Bài tập đồ thị hàm số pot

2 Tìm trên trục Oy các điểm từ đó có thể kẻ đỷợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị C.3 Xác định a để đồ thị C tiếp xúc với parabol y = x2+ a... Trên đỷờng thẳng d vuông góc với P tại O,

Bài tập đồ thị hàm số

2) Tìm trên trục Oy các điểm từ đó có thể kẻ đỷợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C).

3) Xác định a để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol y = x2+ a

= 1,

và hai đỷờng thẳng

(D) : ax - by = 0, (D’) : bx + ay = 0,

với a2+ b2> 0

1) Xác định các giao điểm M, N của (D) với (E), và các giao điểm P, Q của (D’) với (E)

2) Tính theo a, b diện tích tỷỏ giác MPNQ

3) Tìm điều kiện đối với a, b, để diện tích ấy lớn nhất

4) Tìm điều kiện đối với a, b, để diện tích ấy nhỏ nhất

Câu IVb Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC với cả ba góc nhọn Trên đỷờng thẳng (d) vuông góc vớimặt phẳng (P) tại A, lấy một điểm M Dỷồng BN CM BH CM⊥ , ⊥ Đỷờng thẳng KH cắt (d) tại N

1) Chỷỏng minh : BN CM⊥

2) Chỷỏng minh : BM CN⊥

3) Hãy chỉ cách dỷồng điểm M trên (d) sao cho đoạn MN ngắn nhất

1

x 11

Thay vào phương trình đầu thì được a = - 1

Câu II Đặt S = x + y, P = xy, ta đi đến hệ :

không được nghiệm vì 1

m3

≥ ư ⇒ m + 2 > 0

b) Với S S= 2 ⇒ P m S= ư 2, điều kiện S2≥4P trở thành :

2( 1ư + 1 3m)+ ≥4(m 1+ ư 1 3m)+ ⇒ 2 1 3m+ ≥ + m 2

Vì m + 2 > 0, có thể bình phương hai vế của bất phương trình này và đi đến

 = ± + π



( k ∈ Z)

1) Thay biểu thức của (D) vào phỷơng trình của (E), ta đỷợc các giá trị của tham số t ứng với các giao điểm M, N Từ

đó suy ra chẳng hạn (do có sự trao đổi vai trò của M, N):

9a + 4b ,

6a9a + 4b , N -

6b9a + 4b , -

6a9a + 4b

6a4a + 9b ,

6b4a + 9b

S = 2OM.OP = 72(a + b )

(9a + 4b )(4a + 9b )

3) Để ý rằng các phỷơng trình của (D) và (D’) có dạng thuần nhất (hay đẳng cấp) đối với a, b, tức là thay cho a và b,

ta viết ka và kb với kạ 0 Do vậy, có thể coi rằng a2

3) Vì K là trực tâm tam giác CMN, nên AM.AN = AK.AC

Vậy khi M di chuyển trên d, tích AM.AN không đổiị MN = = AM + AN nhỏ nhất khi AM = AN Khi đó

= 144

13 ,

Câu II 1) Giải phỷơng trình

sin3x + cos3x = 2 - sin4x

2) k, l, m là độ dài các trung tuyến của tam giác ABC, R là bán kính đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác đó Chứngminh rằng

Câu Va.

Cho hai đỷờng tròn

(C1) x2+ y2- 6x + 5 = 0,

(C2) x2+ y2- 12x - 6y + 44 = 0

Xác định phỷơng trình các đÛờng thẳng tiếp xúc với cả 2 đỷờng tròn trên

Câu IVb Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với các đỷờng chéo AC = 4a, BD = 2a, chúng cắtnhau tại O Đỷờng cao của hình chóp là SO = h Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần

lỷỳồt tại B’, C’, D’

1) Xác định h để B’C’D’ là tam giác đều

2) Tính bán kính r của hình cầu nội tiếp hình chóp theo a và h

Câu Vb

Hai góc nhọn A, B của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện

tg2A + tg2B = 2tg2 A + B

2 .Chỷỏng tỏ rằng ABC là một tam giác cân

Câu I 1) Đặt A = (x1 + x3)(x1 + x4)(x2 + x3)(x2 + x4)

Ta có(x1+ x3)(x1+ x4) = x + x (x + x ) + x x =12

1 3 4 3 4 -(ax1+ b) - cx1+ d = (d - b) - (a +c)x1,(x2 + x3)(x2 + x4) = (d - b) - (a + c)x2,

Cộng hai biểu thức này của A thì suy ra kết quả

2) Không giảm tổng quát có thể xem aÊ b Ê c khi đó theo bđt Côsi ta có

2+ b2+ c2)

2m2+c

2

2

= a2+ b2

Mặt khác a2 + b2 + c2 = 4R2(sin2A + sin2B + sin2C),

4sin2A + 4sin2B + 4sin2C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos2C) =

= 8 + 4cosCcos(A - B) - 4cos2C = 8 + cos2(A - B) - [2cosC - cos(A - B)]2 Ê 9,

suy ra: k + l + m

3

9R4

9R4

f’(a) = 4a3 + 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a2 + 2a + 3),

suy ra khi a = 1, f(a) đạt giá trị nhỏ nhất Vậy đoạn AM ngắn nhất khi MƒM (1 , 1)

