10 đề thi TS lớp 10 (tham khảo)

3 2 111 1 F H A Do xe máy đến B trớc 40' = 2 3h nên ta có pt60  chúng có cùng bán kính đờng tròn ngoại tiếp  bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆AQB bằng R bằng bán kính đờng tròn ngoại tiế

Đề thi tuyển vào thpt

Môn: toán (Thời gian làm bài 120 phút)

a,Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2

b, Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi Tìm điểm

cố định đó?

c,Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua giao điểm của hai đờng thẳng 3x - 2y = -9 và

y = 1 - 2x

Câu 3

Hai tỉnh A, B cách nhau 60 km Có một xe đạp đi từ A đến B Khi xe đạp bắt đầu khởi hành thì

có một xe máy cách A 40 km đi đến A rồi trở về B ngay Tìm vận tốc của mỗi xe biết xe gắn máy về Btrớc xe đạp 40 phút và vận tốc xe gắn máy hơn vận tốc xe đạp là 15km/h

Gọi vận tốc của ngời đi xe đạp là x(km/h) ĐK: x>0

Vận tốc ngời đi xe gắn máy là: x + 15km/h

Thời gan ngời đi xe đạp đã đi là: 60

x (h)

Thời gan ngời đi xe máy đã đi là: 100

15

x  (h)

3 2 11

1 1

F H

A

Do xe máy đến B trớc 40' = 2

3(h) nên ta có pt60

 chúng có cùng bán kính đờng tròn ngoại tiếp

 bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆AQB bằng R

(bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC )

 bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆AHB bằng R

Chứng minh tơng tự có bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆BHC; ∆AHC bằng R

Vậy các tam giác AHB, BHC, AHC có bán kính đờng tròn ngoại tiếp bằng nhau

Đề thi tuyển vào thpt

Môn: toán (Thời gian làm bài 120 phút)

3 2 11

Cho ∆MNK có các góc đều nhọn nội tiếp đờng tròn (O, R) Các đờng cao NE, KF cắt nhau tại H

và lần lợt cắt đờng tròn (O, R) tại P, Q

a, Chứng minh: EF // PQ

b,Chứng minh:OM  EF

c, Có nhận xét gì về các bán kính của các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác MHN, NHK, MHK

Đáp án Câu 1.

Gọi số dãy ghế có lúc đầu là x (dãy) ĐK: x nguyên dơng và x > 5

Thì mỗi dãy phải xếp 90

x ngời

Sau khi bớt 5 dãy thì số dãy ghế là x - 5 dãy

Mỗi dãy phải xếp 90

Đề thi tuyển vào thpt

Môn: toán (Thời gian làm bài 120 phút)

Đề 3.

Bài 2: Chứng minh rằng n nguyờn dương, đều cú:

chia hết cho 91

Bài 3: a) Cho x, y là hai số dương thỏa món: Tớnh giỏ trị lớn nhất của:

b) Chứng minh rằng với mọi a, b, c là cỏc số nguyờn khụng õm:

a) Giải phương trỡnh khi a=1

b) Tỡm a để phương trỡnh cú 4 nghiệm Khi đú tồn tại hay khụng giỏ trị lớn nhất

của:

Bài 5: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, (O) là đường trũn đi qua B,C Kẻ từ A cỏc tiếp

tuyến AE và AF đến (O) (E, F là cỏc tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF

a) Chứng minh E, F nằm trờn 1 đường trũn cố định khi (O) thay đổi

b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’ Chứng minh EE’ // AB

c) Chứng minh tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc NOI nằm trờn đường thẳng cố định khi (O)thay đổi

đáp án B

Tính A, ta có:

Thay x vào (1) ta được:

Bài 2: n nguyên dương, ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài 4: Phương trình đã cho có thể biến đổi thành:

a) Với a=1 phương trình đã cho trở thành:

b) Mỗi phương trình , có nhiều nhất là 2 nghiệm Để

phương trình đã cho có 4 nghiệm thì mỗi phương trình như trên phải có đúng 2 nghiệm và các nghiệm đó khác 0 Như vậy, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

*Với phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

Suy ra E, F là các điểm nằm trên đường tròn (A, )

b) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:

(1)

Mặt khác:

(2)

Và:

(4 điểm A, E, I, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AO) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra được: Suy ra EE’ // AB (Theo dấu hiệu góc đồng vị của hai

đường thẳng song song)

c) Xét và ta có:

OAI =

ANK= AIO=90 0

Suy ra OAI KAN

Đề thi tuyển vào thpt

Môn: toán (Thời gian làm bài 120 phút)

Đề 4.

