các phép tính trong phân thức đại số A.. Rút gọn biểu thức Các bớc rút gọn biểu thức Bớc 1: Phân tích tử và mẫu thức của phân thức thành nhân tử.. Bớc 2: Chia cả tử và mẫu của phân thức
Trang 1các phép tính trong phân thức đại số
A Lý thuyết
I Định nghĩa
Phân thức đại số là một biểu thức có dạng
B
A , trong đó A, B là các đa thức , B là đa thức khác 0 A là tử thức, B là mẫu thức
Ví dụ:
II Hai phân thức bằng nhau
Cho hai phân thức
B
A
và D
C Khi đó :
B
A = D
C nếu AD = BC
Ví dụ: a
1
1 1
1
2
−
x x x
x
vì (x – 1) ( x2 + x+ 1) = x3 – 1
b
1
1 1
1
2
+
x x x
x
vì (x +1) ( x2 - x+ 1) = x3 + 1
III Tính chất cơ bản của phân thức
1
M B
M A B
A = ( A, B, M là các đa thức và M ≠ 0 )
Ví dụ: 2 3
3 2
3 3
3 2 3
2
y x z
y x xy z
xy
=
2
N : B
N : A B
A = ( A, B là các đa thức và N là nhân tử chung của A và B)
Ví dụ:
3 Quy tắc đổi dấu
B
A B
A
=
−
−
B
A B
A
=
−
−
B
A B
A
=
−
−
Ví dụ: a)
2
1 2
1 2
1
−
−
=
−
−
=
2 2
2 2
2 2
2
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
x
IV Rút gọn biểu thức
Các bớc rút gọn biểu thức
Bớc 1: Phân tích tử và mẫu thức của phân thức thành nhân tử
Bớc 2: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung
Ví dụ: Rút gọn các phân thức sau:
A =
) 2 )(
3 (
6 2
− +
+
x x
x
9 6
9
2
2
+
−
−
x x
x x
x
4 3
16 9
2
2
−
−
D =
4 2
4 4
2
+
+ +
x
x
4
2
2
2
−
−
x
x
x F =
8
12 6 3
3
2
−
+ +
x
x x
V Quy đồng mẫu nhiều phân thức
1 Tìm mẫu chung của nhiều phân thức
Muốn tìm mẫu thức chung của những phân thức đã cho ta phải :
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử
- Lấy tích của BCNN của các hệ số với các luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức , số mũ của mỗi luỹ thừa là số mũ cao nhất của nó trong các mẫu thức
Trang 22 Cách quy đồng mẫu thức:
B1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
B2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức
B3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tơng ứng
Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:
a
y x
x
2
− , x y
x
2 + , 4 2 2
4
x y
xy
− c 2 6
3 +
x ,
x x
x 6 2
6
2 +
−
b
6 2
1 +
+
x
x
,
x x
x
3
3 2
2 +
+ d
2 3
1
−
9 4
6 3 2 3
1
x
x ,
− +
VI Cộng trừ các phân thức
1 Phép cộng các phân thức
a Cộng các phân thức cùng mẫu
Ví dụ:
a)
9
5 6 9
5
3x− + x+
b) 2 3 2 3
11
7 6
11
7 5
y x
y xy y
x
y
xy− + +
c)
9
8 3 9
16 6 9
5
−
− +
−
+ +
−
−
x
x x
x x
x
d)
9
8 3 8
16 6 8
5
−
− +
−
+ +
−
−
x
x x
x x
x
b Cộng các phân thức khác mẫu
4
2 5 2
3 2
4
x
x x
+ +
−
+
1 1
2
2 2
2 1
x x x
x x
x
−
+
− +
−
1 2
3 1
y xy x
y x x
xy y
− +
−
+
5 2
4 2
3
y x y xy x
y xy
− +
+
+
2 Phép trừ các phân thức
a Trừ các phân thức cùng mẫu
a)
9
5 6 9
5
3x− − x+
b) 2 3 2 3
11
7 5
