Viết phơng trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến đi qua điểm A0; -1 3... Viết phơng trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến đi qua điểm A0;-1 3... Suy ra thể tích khối tròn xoay sinh bởi
Trang 1sở gd&đt thái bình
trờng thpt bắc đông quan
đề kiểm tra chất lợng học kỳ II-lần II
môn : Toán 12 – Năm học 2008-2009
( Thời gian làm bài 150 , không kể giao đề )’
I Phần chung dành cho tất cả các thí sinh ( 7,0 điểm)
Câu 1 : (3,5 điểm) Cho hàm số 1
2
x y
x
−
= +
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0; -1)
3 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và đờng thẳng y = -3x – 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh Ox
Câu 2 : (2,0 điểm)
3
log (9x+9) > −x log 3x+ −7
2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
0
4
25
x
f x
t
−
Câu 3 : (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có diện tích đáy bằng 3 , góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng 450 Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu 4 : (0,5 điểm) Cho các số thực dơng x, y Chứng minh rằng 2
y
x y x y e
x
+ < +
II Phần riêng : (3,0 điểm)
Thí sinh học chơng trình nào chỉ đợc làm theo chơng trình đó
1. Theo chơng trình chuẩn
Câu 5a : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng 1
2 '
4
z
= −
= − +
=
Hai mặt phẳng (α) và (α’) lần lợt có phơng trình là x + y -3 = 0 và x + 2z -1 = 0
1. Chứng tỏ (α) cắt (α’) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (α’)
2. Chứng tỏ d1 và d2 chộo nhau Tính khoảng cách giữa d1 và d2
Câu 6a : (1,0 điểm) Trong mặt phẳng phức cho bốn điểm A, B, C, D lần lợt biểu diễn cho bốn số
phức 4 (3+ + 3) ; (3+ 3) ; 1 + 3i ; 2 + (1+ 3)ii i
Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn
2 Theo chơng trình nâng cao
Câu 5b : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho ba điểm ( ;0;0), K(0; ;0) 1 1
3
1 Chứng tỏ ba điểm H, I, K không thẳng hàng Tính diện tích của tam giác HIK
2 Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là hình chiếu vuông góc của trục Ox trên mặt phẳng (HIK)
Câu 6b : (1,0 điểm) Giải phơng trình sau trên tập các số phức : 2 10 5
10
(1 ) ( 3 )
z
i
=
− −
-Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh
sở gd&đt thái bình
trờng thpt bắc đông quan
kiểm tra chất lợng học kỳ II - lần II
môn : Toán 12 –Năm học 2008-2009
hớng dẫn chấm và biểu điểm
Trang 2Nội dung Điểm
Câu 1 : (3,5 điểm) Cho hàm số 1
2
x y
x
−
= +
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)
3 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và đờng thẳng
y = -3x – 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh Ox
b) Sự biến thiên
* Giới hạn-tiệm cận
2
x
→−
→− = +∞ = −∞ ,
Do đó đờng thẳng x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1
x Lim y →±∞ = − , nên đờng thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 0,25 1 (2,0) * Bảng biến thiên +) ' 3 2 ( 2) y x − = + < 0 ,∀x ≠ -2
x -∞ -2 +∞
y’
-y -1 +∞
-∞ -1
