Lý thuyết và phân dạng Giao thoa Hay_Khó Lê Trọng Duy

Cho thanh dao động, hai hòn bi ở A và B tạo ra trên mặt nước hai hệ sóng lan truyền theo những đường cong tại đó biên độ dao động cực đại gọi là những gợn lồi, và xem kẽ giữa chúng là mộ

Giao thoa sóng cơ học

A – Lý thuyết

1 Hiện tượng giao thoa

+ Một thanh thép ở hai đầu gắn hai hòn bi

nhỏ đặt chạm mặt nước yên lặng Cho

thanh dao động, hai hòn bi ở A và B tạo ra

trên mặt nước hai hệ sóng lan truyền theo

những đường cong tại đó biên độ dao động

cực đại (gọi là những gợn lồi), và xem kẽ giữa chúng là một nhóm những đường cong khác tại đó mặt nước không dao động (gọi là những gợn lõm) Những

đường sóng này đứng yên tại chỗ, mà không truyền đi trên

mặt nước

+ Hiện tượng đó gọi là hiện tượng giao thoa hai sóng

2 Lí thuyết giao thoa

a) Các định nghĩa

Nguồn kết hợp: Hai nguồn sóng phát ra hai sóng cùng tần số

và cùng pha hoặc có hiệu số pha không đổi theo thời gian gọi

là hai nguồn kết hợp VD: A, B trong thí nghiệm là hai nguồn

2

1 1

1

2 sin

2 sin

d t a

u

d t a

u

M M

M M

+ Độ lệch pha của hai dao động này bằng:

+ Tại những điểm mà hai sóng tới từ A và B cùng pha với nhau (   

 2 1  ), thì chúng tăng cường lẫn nhau, biên độ dao động cực đại Quỹ tích những

điểm này là những đường hypecbol tạo thành gợn lồi trên mặt nước

+ Tại những điểm mà hai sóng tới từ A và B ngược pha nhau (     

c) Định nghĩa hiện tượng giao thoa

+ Giao thoa là sự tổng hợp của hai hay nhiều sóng kết hợp trong không gian, trong đó có những chỗ

cố định mà biên độ sóng được tăng cường hoặc bị giảm bớt

+ Hiện tượng giao thoa là một đặc trưng quan trọng của các quá trình cơ học nói riêng và sóng nói chung

2

1 1

u

t a

u

+ Xét tại M cách hai nguồn S và1 S2 lần lượt là d và1 d2

+ Phương trình dao động tại M do S1 và S2gửi tới lần lượt là:

2 2

1 1

1 1

2 sin

2 sin

d t

a u

d t

a u

M M

M M

+ Độ lệch pha của hai dao động đó là: 2  1 2  1 2

2

2 1 2



2

2 1 2

2

2 1 2

2 1 2

Trường hợp đặc biệt 1  2 hoặc 1  2  k 2  (hai nguồn dao động cùng pha)

+ Điểm M là vị trí của vân cực đại nếu: d1  d2  k  (bằng một số nguyên lần bước sóng)

+ Điểm M là vị trí của vân cực tiểu nếu:  

+ Đường trung trực của S1S2là một vân cực đại ứng với k  0(vân cực đại bậc không!) (xem hình)

Hệ quả 1: Muốn biết tại điểm M có hiệu khoảng cách đến hai nguồn là: MS1 MS2   d , thuộc vân cực đại hay vân cực tiểu, ta xét tỉ số



d



:

+ Nếu bằng một số nguyên thì điểm M thuộc vân cực đại

+ Nếu bằng một số bán nguyên thì điểm M thuộc vân cực tiểu

Hệ quả 2: Nếu hai điểm M và M ' nằm trên hai vân giao thoa cùng loại bậc k và bậc k ' thì ta có thể viết:

2 1

k S M S M

k MS MS

Sau đó, nếu biết k và k ' cùng là số nguyên thì các vân đó là vân cực đại còn nếu cùng là số bán nguyên thì các vân đó là vân cực tiểu

1 Bài toán mẫu

Bài 1: Tại hai điểm A và B trên mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng dao động theo phương thẳng đứng với các phương trình lần lượt là u a t    cm