Bài 1: a) Chứng minh rằng biểu thức:

Khụng phụ thuộc vào x và y b) Chứng minh rằng:

Bài 3: Giải phương trỡnh căn thức:

Bài 4: Trờn mặt phẳng tọa độ xOy cho điểm A(-3;0) và B(-1;0) Xột điểm M, N thay đổi trờn trục tung

sao cho AM vuụng gúc với BN

a)Chứng minh rằng AN vuụng gúc với BM và OM.ON khụng đổi Từ đú suy ra đường trũn đườngkớnh MN luụn đi qua hai điểm cố định Tỡm tọa độ hai điểm cố định đú

b)Tỡm quỹ tớch tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AMN Xỏc định vị trớ của M, N sao cho tamgiỏc AMN cú diện tớch nhỏ nhất

đáp án Bài 1 a) Chứng minh rằng biểu thức:

A=0, A không phụ thuộc vào x,y ĐPCM.

Như kết quả ở trường hợp ban đầu, ta được A=0, không phụ thuộc vào x, y ĐPCM

b) Ta có

Vì là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và chia

hết cho 6 Hay nói cách khác chia hết cho 6 Từ đó dễ dàng suy ra chia hết cho 6 ĐPCM

Bây giờ, không mất tính tổng quát, ta giả sử:

Ta cố định giá trị hai biến a, c và tìm giá trị của b: sao cho A đạt giá trị lớn nhất

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:

Điều này hiển nhiên đúng Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trở lại bài toán, ta có:

Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi

Bài 3 Giải phương trình căn thức:

Lời giải:

Ta có:

Vậy phương trình có nghiêm là hoặc

Bài 4 Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho điểm và Xét điểm M, N thay đổi trên trụctung sao cho AM vuông góc với BN

a)Chứng minh rằng AN vuông góc với BM và OM.ON không đổi Từ đó suy ra đường tròn đườngkính MN luôn đi qua hai điểm cố định Tìm tọa độ hai điểm cố định đó

b)Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Xác định vị trí của M, N sao cho tamgiác AMN có diện tích nhỏ nhất

(góc, góc)Suy ra:

(góc, góc)Suy ra:

Từ đó, ta có:

Hay nói cách khác OM.ON không đổi

Gọi I, J là giao điểm của đường tròn đường kính MN với trục Ox

Xét đường tròn đường kính MN có MN là đường kính, IJ là dây cung, MN vuông góc với IJ nên MN đi qua trung điểm của IJ Hay nói cách khác OI=OJ

Ta có:

(góc, góc)Suy ra:

Hay nói cách khác:

Suy ra: I( , J(

I, J là các điểm cố định mà đường tròn

đường kính MN đi qua ĐPCM

b) Gọi K là giao điểm còn lại của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN với trục Ox

Ta có: (góc, góc)

Suy ra K(1;0) là điểm đối xứng của B qua O,là điểm cố định Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua

A, K nên tâm G của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nằm trên đường trung trực (d) ( ) của

AK Ta chứng minh quỹ tích của G chính là đường thẳng (d) Thật vậy:

Gọi G’ là một điểm trên (d) , kẻ đường tròn (G’, G’A).Đường tròn này cắt trục tung tại hai điểm M’ và

N’.Gọi P’, Q’ lần lượt là giao điểm của M’B với N’A, M’A với N’B Ta cần phải chứng minh M’A vuông góc với BN’, hay là M’Q’ vuông góc với BN’.Thật vậy:

Vì K là điểm đối xứng của B qua O nên

Suy ra: N’Q’ vuông góc AM’ Suy ra ĐPCM

Vậy quỹ tích tâm G của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN là đường thẳng (d)

Dấu đẳng thức xảy ra

§Ò thi tuyÓn vµo thpt

M«n: to¸n (Thêi gian lµm bµi 120 phót)

§Ò 5.

Bài 1: a) Tính:

A=

b)Chứng minh rằng:

Bài 2: a) Giải phương trình:

b) Cho a, b thỏa mãn: và Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểuthức: A=

Bài 3: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố, a là số dương sao cho không phải là số nguyên

tố thì phương trình: không có nghiệm hữu tỉ

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB sao cho , Đường thẳng qua C vàvuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D Dựng đường tròn tâm J bán kính tiếp xúcvới CA, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB Dựng đường tròn tâm K bán kính tiếpxúc với CB, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB, Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp (I)của tam giác ABD

a)Tính , theo a,b

b)Tỡm đẳng thức liờn hệ giữa

đáp án Bài 1: a) Tớnh:

A=

b)Chứng minh rằng:

Lời giải:

a) Trước hết ta chứng minh cỏc căn thức cú nghĩa, để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh:

Điều này hiển nhiờn đỳng Suy ra cỏc căn thức đều cú nghĩa

Trở lại bài toỏn đó cho, ta cú:

Do đú:

Do đú: A=

Vậy A=1

b) Ta cú:

