Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A0; 3 với đồ thị C.. Tìm tọa độ các điểm trên trục tung sao cho từ đó ta vẽ được đúng 3 tiếp tuyến đến C.. Tìm tọa độ các điểm E, F lần lượt thuộ
Trang 1ĐỀ SỐ III Thời gian: 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2a Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 3) với đồ thị (C).
b Tìm tọa độ các điểm trên trục tung sao cho từ đó ta vẽ được đúng 3 tiếp tuyến đến (C).
Câu II (2 điểm)
1 Tìm nghiệm của phương trình:
.
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6) và
1 Tìm tọa độ các điểm E, F lần lượt thuộc và sao cho đoạn thẳng EF có độ dài ngắn nhất.
2 Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp
Câu IV (2 điểm)
2 Cho 4 số thực dương x, y, z, t thỏa xyzt = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ được chọn làm câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng và đường tròn
cắt nhau tại 2 điểm A, B Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B và M(0; 2).
Tìm n biết rằng sau khi rút gọn ta được
Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1 Giải phương trình:
2 Cho hình cầu (S) có đường kính AB = 2R Qua A, B dựng lần lượt 2 tia tiếp tuyến Ax, By với (S) và vuông góc với nhau Gọi M, N lần lượt là 2 điểm di động trên Ax, By sao cho MN luôn tiếp xúc với (S).
Chứng tỏ và khối tứ diện ABMN có thể tích không đổi.
………Hết……….
Trang 2BÀI GIẢI ĐỀ SỐ III
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) (học sinh tự giải)
2a Gọi (d) là đường thẳng qua điểm A(0; 3) và có hệ số góc k Þ (d) : y =k(x- 0)+ 3
Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi hệ phương trình
3
4x 4x k
ìï - + + = + ïïí
Þ - x4+2x2+ = -3 4x4+4x2+3
ê = ± ê = ±
Vậy có 3 tiếp tuyến là: y= , 3 y 4 6x 3
9
b Gọi (d’) là đường thẳng qua điểm M(0; m) thuộc trục tung và có hệ số góc k Þ (d') : y=k(x- 0)+m Yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để hệ phương trình:
3
4x 4x k
ìï - + + = + ïïí
ïïî có đúng 3 nghiệm phân biệt
Þ - x4+2x2+ = -3 4x4+4x2+m có 3 nghiệm phân biệt
Þ 3x4- 2x2+(3 m)- = có 3 nghiệm phân biệt 0 Þ m=3
Với m = 3, theo câu a) ta có đúng 3 tiếp tuyến
Vậy điểm cần tìm là A(0; 3)
Câu II (2 điểm)
1 sin2x+cos2x+3sinx- cosx 2- =0
Û (2sinxcosx- cosx) (2sin x- 2 - sinx)+(2sinx 1)- =0
Û (2sinx 1)(cosx- - sinx+1)=0
1
ê çç - ÷÷= ê = + p ê = p + p
ë
¢
Do xÎ [1; 3] nên phương trình có nghiệm: x x 5
2 Điều kiện: x2 1 0 1 x 0 x 1
x
- ³ Û - £ < Ú ³ . + Với x ³ 1:
x2 2x x x2 1 1 0 x 2 x 1 1 0
2
Û çç - ÷÷- - - ³ Û - ³
x 1 4 x2 4x 1 0 x 2 5
x
Û - ³ Û - - ³ Û ³ + (do x³ 1)
+ Với 1- £ x< :0
x2 2x x x2 1 1 0 x 2 x 1 1 0
Trang 3
2
Û çç - ÷÷- - - £ Û - £ - £
2 2
x 1 0 1
ìï - £ ïï
Û £ - £ Û íï -ïïî - ³ Û - £ £ - (do 1- £ x< ).0 Vậy 1- £ x£ -2 5 xÚ ³ 2+ 5
Câu III (2 điểm)
1 VTCP của d1, d2 lần lượt là ur1 =(0; 3; 1)- và ur2 =(1; 1; 0)-
E 0; 3 3t ; t( - 1 1) Î d , F t ; 1 t ; 01 ( 2 - 2 ) Î d2Þ EFuuur=(t ; t2 - 2+3t1- 2; t- 1)
EF ngắn nhất khi EF là đoạn vuông góc chung của d1 và d2
1
2
2
6 t
11
ìïï
uuur r uuur r
Vậy E 0; 15 6; , F 2 13; ; 0
11 11 11 11
2 pt(ABC) :x y z 1 6x 3y 2z 12 0
2+ + = Û4 6 + + - = Gọi ( ), ( )a b lần lượt là mặt phẳng trung trực của cạnh AB, AC
( )a qua trung điểm M(1; 2; 0) của AB và nuura =ABuuur= - 2(1; 2; 0)
Þ pt( ) : 1(x 1) 2(y 2)a - - - = Û0 x 2y- + = 3 0
Tương tự ta có pt( ) : xb - 3y+ = 8 0
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
13 x 49 6x 3y 2z 12
80 13 80 135
49 49 49 49
z 49
ìïï = ï
ïïïî
Câu IV (2 điểm)
1 Đặt 2 dt
t x xdx
2
= Þ = , x= Þ0 t =0, x= Þ1 t = 1
t
+ç + ÷÷
çè ø
Đặt t 1 3tgu dt 3(1 tg u du2 )
2
3 1 tg u
tg u
4 4
+
2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta được:
4 4 4 x4 y4 y4 z4 z4 x4 2 2 2 2 2 2
x y2 2 y z2 2 y z2 2 z x2 2 z x2 2 x y2 2 2 2 2
xy z xyz x yz
Trang 4Þ x4+y4+z4+ =1 x4+y4+z4+xyzt ³ xyz(x+ + +y z t)>0
xyz(x y z t)
+ + +
Tương tự:
4 41 4 1
yzt(x y z t)
y +z +t +1£ + + + (2)
4 41 4 1
ztx(x y z t)
z +t +x +1£ + + + (3)
4 41 4 1
txy(x y z t)
t +x +y +1£ + + + (4).
