Luận văn Phép biến đổi phân tuyến tính trên trục thực và một số ứng dụng

Luận văn toán cao học chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp của học viên Nguyễn Ngọc Phương dưới sự hướng dẫn khoa học của Giáo Sư Tiến Sĩ khoa Học Nguyễn Văn Mậu. Tài liệu gồm 62 trang định dạng pdf thực hiện bởi chương trình latex, gồm ba chương và một số phần khác.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Bình Định - 2012

Mục lục

1.1 Định nghĩa hàm số và một số tính chất 6

1.1.1 Định nghĩa hàm số 6

1.1.2 Hàm số liên tục 7

1.1.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn 7

1.2 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp 9

1.3 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính 10

2 Một số lớp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính 16 2.1 Một lớp phương trình hàm tuyến tính cơ bản 16

2.2 Một lớp phương trình hàm phân tuyến tính dạng cơ bản 22

2.2.1 Trường hợp phương trình αx + β γx + δ = xcó 2 nghiệm phân biệt 22 2.2.2 Trường hợp phương trình αx + β γx + δ = x có 1 nghiệm kép 24

2.2.3 Trường hợp phương trình αx + β γx + δ = x không có nghiệm thực 26 2.3 Một số lớp phương trình hàm phân tuyến tính mở rộng 29

2.3.1 Lớp phương trình hàm phân tuyến tính với hệ số biến thiên 29 2.3.2 Lớp phương trình hàm với vế phải là hàm phân tuyến tính 34 2.4 Bài tập áp dụng 36

3 Một số bài toán liên quan đến hàm phân tuyến tính 38 3.1 Phương trình và hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng 38 3.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng 38

1

23.1.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng 473.2 Lớp bài toán về công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ

số hằng 533.3 Bài tập áp dụng 57

Mở đầu

Phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng củagiải tích toán học và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học khác Lớpphương trình hàm sử dụng phép biến đổi phân tuyến tính để giải các bài toánphổ thông thường xuất hiện nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi olympicquốc gia, khu vực và quốc tế Tuy nhiên, các học sinh ở trường chuyên, lớp chọncòn biết rất ít về phương pháp giải phương trình hàm và các bài toán về dãy sốvận dụng các phép biến đổi phân tuyến tính Vì thế, việc nghiên cứu để đáp ứngnhu cầu học tập và giảng dạy toán ở bậc phổ thông và được sự định hướng củaThầy giáo Nguyễn Văn Mậu, luận văn "Phép biến đổi phân tuyến tính trên trụcthực và một số ứng dụng" với mục tiêu tổng hợp, chọn lọc và hệ thống cách giảimột lớp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính Đồng thời vận dụngcác phép biến đổi phân tuyến tính để giải quyết một số bài toán liên quan vềdãy số dạng phân tuyến tính Trên tinh thần đó, luận văn được chia thành bachương:

Chương 1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính Chương này nêu lênmột số kiến thức cơ bản về hàm số nói chung và hàm phân tuyến tính nói riêng

Từ các tính chất đặc trưng cơ bản của hàm phân tuyến tính sẽ sinh ra một lớpphương trình hàm sử dụng các phép biến đổi phân tuyến tính để giải

Chương 2 Một số lớp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính Phầnđầu của chương này được tác giả dành cho việc trình bày một lớp phương trìnhhàm tuyến tính cơ bản dạng

f (αx + β) = af (x) + b, ∀x ∈ R, α 6= 0, a 6= 0. (0.1)Đây là lớp phương trình hàm cơ bản làm cơ sở vận dụng trong quá trình giải cácphương trình hàm nói chung và lớp phương trình hàm sinh bởi dạng phân tuyếntính nói riêng

Tiếp theo, tác giả trình bày lớp phương trình hàm mở rộng của dạng (0.1), đó

3

Từ đó, ta có cách giải tổng quát cho lớp phương trình hàm dạng (0.2).

Tiếp theo, tác giả cũng đề xuất lớp phương trình hàm phân tuyến tính mở rộngvới hệ số biến thiên

• Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng

• Tính tuần hoàn của các dãy sinh bởi dạng phân tuyến tính

• Giới hạn của một số dãy truy hồi dạng phân tuyến tính

Trong khuôn khổ của một luận văn, dù biết rằng không thể đề cập hết cácdạng toán về phép biến đổi phân tuyến tính, tuy nhiên vẫn hy vọng đây là mộttài liệu tham khảo cho các bạn học sinh yêu thích toán học và quý thầy cô giáophổ thông Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng khả năng và thời gian có hạn nênchắc chắn luận văn còn nhiều sai sót Kính mong quý thầy cô giáo và các bạnđồng nghiệp góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Luận văn hoàn thành được là nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình, đầy nghiêm khắccủa GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu; Thầy không những hướng dẫn tôi hoàn thànhluận văn mà còn chỉ dẫn cho tôi bước đầu làm quen với việc nghiên cứu toánhọc, gợi mở nhiều ý tưởng hay và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cũng nhưnhững kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tôi theo học vànghiên cứu đề tài

Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc đếnthầy giáo Nguyễn Văn Mậu, người đã tận tâm chỉ bảo, giúp tôi hoàn thành luậnvăn này Nhân đây, tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu,Phòng Sau đại học, Khoa Toán học Trường Đại học Quy Nhơn cùng với quý thầy

cô giáo giảng dạy lớp cao học Toán khóa 13 đã quan tâm, giúp đỡ, động viên vàchia sẻ cho tôi rất nhiều trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn Bêncạnh đó, tác giả còn nhận được sự quan tâm của Ban Giám hiệu trường THPTChu Văn An, các bạn đồng nghiệp, các anh chị em trong lớp cao học Toán khóa

13 của Trường Đại học Quy Nhơn đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi

để tôi có nhiều thời gian hoàn thành tốt đề tài Luận văn còn là món quà gửiđến gia đình, người vợ yêu quí đã động viên, chia sẻ với tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm số, đặc trưng của hàm

và một số tính chất của hàm phân tuyến tính

f (x0) là giá trị của hàm số tại điểm x0 ∈ D.

Tập T = {f (x) |x ∈ D} được gọi là tập giá trị của hàm số f

Lưu ý:

• t ∈ T ⇔ phương trình f (x) = t có nghiệm x ∈ D

• t ∈ T ⇔ t có thể viết dưới dạng t = f (x) với x ∈ D.

Điểm x0 ∈ D được gọi là điểm bất động của hàm số f nếu như f (x0) = x0. Nhưvậy việc tìm điểm bất động của hàm số f (x) thực chất là việc giải phương trình

f (x) = x, điểm bất động này giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải một số bàitoán về phương trình hàm

1.1.2 Hàm số liên tục

Định nghĩa 1.2 Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b) Ta nói hàm số

f (x) liên tục tại x 0 ∈ (a, b) nếu lim

7 Nếu hàm f :R+ →R+ liên tục và nhân tính thì f (x) = xα, ∀α ∈R.

8 Nếu hàm số f (x) liên tục trên R và f (x + y

2 ) =

f (x) + f (y)

2 , ∀ x, y ∈ R thì

hàm f có dạng tuyến tính, nghĩa là f (x) = ax + b, ∀x ∈ R; ∀a, b ∈R.

1.1.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn

Trước hết, ta xét lớp hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính

Định nghĩa 1.3 (Xem [1]) Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn cộng tínhchu kỳ a, (a > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

8Nếu tồn tại số dương T nhỏ nhất trong các số a ở trên thì T được gọi là chu

f (2x) = sin(2π log2(2x)) = sin(2π + 2π log2x) = sin(2π log2x) = f (x), ∀x ∈R+.

Định nghĩa 1.6 (Xem [1]) Hàm số f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhântính chu kỳ a, (a / ∈ {0; −1; 1}) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

Ví dụ 1.4 Hàm số f (x) = sin(π log3x) là hàm số liên tục và phản tuần hoànnhân tính chu kỳ 3 trên R+ Thật vậy, ta có ∀x ∈R+ thì 3±1x ∈R+ và

f (3x) = sin(π log33x) = sin(π + π log3x) = − sin(π log3x) = −f (x), ∀x ∈R+.

Ta khảo sát mối quan hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính

Nhận xét 1.1 Nếu f (x) là hàm số tuần hoàn cộng tính chu kỳ (a > 0) trên Rthì

g(t) = f (ln t), (t > 0)

là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ ea trên R+ Ngược lại, nếu f (x) là hàm tuầnhoàn nhân tính chu kỳ a, (0 < a 6= 1) trên R+ thì g(t) = f (et) là hàm tuần hoàncộng tính chu kỳ ln a trên R.