Bài 2: a) Giải phương trình:

b) Cho a, b thỏa mãn: và Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểuthức: A=

Với M là một số dương lớn tùy ý Ta sẽ chứng minh tồn tại a và b sao cho A=M, thật vậy, chọn

Bài 3: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố, a là số dương sao cho không phải là số nguyên

tố thì phương trình: không có nghiệm hữu tỉ

Lời giải:

Giả sử ngược lại phương trình có nghiệm hữu tỉ

Ta có

Suy ra a là số chính phương và do đó là số nguyên

Từ đó suy ra phương trình là phương trình có các hệ số nguyên và có nghiệm hữu

tỉ, nên các nghiệm đó đều phải là nghiệm nguyên

Ta có:

Điều này vô lý vì theo đề bài không phải là số nguyên tố

Từ đó suy ra giả thiết phương trình có nghiệm hữu tỉ là sai Suy ra ĐPCM

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB sao cho , Đường thẳng qua C vàvuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D Dựng đường tròn tâm J bán kính tiếp xúcvới CA, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB Dựng đường tròn tâm K bán kính tiếpxúc với CB, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB, Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp (I)của tam giác ABD

a)Tính , theo a,b

b) Xét tam giác vuông DAB, ta có:

Gọi X, Y, Z lần lượt là tiếp điểm của (I) với DA, DB, AB

§Ò thi tuyÓn vµo thpt

M«n: to¸n (Thêi gian lµm bµi 120 phót)

§Ò 6.

Bài 1: Tính tổng

Bài 2: a) Giải phương trỡnh theo tham số m:

b) Tỡm thỏa món phương trỡnh:

Bài 3: Tỡm số nguyờn tố p để: và đều là cỏc số nguyờn tố

Bài 4: Cho x,y, z là cỏc số nguyờn thỏa món phương trỡnh

a) Chứng minh rằng trong hai số x,y cú ớt nhất một số chia hết cho 3

b) Chứng minh rằng tớch xy chia hết cho 12

Bài 5: Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R và đường thẳng (d) ở ngoài đường trũn M là một điểm di

động trờn (d) Từ M kẻ cỏc tiếp tuyến MP và MQ với đường trũn ( P và Q là cỏc tiếp điểm) N là giaođiểm của PQ với OM

a)Chứng minh rằng: OM.ON khụng đổi

b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MPQ thuộc một đường thẳng

cố định

c)Tỡm quỹ tớch điểm N

đáp án Bài 1: Tớnh tổng

Bài 2: a) Giải phương trình theo tham số m: (1)

Lời giải:

Điều kiện:

Do đó, điều kiện cần để phương trình đã cho có nghiệm là:

Với ta chứng minh phương trình đã cho có nghiệm, hơn nữa đó là nghiệm duy nhất.Thật vậy, với , xét phương trình (2)

Ta có:

Ta chứng minh cũng là nghiệm của phương trình (1)

Thật vậy, vì là nghiệm của phương trình (2), cho nên

Suy ra:

Hay là là nghiệm của phương trình (1)

Bây giờ ta chứng minh là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Giả sử ngoài phương trình (1) còn có 1 nghiệm Xét các trường hợp:

Kết luận:

-Với , phương trình đã cho vô nghiệm

-Với phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Đẳng thức (3) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu

Suy ra (2) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu

Trở lại bài toán ban đầu:

Từ (14) và (15) và điều kiện ban đầu suy ra hoặc

Với , thay vào (III) ta được

Với , thay vào (III) ta được

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

Bài 3: Tìm số nguyên tố p để: và đều là các số nguyên tố

Lời giải:

Thử các trường hợp , , , ta tìm được thỏa mãn bài toán

Với p>5 Vì p là số nguyên tố nên p sẽ là số lẻ, và có chữ số tận cùng là 1, hoặc 3, hoặc 7, hoặc 9 Như thế có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9

Nếu có chữ số tận cùng là 1 thì sẽ tận cùng bằng 5 và như thế sẽ chia hết cho 5 cho nên không thể là số nguyên tố

Nếu có chữ số tận cùng là 9 thì sẽ tận cùng bằng 5 và như thế sẽ chia hết cho 5 cho nên không thể là số nguyên tố

Kết luận, chỉ có thỏa mãn yêu cầu bài toán!

Bài 4: Cho x,y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình

a) Chứng minh rằng trong hai số x,y có ít nhất một số chia hết cho 3

b)Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12

Lời giải:

a) Giả sử x và y đều không chia hết cho 3 Khi đó và chia 3 dư 1 Và như vậy, tổng chia 3 dư 2 Hay nói cách khác sẽ chia 3 dư 2 Điều này vô lý!

b) Trong x, y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 2 Thật vậy, giả sử x, y đều là số lẻ, khi đó , sẽ

có dạng 4k+1, suy ra tổng sẽ có dạng 4k+2 Hay nói cách khác chia hết cho 2 nhưng khôngchia hết cho 4 Điều này vô lý!

