Ôn TNTHPT Mũ Loga

Trong phần này Ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa có thể yêu cầu học sinh nêu các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số c

Chuyên đề 2 HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ

VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT

Ⓐ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:

◙ Hàm số lũy thừa:

● Tính chất của lũy thừa:

▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa aα:

+ αÎ ¥ a: α xác định  a  ¡

+ αÎ ¢- : aα xác định khi a ≠ 0

+ αÎ ¡ ¢ a\ : α xác định khi a > 0

▪ Tính chất: Với a, b > 0; m,n  ¡ :

m

n

a

a

∗( )a m n=a m n. ; ∗ (a b )m=a b m m

∗

m

æö÷

ç ÷ =

ç ÷

▪ a m n =n a m (a> 0; m n, Î ¢; n> 0)

▪ 2k x xác định khi x³ 0 (k  ¥ )

▪ 2k+ 1x xác định x  ¡ (k  ¥ )

▪ Đạo hàm ( )xα / =α.xα- 1 (x>0,αÎ ¡ ; ) ( )uα / =α.uα- 1.u/ (u>0,αÎ ¡ )

n

n n

n x

n

n n

u

n u

◙ Hàm số mũ:

▪ Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1) có tập xác

định là ¡ ; tập giá trị là ¡ *+ (tức là ax > 0, x ¡ −

chú ý tính chất này để đặt điều kiện của ẩn phụ sau

này); liên tục trên ¡

▪ Đạo hàm ( )a x /=a xlna (a > 0, a ≠ 1)

▪ Khi a > 1 hàm số y = a x đồng biến trên ¡

▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = a x nghịch biến trên ¡

▪ a 0 = 1 ∀a ≠ 0 , a 1 = a

▪ Khi a > 1: lim x a x

+ ¥

- ¥

▪ Khi 0 < a < 1: lim x a x 0

+ ¥

® = ; limx a x

- ¥

▪ Với a > b > 0 ta có: a x > b x⇔ x > 0 và a x < b x ⇔ x < 0

(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0< <a 1để nhớ các tính chất )

◙ Hàm số logarit:

 Chú ý: Khi xét log a x phải chú ý điều kiện a> 0; a¹ 1vµ x> 0

Trong phần này Ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ

số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit phải dương).

▪ Cho 0 < a ≠ 1 , x > 0: log a x = y ⇔ a y = x.

▪ Với 0 < a ≠ 1 ta có: aloga n = ( n > 0 ) ; log n a a m=m (∀m ∈ ¡ ); log a1 =

0; loga a = 1

▪ loga(x1.x2) = logax1 + logax2; 1

2

loga x

x = logax1 - logax2 ( x1; x2 > 0 )

▪ logaxα = α.logax (x > 0) và log 1.loga

α

= (x > 0, α ≠ 0).

▪ Đổi cơ số: loga loglogb

b

x x

a

= hay logax = log a b.log b x

▪ logab = log1

b a và log loga b b a = 1

▪ Hàm số y = loga x xác định và liên tục

trên (0 ;+ ∞ )

▪ Đạo hàm (log )/ 1

.ln

a x

=

▪ Khi a > 1 hàm số y = loga x đồng biến

trên ( 0 ; + ∞ )

▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = loga x nghịch

biến trên ( 0; + ∞ )

▪ Nếu a > 1:

lim loga ; lim loga

▪ Nếu 0 < a < 1: xlim loga x ; lim logx a x

(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất )

▪ Chú ý đến các công thức:

loga b(0 1; 0)

b=a < a¹ b> và b=loga a b (0< a¹ 1)

◙ Phương trình, bất phương trình mũ:

▪ Phương trình a x = b có nghiệm ⇔ b > 0.

▪ a f(x) = a g(x) ⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1)

▪ Nếu a > 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) > g(x).

▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x).

▪ a f(x) = b ⇔ f(x) = log a b

▪ a f(x) < b (với b > 0) ⇔ ( ) logf x < a b nếu a > 1; ( ) logf x > a bnếu 0 < a < 1

▪ a f(x) > b ⇔

0 ( ) 0

b

b

éì £ïïêí

êïïîê Î

êì >ïêï

êïîë

◙ Phương trình, bất phương trình logarit:

▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

logab có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 và b > 0

▪ log n m loga

a

m

n

= ( b > 0 ; 0 < a ≠ 1 ) ▪ loga b 2k = 2k.loga|b| với k ∈ 

▪ loga f(x) = log a g(x) ⇔ f(x) = g(x)

▪ loga f(x) ≥ log a g(x) ⇔ ìïï f x f x( )( )³ g x g x( )( ) khikhi 0a>1a 1

ïî ▪ log ( ) ( ) log ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 1.