1 1



 và u2  a2sin 30  t   cm Vận tốc truyền sóng trên mặt chất lỏng là v  60  cm / s  Khi đó trên mặt chất lỏng xuất hiện các gợn lồi và gợn lõm hình hypebol xen kẽ nhau Một điểm M trên mặt chất lỏng cách các nguồn

1 1



 t a

u và u2  a2sin  50  t    Vận tốc truyền sóng trên mặt chất lỏng là v  100  cm / s  Khi đó trên mặt chất lỏng xuất hiện các gợn lồi

và gợn lõm hình hypebol xen kẽ nhau Một điểm M trên mặt chất lỏng cách các nguồn S và 1 S2 lần lượt là d và 1 d2 Chọn phương án đúng:

A Đường trung trực của S1S2thuộc gợn lồi

B Đường trung trực của S1S2thuộc gợn lõm

C Để M là một điểm nằm trên vân cực đại (gợn lồi) thì d1  d2  4 k  1   cm k  Z

/ 50

2 / 100

2 2 50

2 50

2 2 2

2

2 1

k

k d

d nên đường trung trực của S1S2không thuộc gợn lồi hay gợn lõm

b) Để M là một điểm nằm trên vân cực đại (gợn lồi) thì    k 2   k  Z 





2 2

1

2 1 2

; 50

1 1

1) Một điểm M trên mặt nước cách các nguồn S và 1 S2 lần lượt là d và 1 d2 Xác định điều kiện để

M nằm trên gợn lồi? Gợn lõm? Vẽ sơ lược các đường cực đại và các đường cực tiểu

2) Hai điểm P, Q thuộc hệ vân giao thoa có hiệu khoảng cách đến hai nguồn là PS1  PS2  5   cm ,

  cm QS

QS1 2  7 Hỏi các điểm P, Q nằm trên đường dao động cực đại hay cực tiểu? là đường thứ bao nhiêu và về phía nào so với đường trung trực của S1S2?

Giải:

+ Bước sóng: vT v 4   cm

50

2 100

+ Phương trình dao động tại M do S1 gửi tới: 

2 50

2 2 50

Dao động tổng hợp đó có biên độ cực tiểu nếu hai dao động thành phần dao động ngược pha, tức là:

là đường thứ hai kể từ trung trực của đoạn S1S2 về phía S2

b) Nếu điểm Q nằm trên vân cực đại thì nó phải thoả mãn điều kiện (1), tức là phải có điều kiện sau: d1 d2  4 k  1   cm  7  4 k  1  k  1 , 5  Z : không phải là một số nguyên nên Q không thể nằm trên đường cực đại

+ Nếu điểm Q nằm trên vân cực tiểu thì nó phải thoả mãn điều kiện (2), tức là phải có điều kiện sau: d1 d2  4 k  3   cm  7  4 k  3  k  1: là một số nguyên nên Q nằm trên đường cực tiểu

và là đường thứ hai kể từ trung trực của đoạn S S về phía S

ĐS: P nằm trên đường cực đại và là đường thứ hai kể từ trung trực của đoạn S1S2 về phía S2; Q nằm trên đường cực tiểu và là đường thứ hai kể từ trung trực của đoạn S1S2 về phía S2

Bài 4: Trong một thí nghiệm giao thoa trên mặt nước, hai nguồn kết hợp A và B dao động theo phương thẳng đứng, cùng pha, cùng tần số f  20  Hz  tác động lên mặt nước tại hai điểm A và B

Tại một điểm M trên mặt nước cách A một khoảng d1  25   cm và cách B một khoảng

  cm

d2  20 , 5 , sóng có biên độ cực đại Giữa M và đường trung trực của AB có hai dãy các cực đại

khác Tính vận tốc truyền sóng trên mặt nước

Giải:

+ Giả sử phương trình dao động tại hai nguồn kết hợp A và B là: u1  u2  a sin  t

+ Dao động tại M do các nguồn A, B gửi tới lần lượt là:

2

1 1

1

2 sin

2 sin

d t a

u

d t a

u

M M

M M

+ Độ lệch pha của hai dao động đó là:   2  d 1 d2

+ Từ (1) ta nhận thấy đường trung trực  d 1 d2 là một vân cực đại ứng với k  0 Mà giữa M và

đường trung trực của AB có hai dãy các cực đại khác nên dãy cực đại đi qua M ứng với k  3 (xem hình vẽ dưới)

