Chứng minh rằng x1 +x2 là một số nguyên.. 3 điểm Cho M là trung điểm của cung nhỏ AB của đường tròn tâm O AB không phải là đường kính.. a Chứng minh các điểm C, D, E, F nằm trên một đườn
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HỆ THPT CHUYÊN ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI NĂM HỌC 2007-2008 – Thời gian 150 phút NGÀY THỨ NHẤT
Câu 1 (3 điểm)
Giải hệ phương trình và phương trình sau
Trang 2a) 4 x2 - 1 + x
2
- x + 2 x +1
ì xy( x +y) =2
î x3 +y3 +x +y =4
Câu 2 (3 điểm)
a) Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm dương của phương trình x2 – 4x + 1 = 0 Chứng minh rằng
x1 +x2 là một số nguyên
b) Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 1 và b + 2007 đều chia hết cho 6.
Chứng minh rằng 4a + a + b chia hết cho 6.
Câu 3 (3 điểm)
Cho M là trung điểm của cung nhỏ AB của đường tròn tâm O (AB không phải là đường kính) C và D là 2 điểm phân biệt, thay đổi nằm giữa A và B Các đường thẳng MC, MD cắt (O) tương ứng tại E, F khác M
a) Chứng minh các điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn
b) Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACE và BDF Chứng minh rằng khi C và D thay đổi trên đoạn AB thì giao điểm của hai đường thẳng AO1 và BO2 là một điểm cố định
Câu 4 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mản abc = 1 Chứng minh rằng:
1
a +b +c ( ab +a +1)
2 ( ca +c +1) 2
Trang 3ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2007 – 2008
MÔN TOÁN AB ( Chung cho các lớp Toán , Tin , Lý , Hoá , Sinh )
Thời gian làm bài : 150 phút.
Trang 4Câu 1 Cho phương trình : x(2 - 2 x m +2 m m +1) - 3 =0 (1)
x - 1
a) Tìm m để x = -1 là một nghiệm của phương trình (1)
b) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
Câu 2 a) Giải bất phương trình : ( x +3)( x - 1) - 2 x - 1 <x2 - 7
ìï b) Giải hệ phương trình : í
ïî
x y +2 y x
=3x y x +2x y
=3 y
2x - 1
2 y - 1
Câu 3 a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện :
a2 - 3ab +b2 +a - b =a2 - 2ab +b2 - 5a +7b =0
Chứng tỏ rằng : ab - 12a +15b =0
b) Cho : A = ( x2
+4 - 2)( x
+
x +1)
2
+4 +2)
x - 2 x +1
Trang 5x( x x - 1) Hãy tìm tất cả các giá trị của x để A ³ 0
Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và góc BAC bằng 60 o Gọi M , N ,
P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A , B , C của tam giác ABC là I là trung điểm của
BC
a) Chứng minh rằng tam giác INP đều
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC Chứng minh các điểm I , M , E
và K
cùng thuộc một đường tròn
c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP Hãy tính số đo của góc BCP
Câu 5 Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm , tổ B may 16500 sản
phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng một lúc Nếu sau 6 ngày , tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B Nếu tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày Hãy xác định số công nhân ban đầu của mỗi tổ Biết rằng , mỗi công nhân may mỗi ngày được 20 sản phẩm