Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì được một số B cũng là một số chính phương.. Các đường thẳng DM và BC cắt nhau ở N.. Gọi D là trung điểm của cạnh AB.. Chứng minh rằng: DM
Trang 1PHÒNG GIAO DỤC & ĐT
VĨNH LINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 9 Năm học 2009-2010
Bài 1: Cho một số A gồm 4 chữ số và A là số chính phương Nếu ta thêm vào
mỗi chữ số của A một đơn vị thì được một số B cũng là một số chính phương Hãy tìm các số A bà B
Bài 2: Không dùng máy tính cầm tay hãy so sánh: 3 + 5 với 2 2 6
Bài 3: Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức:
A = 12 + 2 14 + 2 13 12 2 11 11 13
Bài 4: Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên và
tìm giá trị nguyên đó của phân thức:
3 2
x - 5x + 9x - 2
A =
x - 3
Bài 5: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 1200 M là một điểm trên cạnh AB (M khác A và B) Các đường thẳng DM và BC cắt nhau ở N
Chứng minh hệ thức: AC2 = AM.CN
Bài 6: Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy các điểm
PACPBC ; PLCPMC = 90
a Chứng minh hệ thức: AM.PL = BL.PM
b Gọi D là trung điểm của cạnh AB Chứng minh rằng: DM = DL
Trang 2PHềNG GIAO DỤC & ĐT
VĨNH LINH
HƯỚNG DẪN CHẤM Đấ THI HỌC SINH GIỎI
MễN: TOÁN - LỚP 9 Năm học 2009-2010
Bài 1: (1,50 điểm)
Theo bài ra ta có: A = abcd x và B = a + 1 b + 1 c + 1 d + 1 y
(Trong đó x, y là các số nguyên, d ơng và x < y)
0,25 đ Trừ hai số cho nhau ta cú : B – A = 1111 hay y2 – x2 = (y – x)(y + x) = 1111 0,25 đ
A, B là cỏc số cú 4 chữ số nờn x, y chỉ cú thể là cỏc số cú hai chữ số 0,25 đ
1111 = 1 1111 = 11 101 nờn ta chỉ cú: (y – x)(y + x) = 11 101 0,25 đ Giải được hệ x + y = 101 ta đ ợc x = 45 và y = 56
x - y = 11
Bài 2: (0,75 điểm)
2
Ta có: 3 + 5 9 5 6 5 14 36 5 14 180
0,25 đ
và 2 2 + 6 8 6 4 12 14 16 12 14 192
0,25 đ
Vỡ Vì 14 180 < 14 192 nên 3 + 5 < 2 2 + 6
0,25 đ
Bài 3: (1,75điểm)
A = 12 + 2 14 + 2 13 12 2 11 11 13
= 12 + 2 13 + 2 13 + 1 11 2 11 + 1 11 13
= 12 + 2 13 + 1 11 + 1 11 13
0,25 đ
12 + 2 13 + 1 11 + 1 11 13
13 + 2 13 + 1 11 + 1 11 13
13 + 12 11 + 1 2 11 13
13 11 11 13
Bài 4: (2,00điểm)
x - 3x - 2x - 6x + 3x - 9 + 7
x - 5x + 9x - 2
A =
Trang 32 7
A = x - 2x + 3 +
A cú giỏ trị nguyờn khi 7 nguyên
x – 3 = 1 => x = 4 => A = 18 0,25 đ
x – 3 = -7 => x = - 4 => A = 26 0,25 đ
x – 3 = 7 => x = 10 => A = 84 0,25 đ
Bài 5: (1,5 điểm)
ADM = MNC (so le trong)
MAD = DCN = 120 Suy ra:
AMD CDN (g-g)
=> CD.AD = AM.CN ACD là tam giác đều
=> AD = AC = CD
=> AC2 = AM.CN
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
Bài 6: (2,5 điểm)
a (0,5 đ)
APM BPL
=> AM.PL = BL.PM
b (2,0 đ)
- Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AP và BP Khi đú ta cú: DE và DF là đường trung bỡnh của tam giỏc ABP
- Suy ra DFPE là hỡnh bỡnh hành (*)
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
- Tam giỏc APM và tam giỏc BPL là cỏc tam giỏc vuụng nờn ta cú:
1
ME = AP = DF
1
LF = BP = DE
PEM 2EAM = 2FBL PFL (do AEM và BFL là cỏc tam giỏc cõn)
PED = PFD (theo (*)
Suy ra: MED = LFD (3)
Từ (1), (2), (3) ta cú DEM = DFL MD = DL
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
F
E
D
M
L
P
C
B
A
N D
M
C
B A