
→
−
x
x
0.5
Bài 2: (1.5điểm) Tìm k để hàm số liên tục trên R
• Hàm số f(x) xác định trên R
•Khi x < 2 là hàm liên tục trên khoảng (–∞ ; 2) ;
•Khi x >2 f(x) = 3x – k là hàm liên tục trên khoảng (2 ; +∞ )
0.25
Tại x = 2 : ;
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 ⇔ xlim ( )→2−f x =xlim ( )→2+f x =f(2) ⇔ 5 = 6 − k ⇔ k = 1
Vậy nếu k = 1 thì f(x) liên tục trên R
0.5 0.25 0.25 0.25
Bài 3: (1.5điểm) Cho f(x) = cos cos 22x x , tìm
12
f π
÷
,
f'(x) = −2cosx(sin2x cosx + cos2x sinx) = −2cosx sin3x = −(sin2x + sin4x) 0.25
f'(
12
π
) = −( sin
6
π + sin 3
π ) = −12+ 23÷
2
+
Bài 4: (2điểm) Cho hàm số y = − 13x3 + mx (Cm)
a) m = 1 ⇒ C1 : y = −13x3 + x ⇒ y' = – x2 + 1
x = 3 ⇒ y = −6 , a = y' = – 8
0,5 Tiếp tuyến của C có phương trình: y = −8x + 18 0.5
b) Tìm m để Cm tiếpxúc với đường thẳng ∆ : y = x +2
3
•∆ là tiếp tuyến của Cm⇔
3 2
1
− + =
⇔
2 3
1
x
= +
=
⇔ m = 2 1.0
2
x x 6
f (x)
x 2
+ −
=
−
x 2lim f (x) x 2lim (3x k) 6 k
x 2
(x 3)(x 2)
x 2
→ −
−
2
lim f (x) lim
x 2
+ −
=
−
1
x
2
x x 6
khi x 2
f (x) x 2
3x k khi x 2
+ −
= −
Trang 3BC⊥AB và BC⊥SA⇒ BC⊥(SAB)
⇒ AE ⊥BC và AE⊥SB⇒ AE ⊥ (SBC)
⇒ SC ⊥ AE (1) ;
0.5
Tương tự SC⊥AF (2) Từ (1) và (2)
⇒ SC⊥(AEF) (điều cần c/m) 0.5
b) (1điểm) Tính khoảng cách giữa SC và AB
AB// (SCD), SC ⊂ (SCD) nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(A,(SCD)) = AF
Góc giữa SC và đáy là ·SCA = 450⇒∆ SAC là ∆vuông cân ⇒ SA = AC =a 2
Trong tam giác vuông SAD ta có : 12 12+ 12
2
a + a ⇒ AF = 6
3
c) (1điểm) Tính góc hợp bởi 2 mp (SAD) và (SBC)
Hai mp (SAD) và (SBC) có điểm chung S và đi qua 2 đg thẳng ADvà BC song song
nên (SAD) cắt (SBC) theo giao tuyến ∆ đi qua S và ∆ //AD 0.25
SA ⊥ AD ⇒ SA ⊥∆ ; SB ⊥ BC⇒ SB ⊥∆
⇒ góc hợp bởi 2 mp (SAD) và (SBC) bằng ·ASB (vì ·ASB nhọn) 0.5
2
AS a= = ⇒ ·ASB = arctan 2
d) (1điểm)Tìm điểmOcách đều các đỉnhcủa h.chóp và tính khoảng cách từOđến các đỉnh đó.
Ta thấy SAC , SBC , SDC là 3 tam giác vuông có chung cạnh huyền SC Gọi O là
trung điểm của C thì OA = OB = OD = 1
2SC Vậy O là điểm cần tìm.
0.75
B
A S
C
F
D E
∆
O
Trang 4Cách giải vắn tắt Điểm
Bài 1: (1điểm) Tìm
2
lim sin(2 )
→
− −
−
x
x
2
lim
→
−
x
x
0.5
Bài 2: (1.5điểm) Xét tính liên tục của hàm số trên R
• Hàm số f(x) xác định trên R
•Khi x > −1 , ( ) 2 3 4
1
f x
x
=
− là hàm liên tục trên khoảng (–1 ; +∞ ) ;
•Khi x < −1 f(x) = 2x – 3 là hàm liên tục trên khoảng (−∞; −1 )
0.25
Tại x = −1 : ;
xlim ( )1 f x f(2) 5
→− = = − ⇔ Hàm số f(x) liên tục tại x = −1
Vậy f(x) liên tục trên R
0.5 0.25 0.25 0.25
Bài 3: (1.5điểm) Cho f(x) = sin2x.sin2x , tìm
12
f π
÷
,
f'(x) = 2sinx(sin2x cosx + cos2x sinx) = 2sinx sin3x = (cos2x − cos4x) 0.25
f'(
12
π
) = cos
6
π
− cos 3
π = 3 1
2 − 2 = 3 1
2
Bài 4: (2điểm) Cho y = 2
3 − 2mx (Cm)
a) m = 1 ⇒ C1 : y = 23x3 − 2x ⇒ y' = 2x2− 2
x = 3 ⇒ y = 12, a = y' = 16
0,5 Tiếp tuyến của C có phương trình: y = 16x −36 0.5
b) Tìm m để đường cong Cm tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x + 32
3
• d là tiếp tuyến của Cm⇔
3 2
⇔
2 3
1 8
m x x
= −
= −
⇔ m = 3 1.0
xlim f (x) xlim (2x 3) 5
(x 1)(x 4)
x 1
→− −
+
2
lim f (x) lim
x 1
=
+
x
2
x 3x 4
khi x 1
f (x) x 1
2x 3 khi x 1
− −
= +
Trang 5AD⊥AB và AD⊥PA⇒ AD⊥(PAB)
⇒ BM⊥AD và BM⊥PA⇒ BM⊥(PAD)
⇒PD ⊥ BM (1) ;
0.5
Tương tự PD ⊥ BN (2) Từ (1) và (2)
⇒ PD⊥(BMN) (điều cần c/m) 0.5
b) (1điểm) Tính khoảng cách giữa PD và BC
BC// (PAD), PD ⊂ (PAD) nên d(BC, PD) = d(BC, (PAD)) = d(B,( PAD)) = BM
Góc giữa PD và đáy là ·PDB = 450⇒∆PBD là ∆vuông cân ⇒ PB = BD =c 2
Trong tam giác vuông SAD ta có : 1 2 12+ 12
2
c + c ⇒ BM = 6
3
c) (1điểm) Tính góc hợp bởi 2 mp (PAD) và (PBC)
Hai mp (PAD) và (PBC) có điểm chung P và đi qua 2 đg thẳng ADvà BC song song
nên (PAD) cắt (PBC) theo giao tuyến ∆ đi qua P và ∆ //AD 0.25
PB ⊥ BC ⇒ PB ⊥∆ ; PA ⊥ AD⇒ PA ⊥∆
⇒ góc hợp bởi 2 mp (PAD) và (PBC) bằng góc ·APB (vì ·APB nhọn) 0.5
2 2
AP c= = ⇒ ·APB = arctan 2
d) (1điểm)Tìm điểm I cách đều các đỉnhcủa h.chóp và tính khoảng cách từIđến các đỉnh đó.
Ta thấy PAC , PBC , PDC là 3 tam giác vuông có chung cạnh huyền PC Gọi I là
trung điểm của PC thì IA = IC = ID = 1
2PD Vậy I là điểm cần tìm.
0.75
A
B P
D
N
C M
∆
I