+ Thay k  3 vào (1) tính được bước sóng:   cm

k

d d

5 , 1 3

5 , 20 25

2 Bài toán tự luyện

Bài 5: Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp A, B dao động cùng

pha cùng tần số f  16  Hz  Tại một điểm M trên mặt nước cách các nguồn A, B những khoảng lần

lượt là d1  30   cm ; d2  25 , 5   cm , sóng có biên độ cực đại Giữa M và đường trung trực của AB có hai dãy các cực đại khác Tính vận tốc truyền sóng trên mặt nước

ĐS: v  24  m / s 

Bài 6: Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp A, B dao động cùng

pha cùng tần số f  13  Hz  Tại một điểm M trên mặt nước cách các nguồn A, B những khoảng lần lượt là d1  19   cm ; d2  21   cm , sóng có biên độ cực đại Giữa M và đường trung trực của AB không

có cực đại nào khác Tính vận tốc truyền sóng trên mặt nước

ĐS: v  26  cm / s 

Dạng 2: Số điểm dao động cực đại và cực

tiểu trên đoạn thẳng

a) Số điểm dao động cực đại trên đoạn thẳng nối hai nguồn sóng S1S2

+ Giả sử điểm M nằm trên S1S2 thuộc vân cực đại, ta có hệ phương trình:

2 2

1

2 1 2 1 2

1 2 1

2 1 2 1

2

1

2 1

2

1

2 1

s d

s s k s

s

s s d d

s

s

k d

+ Từ đó tính ra có bao nhiêu giá trị nguyên của k thì có bấy nhiêu điểm dao động cực đại, và vị trí

(đối với nguồn S1) các điểm cực đại tính theo công thức:

2 4

2

2 1 2 1 1

+ Từ đó suy ra, khoảng cách giữa hai điểm cực đại liên tiếp đo dọc theo S1S2 là  / 2 (khi thay k bằng hai giá trị nguyên liên tiếp k và k  1)

b) Số điểm dao động cực tiểu trên đoạn thẳng nối hai nguồn sóng S1S2

+ Giả sử điểm M nằm trên S1S2 thuộc vân cực tiểu, ta có hệ phương trình:

4 2

2 2

1 2

2

1 2

2 1 2 1 1

2 1 2 1 2

1 2 1

2 1 2 1

2

1

2 1

2

1

2 1

s d

s s k

s s

s s d d

s

s

k d

+ Từ đó tính ra có bao nhiêu giá trị nguyên của k thì có bấy nhiêu điểm dao động cực tiểu, và vị trí

(đối với nguồn S1) các điểm cực tiểu tính theo công thức:

2 2 1

4 2

2 1 2

s

d

+ Từ đó suy ra, khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu liên tiếp đo dọc theo S1S2 là  / 2 (khi thay k bằng hai giá trị nguyên liên tiếp k và k  1)

+ Khoảng cách từ điểm cực đại đến điểm cực tiểu gần nhất đo dọc theo S1S2 là /4

c) Trường hợp điểm M nằm trên đường thẳng CD

+ Hoàn toàn tương tự, chỉ có điều kiện ràng buộc không phải là  s s1 2 d1 d2  s s1 2 mà được thay bởi:

1 Bài toán mẫu

Bài 1: (ĐH Cần Thơ – 2001) Tại hai điểm O và1 O2 trên mặt chất lỏng cách nhau 11   cm có hai nguồn phát sóng kết hợp dao động theo phương trình: x1  x2  2 sin 10  t   cm Vận tốc truyền sóng trên mặt chất lỏng v  20  cm / s 

1) Xác định độ lệch pha của hai sóng truyền tới điểm M trên bề mặt chất lỏng mà khoảng cách đến hai nguồn lần lượt là: d1  14   cm , d2  15   cm

2) Xác định vị trí các cực tiểu giao thoa trên đoạn O1O2

Giải:

+ Bướcc sóng: vT v 4   cm

10

2 20

x

cm

d t a

x

M M

M M

2

1 1

1

2 10 sin

2 10 sin

+ Độ lệch pha của dao động x2M so với x1M là:   2  d 1 d2

2) Dao động tổng hợp tại M: uM  u1M  u2M Dao động tổng hợp tại M cực tiểu nếu hai dao động thành phần dao động cùng pha, tức là:    k 2 , hay     