1.2 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp

Như ta đã biết phương trình hàm là một phương trình thông thường mànghiệm của nó là một hàm số Để giải quyết tốt vấn đề này ta cần phân biệttính chất hàm với đặc trưng hàm

7 Hàm sốf (x) = tan x, (x 6= π

2 + kπ).Đặc trưng hàm tan x là f (x + y) = f (x) + f (y)

8 Hàm số lượng giác ngược f (x) = arcsin x

Đặc trưng hàm arcsin x là f (x) + f (y) = f (xp1 − y 2 + y √

1 − x 2 ),

∀x, y ∈ [−1; 1]

9 Hàm số lượng giác ngược f (x) = arccos x

Đặc trưng hàm arccos x là f (x) + f (y) = g(xy − √

1 − x 2 p1 − y 2 ),

∀x, y ∈ [−1; 1]

10 Hàm số lượng giác ngược f (x) = arctan x

Đặc trưng hàm arctan x là f (x) + f (y) = f ( x + y

1 − xy), ∀x, y : xy 6= 1.

11 Hàm số lượng giác ngược f (x) =arccot x

Đặc trưng hàm arccot x là f (x) + f (y) = f (xy − 1

x + y ), ∀x, y : x + y 6= 0.

1.3 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính

Kiến thức trong phần này được tác giả trình bày dựa trên tài liệu [2].

Xét hàm phân tuyến tính (hay ánh xạ phân tuyến tính)

y = ω(x) = αx + β

γx + δ, γ 6= 0, αδ − βγ 6= 0. (1.1)Khi đó ta có một số tính chất sau:

Định lý 1.1 Ánh xạ phân tuyến tính là một phép đồng phôi từ C lên C.Chứng minh

• Nếu γ = 0 là hiển nhiên

• Nếu γ 6= 0 Giải phương trình (1.1) đối với x ta có

x = δω − β

−γω + α, αδ − βγ 6= 0. (1.2)

Đó là hàm ngược của (1.1) Ánh xạ (1.2) đơn trị trong mặt phẳng C và là ánh xạphân tuyến tính Do đó (1.1) đơn trị một - một trên C. Tính liên tục của (1.1)tại các điểm x 6= −δ

γ, ∞ là hiển nhiên Bằng cách đặt ω(∞) = α

γ, ω(−

δ

γ) = ∞, tathấy rằng (1.1) liên tục trên C. Định lý được chứng minh

Định lý 1.2 Ánh xạ phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trên C.

Chứng minh Đối với trường hợp x 6= −δ

γ, ∞ tính bảo giác suy ra từ nhận xétrằng tại các điểm đó dω

dx =

αδ − βγ (γx + δ) 2 6= 0. Bây giờ giả sử hai đường cong (l 1 ) và

(l2) đi qua điểm x = −δ

γ và φ là góc giữa (l1) và (l2) tại điểm ấy Suy ra rằnggóc giữa các ảnh (l∗1) và (l∗2) của(l1) và (l2) tương ứng qua ánh xạ (1.1) tại điểm

ω = ∞ (tương ứng với x = −γδ) là bằng φ vì

lim

x→− δ γ

γ

αx + β 6= 0.

Trường hợp x = ∞ cũng được chứng minh tương tự

Định lý 1.3 Tập hợp mọi đẳng cấu phân tuyến tính lập thành một nhóm vớiphép toán hợp ánh xạ

Chứng minh Ta cần chứng minh:

1 Hợp (tích) các đẳng cấu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính

2 Ánh xạ ngược của đẳng cấu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính.Khẳng định 2 là hiển nhiên Ta cần chứng minh khẳng định 1

αx + β

γx + δ,

trong đó αδ − βγ = (α1δ1− β1γ1)(α2δ2− β2γ2) 6= 0

12Nhận xét 1.2 Nhóm các đẳng cấu phân tuyến tính là nhóm không giao hoán.

trong đó có hai ánh xạ tuyến tính và ánh xạ ξ = 1

ς. Đối với các ánh xạ tuyếntính Định lý 1.4 là hiển nhiên Ta chỉ cần xét phép nghịch đảo ω = 1

x.

1 Ta xét trường hợp hình tròn S(α; R). Ảnh của nó sẽ là

1

ω − α < R, |1 − αω| < R |ω| , |1 − αω|2 < R2|ω|2

⇒ 1 − 2Re(αω) + α2 ... 2

Một số lớp phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính< /h2>

2.1 Một lớp phương trình hàm tuyến tính bản

Phần chủ yếu trình bày lớp phương trình hàm sinh phép biến đổihình...

2.3 Một số lớp phương trình hàm phân tuyến tính< /h3>

1) Ta xét lớp phương trình hàm với trường hợp g(x) = 0 Đối với trường hợp

ta cần sử dụng phép đổi biến số thích... định α, β, γ, δ. Do với xác đến mộtthừa số từ hệ phương trình tuyến tính vừa thu dễ dàng suy rằngcác hệ số ánh xạ phân tuyến tính thực Vì ω = u + iv, x = a + ib nênkhi