de thi HS gioi 9 - 2

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G.. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD.. Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2008 – 2009 Môn : Toán Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Bài 1 (5 điểm)

A

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức A

Giải :

a) Điều kiện : x≥ 0;x≠ 4;x≠ 9

b)

=

=

=

=

3

A

x

−

Bài 2 (4 điểm)

Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0

Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :

3

   

 ÷  ÷

   

Giải :

Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0

Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :

3

   + ≥

 ÷  ÷

   

Phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 ⇔ ∆ =, k2− > ⇔ 4 0 k2 > 4(*) Khi đó ta có : 1 2

1 2

2 4

x x

+ = −



2

2

2 2

2

2

4 8

3 2 3

2 3 (**)

2 3

k k

k

k k

k

 − ≤ −

 − 

− ≥

 ≤ −

⇔ 

≥ +



Kết hợp (*) và (**) ta có : 2 2

4

2

k k

k

≤ −



≥ ⇔  ≥

Vậy để phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa :

3

   

 ÷  ÷

    thì : 2

x< − và x> 2

Bài 3 (3 điểm)

Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M 1 1

x y

= +

Giải :

Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0

⇔x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0

⇔(x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0

⇔(x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*)

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

V x 1 – x 1 y 1 y 1 1

= 1 1 1 1 0

ì

 + − +  + + + >

Nên (*)⇔ x + y + 2 = 0 ⇔ x + y = - 2

Ta c : ó M x y

−

Vậy MaxM = -2 ⇔x = y = -1

Bài 4 (2 điểm)

a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa

b) Giải phương trình

Giải :

a) điều kiện : 0 < ≤x 4

2 4 2 2 4 2

Đặt 4 2 x+ = a ; 4 2 x− = b ( a ; b ≥ 0)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

8

Ta c :

2

8

8

8

(I)

 + =







 + =





 + =





 + =





Vì ab + 4 > 0 nên :

( ) ( )2

2

2

2 8

2 2

2

1 3 2

1 3 (loai v a 0)

ab

I

a b

a b

b

a

x



⇔ − = ⇔  − =





Bài 5 (6 điểm)

Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB⊥BD Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB a) Chứng minh ∆FDG đồng dạng với ∆ECG

b) Chứng minh GF ⊥ EF

Giải :

\\

X F

E

G

B A

a) Ta có AB // CD BG GD

⇒ = , mà AG = CE ; BG = DF DF GD

Xét ∆FDG và ∆ECG có : · · 0

GDF GCE

CE =GC = = ⇒ ∆FDG ~ ∆ECG ( c-g-c)

b) Ta có ∆FDG ~ ∆ECG ⇒GFD GEC· = · ⇒ GFCE nội tiếp ⇒ GCE GFE· =· cùng chắn »GE

mà GCE· = 90 0 ⇒GFE· = 90 0 ⇒GF ⊥FE

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

KÌ THI HSG CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9

NĂM HỌC 2008-2009

Giải Bài 1 (5 điểm)

A

c) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

d) Rút gọn biểu thức A

Điều kiện : x≥ 0;x≠ 4;x≠ 9

=

=

=

=

3

A

x

−

Bài 2 (4 điểm)

Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0

Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :

3

   

 ÷  ÷

   

Phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 ⇔ ∆ =, k2− > ⇔ 4 0 k2 > 4(*)

Khi đó ta có : 1 2

1 2

2 4

x x

+ = −



2

2

2 2

2 2

2

2

4 8

3 2 3

2 3 (**)

2 3

k k

k

k k

k

 − ≤ −

 − 

− ≥

 ≤ −

⇔ 

≥ +



Kết hợp (*) và (**) ta có : 2 2

4

2

k k

k

≤ −



≥ ⇔  ≥

Vậy để phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa :

3

   + ≥

 ÷  ÷

    thì : 2

x< − và x> 2

Bài 3 (3 điểm)

Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M 1 1

x y

= +

Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0

⇔x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0

⇔(x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0

⇔(x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*)

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

V x 1 – x 1 y 1 y 1 1

= 1 1 1 1 0

ì

 + − +  + + + >

Nên (*)⇔ x + y + 2 = 0 ⇔ x + y = - 2

Ta c : ó M x y

−

Vậy MaxM = -2 ⇔x = y = -1

Bài 4 (2 điểm)

a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa

b) Giải phương trình

b) điều kiện : 0 < ≤x 4

2 4 2 2 4 2

Đặt 4 2 x+ = a ; 4 2 x− = b ( a ; b ≥ 0)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

8

Ta c :

2

8

8

8

(I)

 + =







 + =





 + =





 + =





Vì ab + 4 > 0 nên :

( ) ( )2

2

2

2 8

2 2

2

1 3 2

1 3 (loai v a 0)

ab

I

a b

a b

b

a

x



⇔ − = ⇔  − =





Bài 5 (6 điểm)

Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB⊥BD Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB c) Chứng minh ∆FDG đồng dạng với ∆ECG

d) Chứng minh GF ⊥ EF

ABCD : AB // CD ; CD > AB ;

AB⊥BD

AB⊥BD; AG = CE ; BG = DF

Chứng minh :

a) ∆FDG ~ ∆ECG

b) GF ⊥ EF

Chứng minh :

a) Ta có AB // CD BG GD

⇒ = , mà AG = CE ; BG = DF DF GD

Xét ∆FDG và ∆ECG có : DF GD;GDF GCE· · 90 0

CE =GC = = ⇒ ∆FDG ~ ∆ECG ( c-g-c) b) Ta có ∆FDG ~ ∆ECG ⇒GFD GEC· = · ⇒ GFCE nội tiếp ⇒ GCE GFE· =· cùng chắn »GE

mà GCE· = 90 0 ⇒GFE· = 90 0 ⇒GF ⊥FE

\\

X F

E

G B A