11
7 5
y x
y xy y
x
y
xy− − +
c)
9
8 3 9
16 6 9
5
−
−
−
−
+
−
−
−
x
x x
x x
x
d)
x
x x
x x
x
−
−
−
−
+
−
−
−
8
8 3 8
16 6 8
5
b Trừ các phân thức không cùng mẫu
a) x2 + 1 -
1
1
2
4
+
+ x
x
y x
y x +
+ 2 24
9
1 3
2 1 3
1
x
) x ( x x
x x
x
−
−
− +
−
−
−
+
d)
1 2
2 3 1
6 1 2
2 3
2 2
−
−
−
− +
−
+
x x
x x
x x
x
VII Nhân chia các phân thức
1 Phép nhân phân thức đại số
Quy tắc:
BD
AC D
C B
A
=
Ví dụ:
a)
y
b) −
3
y
c)
4 2
y
x −
Trang 3d) 2 2
3 3 2
2
2 2
2
6 6
y x y xy x
ay ax
+
−
+ +
+
−
e)
y x
y x y x
y x
15 15
8 8 2 2
3 3
−
+ +
−
2 2
2 2
4
15 15
5 5
4 2
y x
y x
y x
y xy x
+
−
−
+
−
g)
2 3
1 1
2
8
2
2 2
3
+ +
− +
−
+
x x
x x x
x
2 Phân thức nghich đảo
Cho ≠ 0
B
A
khi đó phân thức
A
B gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức
B A
A
B B
A
=
−1
Ví dụ: Tự lấy
3 Phép chia phân thức
BC
AD C
D B
A D
C : B
A
=
=
Ví dụ: a)
xy
y x : y x
y x
3
6 2
2
b)
ab
bx ax : b a
b a
2
3 2 9 4
2 2
2
c)
a
a :
) a (
a
3 3
20 20 1
5
− +
−
d)
ab
bx ax : b a
ay ax
2
3 2 4 2
2 2
+
−
B Bài tập:
1 Rút gọn các biểu thức sau:
a
1 2
1 1
1
2
2
+ +
+
+ +
+
x x
x x x
(
b
y xy x
y x y
x y
4 4
2
1 4
2 2
2 2
2 2
+ +
+
+
−
+
3 3 2
2
1 1 2 1
1
y x
y x y x y x y x
+
+ +
+
+
+
−
−
+
4 2
2 4
3 2
1
2 2
2 2 2
y x : y x x
y
y y
x
+
+ +
−
− +
−
x x y
xy x
x y xy
x
3
3 1 2 2
2 2
2 2
h 2 + + 2 − 2 − 2
1 2
1
y x y xy
4
x y
xy
−
i
1
36 6
1 6 6
1 6
2
2 2
−
+
− +
−
+
x
x x x
x x
x
x
−
−
−
− +
+
b a
ab a
b
b b a
a : b b a
ab a
k
Trang 42 Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
a)
) y x )(
x z ( ) x z )(
z y ( ) z y )(
y x
1 1
1
b)
2
4 4
8 4
2
2 4
2
2
−
− +
−
−
−
+
x
: x x
x x
x
c)
) x z )(
z y (
z )
z y )(
y x (
y )
x z )(
y x
(
x
−
−
+
−
−
+
−
−
1
1 2
2
3 2
2
1
2
2
−
−
+
−
+ +
−
+
x x
x x
x
3 Chứng minh các đẳng thức sau:
a
+ − − +
3
1 1
2 3
2
x x
x x
2 1
−
=
−
x
x x
x
b
y x
x x
y x x
y y
x y x xy
y
x
+
=
−
+
−
−
:
2 2 2
c
x y
x
y x : y x x
y
y y
1 1
4
4 2
2 4
3 2
1
2 2
2 2 2
−
+
+
−
−
+
−
d
x y
y y y
xy y
y x xy
3
3 1 2 2
2 2
2 2
+
+ +
−
− +
−
−
e
y x
x x
y x : x
y y
x y x xy
y x
+
=
−
+
−
4 Xác định các hệ số thoả mãn đẳng thức cho trớc.
Ví dụ: Xác định các hệ số a, b sao cho 3 ( )2
2
1 2
2 3
5
+
+
−
=
−
−
+
x
b x
a x
x
x
, Với mọi x ≠ 2 và x ≠ -1
Giải:
Ta có x3 – 3x -2 = ( x3 –x) – 2x -2 = x(x2 – 1) – 2(x +1) = (x +1) ( x2 – x) - 2(x+1)
= (x+1) ( x2 – x – 2) = (x+1)2 ( x-2) Vậy MTC : (x+1)2 ( x-2)
b a x ) b a ( ax )
x ( x
) x ( b x
a x
b x
a
2 1
2 2
2 1
2 1
1
2 2
2 2
− +
− + + +
=
− +
− + +
= +
+
−
Đồng mhất hai tử thức : x2 +5 = ax2 +(2a+b)x+a−2b ta đợc
−
=
=
⇒
=
−
= +
=
2
1 5
2
0 2
1
b
a b
a
b a
a
Bài tập: Xác định các hệ số a, b c, d sao cho
4
Trang 52
1 1
1
1
2
+ +
−
=
c bx x
a