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞ ;-2) và ( -2 ; +∞) 0,25 0,25 0,25 c Đồ thị + Giao với Oy : (0;1/2) + Giao với Ox : (1;0) NX : Đồ thị nhận I(-2;-1) là giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng 0,75 2
(1,0) + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm suy ra phơng trình tiếp tuyến có dạng
0 0
1 3
2 2
x
x x
−
−
+ +
+ Vì tiếp tuyến đi qua A(0;-1) nên ta có
0 0
1 3
2 2
x
x x
−
−
+ +
0,25
0,5
+) ĐT y = -3x-1là tiếp tuyến tại tiếp điểm (-1;2) và cắt trục hoành tại điểm(-1/3;0)
Theo hình vẽ ở trên (Tiếp tuyến này không cắt (C) tại một điểm nào khác nữa)
Trang 33
(0,5)
+ Gọi (H1) là hình phẳng giới hạn bởi (C) , Ox , x = -1,x=1.Suy ra thể tích vật thể
tròn xoay sinh bởi (H1) khi quay quanh Ox là
x
−
Đặt x+2=u ⇒ du=dx ; x= -1⇒ u=1 , x=1 ⇒ u =3
3 3
1 1
u
+ Gọi (H2) là hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến (ý 2), Ox, x = -1, x =-1/3
Suy ra thể tích khối tròn xoay sinh bởi (H2) khi quay quanh Ox bằng thể tích của khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng 2 và chiều cao bằng 2/3
2
.( 2 )
+ Thể tích khối tròn xoay cần tìm là V = V1 – V2 = π 64 6 ln 3
9
Câu 2 : (2,0 điểm)
3
log (9x +9) > −x log 3x+ −7
2 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số
0
4
25
x
f x
t
−
∫
trên đoạn [7 ; 16]
+ Điều kiện 3x+1−7 > 0 log3 7
3
x
1
(1,0)
+ Đa bất phơng trình về dạng 2.9x -7 3x – 9 < 0
+ Giải ra log3 9
2
x<
0,25 0,25 + Kết hợp với (*) suy ra log3 7 log3 9
3< <x 2 ( Kết luận ) 0,25 +
1 2
( ) d 4 (25 ) d(25- )
+ Tính đợc ( )f x = +x 8 25− −x 40 ( Xác định và liên tục trên đoạn [7 ; 16] )
0,25 0,25
2
(1,0) + Ta có '( ) 1 4
25
f x
x
= −
+ f(7) = 24 2 33− ; f(9 ) = 1 ; f(16) = 0
Suy ra
ax ( ) 1 , min ( ) 0
Câu 3 : (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có diện tích đáy bằng 3
góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450 Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
Trang 4+ Gọi tam giác đều ABC có cạnh đáy bằng x ⇒ dt∆ABC = 1 2sin 600
2x
2 3 4
x
=
Theo giả thiết ⇒ x = 2 + Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) ⇒ HA = HB = HC
hay H là trọng tâm tam giác ABC
dt ABC
BC
∆
(Vì AI ⊥ BC)
0,25
0,25
Mặt khác góc giữa cạnh bên và mặt đáy hình chóp = (SA,(ABC))=(SA,AH)
= ∠SAH =450⇒∆SAH vuông cân tại H ⇒ HS = HA = HB = HC
Suy ra H là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = HA = 2 3
3 0,25
Diện tích mặt cầu S= 4πR2 = 16
3
Chú ý : Nếu học sinh xác định không chính xác vị trí tâm của mặt cầu mà vẫn đa
ra đợc kết quả đúng về diện tích mặt cầu thì đợc 0,5 điểm
Câu 4 : (0,5 điểm) Cho các số thực dơng x , y Chứng minh rằng
2
y
x y x y e
x
+ < +
2
+
+ (1) Đặt , t > 1
x y
t x
+ =
(1) trở thành lnt > 2( 1)
1
t t
− +
2( 1)
1
t t t
−
+
0,25
+ Xét f(t) = ln 2( 1)
1
t t t
−
− + trên [1;+∞) , [ )
2 2
( 1)
( 1)
t
t t
−
+
Suy ra f(t) đồng biến trên [1;+∞) Do đó t >1 ⇔ f(t) > f(1) = 0
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
0,25
Câu 5a : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng 1
2 '
4
z
= −
= − +
=
Hai mặt phẳng (α) và (α’) lần lợt có phơng trình là x+y-3 = 0 và x + 2z -1 = 0
1 Chứng tỏ (α) cắt (α’) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d2 là
giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (α’)
S
A
B
450
C
Trang 52 Chứng tỏ d1 và d2 chộo nhau Tính khoảng cách giữa d1 và d2
+ (α) có véc tơ pháp tuyến là (1;1;0)→n
(α’) có véc tơ pháp tuyến là '(1;0;2)n→
Dễ thấy hai véc tơ không cùng phơng (Hay n kn kr ≠ ur', ∈R), suy ra (α) cắt (α’)
0,5
1 + d2 là tập hợp tất cả các điểm M(x;y;z) thoả mãn hệ
3 0
x y
+ − =
+ − =
Cho y = 0 ⇒ x =3 và z = -1 ⇒ M(3;0; 1− ∈) d2
+Do d2 vuônggóc với n→ và 'n→ nên d2 có véc tơ chỉ phơng u→2 =→ →n n, '=
(2;-2;-1)
Suy ra phơng trình tham số của d2 là
3 2 2 1
= +
= −
= − −
0,25
0,25
+ Chỉ ra 2 véc tơ chỉ phơng
1
u→, u→2 của d1 và d2 không cùng phơng , đồng thời hê phơng trình sau vô nghiêm
t
+ = −
− = − +
− − =
suy ra d1 và d2 chộo nhau
0,5
2
+ Mặt phẳng (β) chứa d2 và //d1 , suy ra (β) đi qua M và có véc tơ pháp tuyến n→β
vuông góc với
1
u→(-2; 3;0) và u→2 nên lấy n→β = [
1
u→,u→2 ]=(-3;-2;-2)
⇒ Phơng trình (β) : -3(x-3) - 2y - 2(z+1) = 0 ⇔ - 3x - 2y - 2z + 7 = 0
0,25
+ Khoảng cách giữa d1 và d2 bằng khoảng cách giữa d1 và (β) và cũng bằng
khoảng cách giữa M1(0;-5;4)∈ d1 và (β)
⇒d(d1 , d2)= d(M1, (β))= -3.0 2.( 5) 2.4 72 2 2
9 17
=
Kết luận :
0,25
Câu 6a : (1,0 điểm) Trong mặt phẳng phức cho bốn điểm A, B, C, D lần lợt biểu
diễn cho bốn số phức 4 (3+ + 3) ; (3+ 3) ; 1+3i ; 2+(1+ 3)ii i
Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn
+ (4;3A + 3), (0;3B + 3), (1;3), (2;1C D + 3) 0,25
+ Dễ thấy uuurAC( 3;− − 3),uuurBC(1;− 3)⇒uuur uuurAC BC. =0 ⇒∆ABC vuông tại C
Do đó đờng tròn(C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm I của đoạn AB
Trang 6Ta có (2;3 3), 1 2
2
I + R= uuurAB = ⇒ Pt của (C): (x−2)2 +(y− −3 3)2 =4 (1)
Câu 5b : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho ba điểm
( ;0;0) , K(0; ;0)
3
1 Chứng tỏ ba điểm H, I, K không thẳng hàng Tính diện tích của tam giác HIK
2.Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là hình chiếu vuông góc của
trục Ox trên mặt phẳng (HIK)
1
+) ( 1 1; ;0) , ( ;1; )1 1
không cùng phơng (do 1 1: : 0 1:1:1
Suy ra ba điểm H, I, K không thẳng hàng
r uuur uuur
HIK
uuur uuur
(đv dt)
0,5 0,25 0,25
2
+) Dễ thấy nrlà một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (HIK)
+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa Ox và vuông góc với (HIK)
Suy ra VTPT của (P) là nuurp
⊥nr và nuurp
⊥ri⇒ có thể lấy nuurp
=[ nr, ir]= 0; 3; 1
− −
+ Gọi d là hình chiếu vuông góc của Ox trên (HIK) ⇒d =(P) ∩ (HIK)
⇒ d⊥nuurp
, d ⊥nr , do đó d có véc tơ chỉ phơng
144 36 8
p
0,25
0,25
+ Trục Ox cắt (HIK) tại điểm ( ;0;0)1
2
Suy ra pt tham số của d là :
1 85 2 4 18
= +
= −
=
(t∈R)
0,25
0,25
Câu 6b : (1.0 điểm) Giải phơng trình sau trên tập các số phức :
2
10
(1 ) ( 3 )
z
i
=
− −
Trang 710 5
2
10
2
10
10 2
i
z
i
z
10
2
cos( 15 ) sin( 15 ) 1
i i
Kết luận : z = ± i
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý :
- Trên đây chỉ là hớng dẫn làm bài; phải lý luận hợp lý mới cho điểm
- Những cách giải khác đúng vẫn đợc điểm tối đa
- Điểm toàn bài đợc làm tròn đến 0,5