Cộng (1), (2), (3), (4) ta được 1 1 1 1 1
x y z t xyz yzt ztx txy
ç
Vậy maxP = khi x1 =y= = = z t 1
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ được chọn làm câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm)
1 Gọi (C ) : x2 2+y2- 2ax 2by- + = c 0 M(0; 2)Î (C )2 Þ c= 4b 4
Phương trình trục đẳng phương (d’) của (C1) và (C2):
x2+y2- 2ax 2by- +4b 4- =x2+y2- 2x- 3Û (2a 2)x- +2by+ -(1 4b) = 0
Do (d) cũng là trục đẳng phương của (C1) và (C2) nên:
35 5 a
20
-ï = ï
- = = - Û íïï
ï
ïïïî
Vậy 2 2
2
2 Ta có:
n 2n ( 0 1 2 2 n n)( 0 1 2 2 2n 2n)
(1 x) (1 x)+ + = C +C x+C x + +C x C +C x+C x + +C x . Nhân phân phối và rút gọn số hạng chứa x10, ta được hệ số:
C C0 10n 2n+C C1 9n 2n+C C2 8n 2n+ +C C9 1n 2n+C C10 0n 2n = (1).S
Mặt khác, khai triển (1 x) (1 x)+ n + 2n =(1 x)+ 3n có hệ số chứa x10 là 10
3n
C (2)
Từ (1) và (2), ta có: S=C103n Þ C103n =C1042 Þ n=14
Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1 Điều kiện: x > 0
1 x+ 2 =5log x 2 Û 1 x+ log 4 2 =5log x 2 Û 1 4+ log x 2 =5log x 2 (*)
Đặt t= log x2 , ta có:
æ ö÷ æ ö÷
Û + = Û çç ÷÷÷+çç ÷÷÷- =
Hàm số
æ ö÷ æ ö÷
=çç ÷÷÷+çç ÷÷÷
-è ø è ø nghịch biến trên ¡ nên f(t)= có không quá 1 nghiệm.0
Mà f(1) = 0 nên (*) Û t = Û1 x= 2
Trang 52 Gọi K là tiếp điểm của MN với (S) Ta có:
AM = MK, BN = NK (tính chất tiếp tuyến)
AM AB
(gt) AM (ABN) AM AN
AM BN
íï ^
ïî
MN2 = AM2+AN2
Þ (AM +BN)2 = AM2+AB2+BN2
Þ AM.BN =2R2
VABMN 1AM.BN.AB 2R3
= = (không đổi)
Nhận xét:
1) Câu I.2 Kiến thức rất cơ bản
2) Câu II.1 Các em chú ý kỹ thuật đưa phương trình lượng giác không cơ bản về phương trình tích và điều kiện của nghiệm
3) Câu II.2 Các em chú ý dựa vào điều kiện để chia 2 trường hợp, ở đây có dùng kỹ thuật tách x2 1 1
x
= -hơi khó nhận ra Trong bước giải cuối các em nên cẩn thận với dấu bất đẳng thức
4) Câu III.1 Chỉ cần dùng kiến thức đoạn vuông góc chung
5) Câu III.2 Các em có thể dùng mp(ABC) và mặt cầu qua O, A, B, C
6) Câu Va.1 Nếu các em lập đường tròn đi qua 3 điểm thì sẽ gặp rắc rối ngay, do tọa độ A và B quá lẻ
7) Câu Va.2 Đây là dạng toán cân bằng hệ số trong khai triển nhị thức
Chỉ cần các em nhìn tổng S sẽ thấy 0 + 10 = 1 + 9 =…= 10
8) Câu Vb.1 Đây là phương trình mũ chứa logarit, dạng này các em nên nhớ dùng hàm số đơn điệu để giải 9) Câu Vb.2 Kiến thức rất cơ bản nhưng chứng minh không dễ
………