( ) ( )

ïï

= ïî

Ⓐ H ƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP :

▪ Cho học sinh nắm các bước giải như:

+ Yêu cầu học sinh phân tích đề bài xem giả thiết và kết luận là gì? có liên quan đến các công thức nào về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit…xem bài toán thuộc dạng chứng minh, tính toán, giải phương trình hay bất phương trình

+ Hướng dẫn học sinh xây dựng chương trình giải

+ Cho học sinh lên bảng thực hiện chương trình giải từ đó yêu cầu các học sinh khác nghiên cứu lời giải để học sinh nắm chắc kiến thức, khắc phục các sai sót vì chương này các công thức có dạng gần giống nhau nên học sinh hay áp dụng sai và mắc nhiều sai lầm

▪ Phân loại các dạng toán cũng như các cách giải; cụ thể:

● Loại tính toán:

▪ Ví dụ 1: Tính log 15 theo a khi biết 25 log 153 = a

 Hướng dẫn học sinh phân tích:

2

log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5= = + = + =a

5

1 log 5

log 3

= vậy log 5 là cầu nối giữa hai số cần tính.3

 Hướng dẫn học sinh xây dựng chương trình giải: Tính log 5 theo a 3 sau đó thay vào tính log 15 25

▪ Ví dụ 2: Không dùng máy tính hãy so sánh hai số

2,5

2

2 vµ

ç ÷

ç ÷

çè ø

 Đưa về cùng một cơ số (ở bài này là 2) sau đó dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ để so sánh

2,5

2,5

1

2 2

-æö÷

ç ÷

çè ø mà 2,5- > - 12 nên

2,5

2

2

- æöç ÷

< ç ÷çè ø÷

● Loại chứng minh:

▪ Ví dụ 1: Chứng minh x = 4 2 3+ - 4 2 3- = 2

 Cách 1: Phân tích (dễ thấy x > 0) x=2Û x2 =4 do trong biểu thức chứa căn bậc hai nên ta sẽ bình phương hai vế; nếu chứa căn bậc ba thì có thể lập phương

 Yêu cầu học sinh bình phương rồi rút gọn → kết quả cần tìm

 Cách 2:  Phân tích cho học sinh thấy rằng

4 2 3 4 2 3+ - = 4=2

Có thể tính 4 2 3+ vµ 4 2 3- bằng cách xem chúng là hai

2

xy

ïï

íï =

3 1

3 1

x y

ïí

-ïî Từ đó ta phân tích

2

4 2 3+ = 3 2 3 1+ + = ( 3 1)+ còn 4 2 3- tính tương tự Từ đó ta chứng minh được bài toán

▪ Ví dụ 2: Cho các số dương a, b, c trong đó c ≠ 1 Chứng minh

logc b logc a

 Áp dụng tính chất logm x=logm yÛ x=y nên ta lấy logarit cơ số m

dương khác 1 vế trái và chứng minh nó bằng logarit cơ số m của vế phải



log

log

log log log

c

c

b

a c

b

=

=

= Nên alogc b=blogc a

● Loại giải phương trình mũ và lôgarit:

Nêu các phương pháp giải như:

 Phương pháp đưa về cùng một cơ số: Để giải phương trình, bất phương trình mũ, lôgarit ta biến đổi chúng về dạng:

 Phương pháp lôgarit hóa: Để làm cho ẩn không nằm ở số mũ ta có thể lôgarit theo cùng một cơ số cả hai vế của một phương trình, bất phương trình (Chú

ý khi lôgarit hai vế một bất phương trình cần so sánh cơ số với số 1 để có dấu bất đẳng thức đúng)

 Phương pháp đặt ẩn phụ: Khi biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng f a( u x( ))=b, f a( u x( )) ³ b để đơn giản trong thao tác ta đặt t=a u x( ) chú ý

đặt điều kiện cho tham số t.

 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Phương pháp này dựa vào tính đồng biến, nghịch biến và đồ thị của hàm số

 Chú ý là phải nhận xét xem trong bài toán có bao nhiêu cơ số Phải lưu ý học sinh trước khi giải phương trình phải tìm điều kiện xác định

Vdụ: + Phương trình 2x + 3 = 5 x có thể đưa về một cơ số bằng cách biến đổi

5

x

x+ x æöç ÷

= Û ç ÷çè ø÷= .