Vậy trong x, y có 1 số chia hết cho 2 Ta giả sử số đó là x

Nếu y cũng chia hết cho 2 Suy ra tích xy chia hết cho 4 Kết hợp với kết quả câu a) ta suy ra xychia hết cho 12 ĐPCM

Nếu y không chia hết cho 2, nghĩa là y lẻ Khi đó x phải chia hết cho 4 Thật vậy

Giả sử ngược lại x chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 Khi đó x có dạng 4k+2 Suy ra

sẽ có dạng 8t+4

Mặt khác y lẻ, y =2r+1 Khi đó Suy ra có dạng 8t+1 Lý luận tương tự cũng có dạng 8t+1 Và như vậy vế phải của biểu thức đã cho chia 8 dư 1 còn vế trái chia 8 dư 5 Điềunày vô lý!

Vậy x chia hết cho 4, suy ra xy chia hết cho 4 Kết hợp với kết quả câu a) ta cũng suy ra được xychia hết cho 12 Và ta có ĐPCM

Bài 5: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn M là một điểm di động

trên (d) Từ M kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn ( P và Q là các tiếp điểm) N là giao điểm của

PQ với OM

a)Chứng minh rằng: OM.ON không đổi

b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ thuộc một đường thẳng

c) Gọi L là giao điểm của PQ với OK

Ta có:

(góc, góc)Suy ra:

Suy ra L là điểm cố định và nên N nằm trên đường tròn đường kính ON

Kẻ đường thẳng (d’) qua O song song với (d) Vỡ nờn điểm n nằm ở nửa mặt phẳng chứa

K bờ là (d’).

Ta chứng minh quỹ tớch của điểm N là nửa đường trũn đường kớnh OL cú bờ là (d’) (Khụng tớnh 2 giao

điểm) Thật vậy:

Gọi N’ là điểm nằm trờn nửa đường trũn đường kớnh OL đó cho, gọi M’ là giao điểm của ON’ với (d) Kẻ

cỏc tiếp tuyến M’P’, M’Q’ Ta chứng minh 3 điểm P’, N’, Q’ thẳng hàng Thật vậy, gọi N’’ là giao điểmcủa OM’ với P’Q’ Theo kết quả đó biết, ta suy ra được N’’ nằm trờn đường trũn đường kớnh OL Nghĩa

là N’’ là giao điểm của OM’ với đường trũn đường kớnh OL Suy ra N’’ trựng với N’ Suy ra P’,N’, Q’thẳng hàng Suy ra ĐPCM

Vậy quỹ tớch điểm N là nửa đường trũn đường kớnh OL cú bờ là (d’), nửa mặt phẳng này chứa (d)

Đề thi tuyển vào thpt

Môn: toán (Thời gian làm bài 120 phút)

Đề 7.

Bài 1: Cho phương trỡnh

Gọi hai nghiệm của phương trỡnh là Tớnh giỏ trị của biểu thức:

Bài 2: Cho x, y, z là cỏc số dương và Chứng minh rằng:

Bài 3: Tỡm x, y, z thỏa món:

Bài 4: a)Với mỗi số nguyờn duơng n, đặt ,

Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và khụng chiahết cho 5

b)Tỡm bộ ba số nguyờn dương đụi một khỏc nhau sao cho tớch của chỳng bằng tổng củachỳng

Bài 5: Cho tam giỏc ABC, D và E là cỏc tiếp điểm của đường trũn nội tiếp (I) với cỏc cạnh AC, AB Gọi

H là giao điểm của BI với DE Chứng minh rằng tam giỏc BHC là tam giỏc vuụng

đáp án

Gọi hai nghiệm của phương trỡnh là Tớnh giỏ trị của biểu thức:

Lời giải:

Vỡ là nghiệm của phương trỡnh (1) nờn:

Từ đú suy ra A=

Ta cú:

Điều này đúng theo áp dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay nói cách khác:

Trở về bài toán đã cho,áp dụng bổ đề, ta có:

ĐPCMDấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Lời giải:

Dễ thấy (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm của phương trình đã cho

Ta sẽ chứng minh (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Thật vậy:

Giả sử tồn tại nghiệm thỏa mãn phương trình (*), ta có:

(1)Gọi k lớn nhất, sao cho: và và (2)

So sánh (2) và (10) ta thấy vô lý, từ đó suy ra (0;0;0) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài 4: a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt ,

Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và không chiahết cho 5

b)Tìm bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng củachúng

Mặt khác nên Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi

đó