1 2

2 1 2

O O d d O O

cm O

O d d

11

2 4

2 1

2 1

2 1

d d

cm d

d

Z k

cm k

d d

5 , 6

2

; 1

; 0

; 1

; 2

; 3 2

5 , 6

25 , 2 25

, 3

2 5

,

6

11 2 4

11

1 1

1

cm k d

k cm k d

Z k

k

cm k d

Bài 2: (ĐH Quốc gia HN - 2000) Hai đầu A và B (AB  6 , 5   cm ) của một dây thép nhỏ hình chữ U

được chạm nhẹ vào mặt nước Cho dây thép dao động điều hoà theo phương vuông góc với mặt nước với tần số f  80  Hz  Biết vận tốc truyền sóng v  32  cm / s 

1) Trên mặt nước thấy các gợn sóng hình gì? Giải thích hiện tượng (không cần tính toán)

2) Tìm số gợn lồi và vị trí của chúng trên đoạn AB

Giải:

1) Trên mặt nước thấy các gợn sóng hình:

+ Một đường thẳng trùng với đường trung trực của đoạn thẳng

AB, hai bên đường thẳng đó là các đường hypecbol gợn lồi trên

mặt nước (đường nét liền) và xen giữa chúng là các đường

hypecbol mà tại đó không dao động (đường nét đứt) (xem hình

vẽ)

Giải thích: Hai sóng do hai nguồn A, B tạo ra là hai sóng kết

hợp (vì chúng dao động cùng phương cùng tần số và cùng pha),

do đó có hiện tượng giao thoa trong vùng hai sóng giao nhau

Tại những điểm mà hai sóng tới từ A và B cùng pha với nhau

thì chúng tăng cường lẫn nhau, biên độ dao động cực đại Quỹ

tích những điểm này là những đường hypecbol tạo thành gợn lồi trên mặt nước Còn tại những điểm

mà hai sóng tới từ A và B ngược pha nhau, chúng triệt tiêu nhau, biên độ dao động cực tiểu (bằng không) Quỹ tích những điểm này cũng là những đường hypecbol tạo thành gợn lõm không dao động trên mặt nước

2) Tần số góc:   2  f  160   rad / s 

  Hz   cm

s cm f

v

4 , 0 80

/ 32

u

t a

160 sin

2 1

+ Dao động tại M do các nguồn A, B gửi tới lần lượt là:

2

1 1

1

2 160 sin

2 160 sin

d t a

u

d t a

u

M M

M M

+ Dao động tổng hợp tại M: uM  u1M  u2M cực đại nếu hai dao động thành phần u2M và u1M dao

động cùng pha, tức là:    k 2  , hay   





2

2

2

d    d1 d2  k   0 , 4 k   cm  k  Z  (1) + Nếu điểm M là một điểm dao động cực đại (gợn lồi) ở trên đường nối AB thì ngoài phải thoả mãn

điều kiện (1) còn có thêm điều kiện ràng buộc:  

d AB

cm AB

d d

2 1

, 6

5 , 6

4 , 0

2 1

2 1

2 1

d d

cm d

d

Z k cm k d

Z k

k

cm k d

Z k

k

2 , 0 25 , 3

25 , 16 25

, 16

2 , 0 25 , 3

5 , 6 4 , 0 5 , 6

1 1

k

2 , 0 25

,

3

0

; 1

; 2

; 3

; 4

; 5

; 6

; 7

; 8

; 9

; 10

; 11

; 12

; 13

; 14

; 15

;

16

1

+ Có tất cả 33 giá trị của k nên số điểm gợn lồi trên đoạn AB là 33

+ Khoảng cách từ các gợn lồi (dao động cực đại) đó đến A tính theo công thức: d1  3 , 25  0 , 2 k   cm , với k  0 ,  1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6 ,  7 ,  8 ,  9 ,  10 ,  11 ,  12 ,  13 ,  14 ,  15 ,  16

ĐS: Có 33 gợn lồi

Bài 3: Hai nguồn sóng cơ O và1 O2 cách nhau 20   cm dao động theo phương trình

  cm t

+ Độ lệch pha của hai dao động thành phần đó là:  1 2

2

2

d    d1 d2  k   6 k   cm  k  Z  (1) + Dao động tổng hợp đó cực tiểu (không dao động) nếu hai dao động thành phần dao động ngược pha, tức là:

2 1 2

O O d d O O

cm O

O d d

20

3 6

2 1

2 1

2 1

d d

cm d

d

Z k cm k

d d

Z k

k

cm k d

Z k

k

3 5 , 11

83 , 2 83

, 3

3 5 , 11

20 3 6 20

1 1

k

3 5

,

11

2

; 1

; 0

; 1

; 2

;

3

1

: Có tất cả 6 giá trị của k

+ Vậy số điểm không dao động là: 6

+ Khoảng cách từ các điểm không dao động đến O1 tính theo công thức: d1  11 , 5  3 k   cm , với

2 , 1 , 0 , 1 ,

2) Hoàn toàn tương tự, nếu điểm M là một điểm dao động cực đại ở trên đường nối O1O2 thì ngoài phải thoả mãn điều kiện (1) còn có thêm điều kiện ràng buộc:  

2 1 2

O O d d O O

cm O

O d d

20 6

2 1

2 1

2 1

d d

cm d

d

Z k cm k d d

Z k

k

cm k d

Z k

k

3 10

33 , 3 33

, 3

3 10

20 6 20

1 1

k

3 10

3

; 2

; 1

; 0

; 1

; 2

;

3

1

: Có tất cả 7 giá trị của k

+ Vậy số điểm dao động cực đại là: 7

+ Khoảng cách từ các điểm dao động cực đại đến O1 tính theo công thức: d1  10  3 k   cm , với

3 , 2

từ các điểm không dao động đến O1 tính theo công thức: d1  10  3 k   cm , với k  0 ,  1 ,  2 ,  3;

Bài 4: Trong môi trường vật chất đàn hồi có hai nguồn sóng kết hợp A, B dao động theo phương trình

a

u

cm t

1 1

2 2

1 1

1 1

2 sin

2 sin

d t

a u

d t

a u

M M

M M

+ Độ lệch pha của hai dao động đó là: 2  1 2  1 2

2

2 1 2

d

Z k k

d d

2 1

2 1 2

2

2 1 1

+ Vậy, khoảng cách từ các điểm cực đại trên AB đến nguồn A tính theo công thức (1) Từ đó suy ra, khoảng cách giữa hai điểm dao động cực đại liên tiếp trên AB bằng nửa bước sóng  / 2

+ Chứng minh tương tự, khoảng cách giữa hai điểm dao động cực tiểu liên tiếp trên AB bằng nửa bước sóng  / 2

Bài 5: Trong thí nghiệm giao thoa sóng, người ta tạo ra trên mặt nước hai nguồn sóng A, B cách

nhau 3   cm dao động với phương trình uA  uB  a sin 100  t   cm Một hệ vân giao thoa xuất hiện gồm một vân cực đại là trung trực của đoạn AB và 14 vân cực đại dạng hypecbol mỗi bên Biết khoảng cách giữa hai vân cực đại ngoài cùng đo dọc theo đoạn thẳng AB là 2 , 8   cm Tính vận tốc truyền pha dao động trên mặt nước

2 100

2 100

1 2

1

2

d AB

d d

Z k k d d

2) Vì đường trung trực của đoạn AB là một vân cực đại và mỗi bên có 14 vân cực đại nên có tất cả 29

điểm dao động cực đại trên đoạn AB Mà giữa 29 điểm cực đại có 28 khoảng  / 2 nên ta có:

Bài 6: Trong một môi trường vật chất đàn hồi có hai nguồn S1, S2 cách nhau 9 , 5   cm phát dao

động cùng phương, cùng tần số f  100  Hz , cùng biên độ dao động và có pha lệch nhau không đổi theo thời gian Khi đó tại vùng giữa S1, S2 người ta quan sát thấy xuất hiện 10 vân dao động cực

đại và những vân này cắt đoạn S1, S2 thành 11 đoạn mà hai đoạn gần các nguồn chỉ dài bằng một phần tư các đoạn còn lại Tính bước sóng và vận tốc truyền sóng trong môi trường đó

Giải:

+ Theo lí thuyết giao thoa, khoảng cách giữa hai điểm dao động cực đại liên tiếp trên S1S2 bằng nửa bước sóng  / 2