1

x

-từ đó đặt ẩn phụ t = ( 2- 3)x

+ Phương trình 3x+ 4x=5x chứa ba cơ số không thể rút gọn cơ số nên phải dùng tính đơn điệu của hàm số để giải

+ Phương trình 2.4x+ 1+ 9x=6x+ 1

có thể biến đổi thành 8.4x+ 9x =6.6x nhận xét rằng 4 = 22 , 9 = 32 và 6 = 2.3 nên

PT trở thành 8 2( )x 2+ ( )3x 2 =6.2 3x x chia hai vế cho 2 3x x sẽ đưa pt về một cơ số

 Nếu không nhận xét được mà nghĩ đến dùng tính đơn điệu thì không thể giải được

+ Giải phương trình 2 2 1

2

log x = - 2log (3x+ 4)

 Nhận xét 1 2 1

2

-= nên sau khi đặt điều kiện nghiệm đưa pt về cùng

cơ số 2 để giải

 Trong bài này cần chú ý cho học sinh phép biến đổi log2x2=2log2x

chỉ đúng khi x > 0; nên phải sử dụng đúng công thức log2x2=2log | |2 x để giải bài này mới tìm được đúng nghiệm

● Loại giải bất phương trình mũ và lôgarit:

Cũng phân tích cơ số, đặt điều kiện như dạng phương trình mũ và lôgarit

nhưng bắt buộc phải so sánh cơ số với 1 để sử dụng đúng các công thức:

▪ Nếu a > 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) > g(x).

▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x).

▪ Nếu a> 1: loga f x( ) log> a g x( )Û f x( )> g x( )

▪ Nếu 0< a<1: loga f x( ) log> a g x( )Û f x( )< g x( )

 Ví dụ: + Giải bất phương trình: 62x+ 3< 2x+ 7 3.3 x- 1 (1)

Gợi ý để học sinh phân tích đề: Mũ là một nhị thức bậc nhất → đưa

về số mũ là x sau đó biến đổi cơ số.

6 6 2 2

÷

÷

4

x

æö÷ æö÷

ç ÷< ç ÷

 x > 4 (Chú ý cho học sinh là cơ số nhỏ hơn 1)

+ Giải bất phương trình: 4

1 3

1

x x

æ+ ö÷

HDẫn cho học sinh phân tích đề:

Đây là BPT lôgarit có cơ số lớn hơn 1 → Đặt điều kiện nghiệm sau

đó áp dụng công thức a> 1: loga f x( ) log> a g x( )Û f x( )> g x( ) với chú ý

4

0=log 1 và khi giải BPT 1 3 1

1

x x

+

³

- cần biến đổi về 1 3 1 0

1

x x

+

- ³

đồng và xét dấu hoặc dùng phương pháp khoảng

+ Có thể biến đổi trực tiếp

2 2

x

ìï + + > + ï

+ >

+ Giải bất phương trình: log(3- x)(3x x- 2) 1>

 Đây là một bất phương trình có ẩn ở cơ số nên ta phải chia ra hai

trường hợp (3−x) > 1 và 0 < (3−x) < 1 để giải.

● Loại giải hệ phương trình: (Chương trình nâng cao)

+ Nhắc lại các phương pháp giải hệ như phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính bỏ túi; các hệ đặc biệt như đối xứng…

+ Đầu tiên cần quan tâm đến đặt điều kiện nghiệm

 Ví dụ:

Giải hệ:

9

2 (1)

1 4

2 3

3

y x

x y

ï çè ø÷ ïí

ïï

ïïî

 Biến đổi (1) thành 2 x = -y 2 và (2) thành

3

y

x = Ta được hệ:

2 2

0 3

y x

-ïïï

ïïïî Giải hệ này tìm được nghiệm.

● Loại toán liên quan đến đạo hàm:

Học sinh phải nắm được các công thức tìm đạo hàm của các hàm số

a

này

 Chú ý cần phân biệt cho học sinh hai công thức: ( )a x / =a xlna và

( )xα / =α.xα- 1 vì học sinh hay hiểu và sử dụng sai như ( ) 2x / = x 2x- 1

Ví dụ: + Tìm đạo hàm của hàm số y=πx xπ

 Sau khi yêu cầu học sinh phân tích đề: Hàm số cần tìm đạo hàm có dạng

(u.v)/ = u / v + uv / với u=πx ; v x= πta cần chú ý cho học sinh thấy hàm số u là hàm số mũ còn hàm số v là hàm số lũy thừa từ đó các em áp dụng công thức không

sai lầm

Ⓐ Chú ý:

▪ Chỉ ra cho học sinh thấy sự liên quan của các kiến thức:

Ví dụ khi xét hàm số y = a x có ( )a x / =a xln (0a < a¹ 1) → khi 0 < a <

1 ta có lna < 0 nên y’ < 0, x  hàm số giảm trên ¡ ; khi a > 1 ta có lna > 0 nên y’ >

0, x  hàm số tăng trên ¡

▪ Phân tích các sai sót mà học sinh thường gặp phải khi giải các bài toán trong chương này như:

+ Không đặt điều kiện xác định của phương trình

+ Vận dụng không đúng các công thức nhất là các công thức về lôgarit + Quên so sánh cơ số với số 1 khi giải bpt mũ và lôgarit…

▪ Đối với học sinh khá giỏi có thể soạn thêm các bài toán nâng cao như: Giải phương trình log (5 x2+ 2x+ 2)=log (3 x2+ 2 )x

 Đặt log (3 x2+ 2 )x =t thì ta có x2+ 2x =3t ; thay vào phương trình đã cho ta được log (35 t + 2)=t biến đổi thành 3 2 5 3 2 1 1

t t æöç ÷ æöç ÷ + = Û çç ÷÷+ çç ÷÷=

è ø è ø Sử dụng phương pháp hàm số ta giải PT này tìm được nghiệm

 Học sinh dễ sai lầm khi thấy x = 1 là nghiệm từ đó kết luận nghiệm duy

nhất

Ⓓ M ỘT SỐ BÀI TẬ P :

① Tính giá trị của biểu thức A=(a+ 1)-1+ (b+ 1)-1 khi

a=(2+ 3)- 1 v bµ = -(2 3)- 1

② Biết log 527 =a, log 78 =b, log 32 =c Tính log 356 theo a, b, c

③ Tính

A

④ Rút gọn biểu thức B x= π 4 x x2: 4π (x> 0).

⑤ Vẽ đồ thị của các hàm số:

ⓐ y =2xⓐ y=log2 x

2

x

y æöç ÷

log

⑥ Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?

x

=ççè + ÷÷ø ; b) 2 x

y e

æö÷ ç

=ç ÷çè ø÷; c) 3 3 1 2

x x

= ççè - ÷÷ø.

⑦ Chứng minh rằng a2+ 3 a b4 2 + b2+ 3b a4 2 = ( 3a2 + 3b2)3

⑧ Chứng minh

1 log

abcd

x

=

abcd dương khác 1.

⑨ Không dùng máy tính hãy chứng minh đẳng thức 37 5 2+ + 37 5 2- =2.

⑩ Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau:

6

logπ 3 1- víi logπ 2 1- .

ⓐ log 32 víi log 35 .

9 víi 4.

ⓐ log 54 víi log 65

ⓐ Giải các phương trình sau:

ⓐ 3x- 5=7, ⓐ 3|3x- 4|=92x- 2

ⓐ ( ) 4 log 3 1

3

3

x

- +

= ⓐ ( ) ( )53 x+ 103 x-10=84.

ⓐ 252x x- 2+ 1+ 92x x- 2+ 1=34.152x x- 2 ⓐ ( 5(7- 2))x+ 6 5(7( + 2)x =7

2

4

6

ⓐ | x- 1|log2x- logx2= -| x 1|3 ⓐ 3x + 4x + 5x =6x

ⓐ* (3 2 2 + )tanx+(3 2 2 - )tanx = 6 ⓐ* 2 2

log (x + 2x+ 1) = log (x + 2 )x

ⓐ Giải các bất phương trình sau:

log

x

x+ > ⓐ 2log (2 x- 1)> log (52 - x) 1+ .

ⓐ (x- 3)2x2- 7x > 1 ⓐ log4 3 x- log2x> 2.

5

6.9x- 13.6x + 6.4x £ 0.

ⓐ* Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn: log2(x2 2x 3)y 8 7 y2 3y

2

+

−

≤ +

ⓐ Giải các hệ phương trình:

x

y

y

ïï

x y

ïï

ïî

ⓐ 43 2 3128

x y

x y

+

-

ïí

15

ïï

íï - = ïî

3

ïï

2

3

2 10

27

y

ïïí

ïïî