2) Với M (1 , 1) đỷờng thẳng AM có hệ số góc

k =y - y

x - x =

-12

2(C ) : (x 6)− + −(y 3) =1

VËy

1(C ) cã t©m I (3, 0)1 , b¸n kÝnh R1=2,

2(C ) cã t©m I (6, 3)2 , b¸n kÝnh R2=1

Ta t×m ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi (C )1 vµ (C )2 d−íi d¹ng x = m

Tõ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc ta cã hÖ :

Tóm lại, ta có 4 đường thẳng tiếp xúc với (C )1 và (C )2 là (d ),(d ),(d )1 2 3 và x = 5

Câu IVb

1) AC'là đường cao trong tam giác cân SAC, do đó để C' thuộc đoạn SC, S phải là góc nhọn, muốn vậy phải có OC < SO ⇒ h > 2a

Tứ giác AB'C'D' có các đường chéo AC' và B'D' vuông góc với nhau Gọi K là giao điểm các

đường chéo ấy Ta có :

h 4a

=+

Mặt phẳng (AB'C'D') cắt BC tại B1 với AB // BD1 , AB1=2a Nếu B'C'D' là tam giác đều thì B'KC' là nửa tam giác đều, vậy

0 < 2cosA cosB = cos (A + B) + cos (A − B) ≤ cos (A + B) + 1

Trë vÒ víi ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n :

3.C©u III

1) Gi¶i vµ biÖn luËn theo a, b phû¬ng tr×nh

1 Ê 3

8,trong đó V là thể tích hình chóp S.ABCD, V1là thể tích hình chóp S.AMKN

x =4

Nếu m − 1 chẵn (tức m = 3, 5, 7, ) thì y' sẽ cùng dấu với

(4 − x) [4m − (m + 2)x] và do đó : ymin(4) 0= và

m m 4 max 2 m 4 m 2

(m 2)

+ +

=

víi b= −a2 hoÆc b = - a th× (1) cã mét nghiÖm x1=0

NÕu a = 0 th× (1) cã mét nghiÖm x2 =2b nÕu b ≠ 0 ; (1) sÏ v« nghiÖm nÕu b = 0

1) V× K lµ trung®iÓm cña SC, nªn theo h×nhbªn, trong tam gi¸c SAC, SO

vµ AK lµ hai ®ûêng trungtuyÕn c¾t nhau t¹i trängt©m H, vËy

1

2)Chỷỏng tỏ rằng đồ thị hàm số có một trục đối xỷỏng Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Câu II 1) Tìm nghiệm của phỷơng trình

sin2[(x + 1)y] = sin22(xy) + sin22[(x - 1)y]

sao cho (x + 1)y, xy, (x - 1)y là số đo các góc của một tam giác

2)Chỷỏng minh rằng với mọi tam giác ABC, bao giờ ta cũng có

y = x + 2(1 +3 x + 1) +3 x + 2(1 -3 x + 1)3

2) Cho bất phỷơng trình

-4 (4 - x) (2 + x)Ê x2

2- 2x + a - 18

a) Giải bất phỷơng trình khi a = 6

b) Xác định a để bất phỷơng trình đ ợc nghiệm đúng với mọi x ẻ [- 2 ; 4]

Câu IVa.

Cho parabol y = x2 Hai điểm A, B di động trên parabol sao cho AB = 2

1) Tìm tập hợp trung điểm của AB

2) Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol và cát tuyến AB đạt giá trịlớn nhất

Câu IVb

Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD ngoại tiếp đỷờng tròn tâm O bán kính R, các cạnh đáy AB và CDthỏa mãn điều kiện AB : CD = 1 : 4 Trên đỷờng thẳng (d) vuông góc với (P) tại O, lấy điểm S sao cho OS = 2R.1) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD

2)Chỷỏng minh rằng O cách đều 4 mặt bên của hình chóp Từ đó xác định tâm và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp

hàm này là hàm chẵn, do vậy đồ thị nhận trục O1Y làm trục đối xứng.

Tìm giao với trục hoành : y = 0Û Y=0

(3)

Vậy : nếu bài toán có nghiệm thì phải có xo= 2, yo=π/6.

Thử lại, thấy thỏa mãn tất cả các điều kiện đặt ra (đề nghị tự kiểm tra)

Đáp số : xo= 2 ; yo=π

6.2) a) a2 = b2 + c2 - 2bccosA =(b - c)2 + 2bc(1 - cosA)↔

³ 2bc (1 - cosA) = 2bc.2sin2A

2

a4bc sin

A2

3(a + b + c) ≥ 0.Bất đẳng thức cuối cùng đúng (vì đối diện với góc lớn hơn ta có cạnh lớn hơn).

Câu III 1) Biến đổi hàm số đã cho:

y = (x + 1) + 1 + 2 x + 1 +3 3 (x + 1) + 1 - 2 x + 1 =3 3

= (1 + x + 1) +3 2 (1 - x + 1) =3 2

= 1 + x + 1 + |1 -3 x + 1|3 ↔

³ 1 + x + 1 + 1 - x + 1 = 23 3

(Chú ý : hàm số xác định với"x ³ -1) Vậy min y = 2 (khi - 1 Ê x Ê 0)

2) Điều kiện để căn bậc hai có nghĩa : -2Ê x Ê 4

Biến đổi bất phỷơng trình nh sau:

f f

1) Gọi I, J lần l−ợt là trung điểm của AB và CD, OK ⊥ AD

Tam giác AOD vuông ở O Do đó :

S =5R (1+ 5) ;

3 SABCD 10

3

=

2) AD ⊥ (SOK) ⇒ SAD)⊥ SOK) Vậy hình chiếu của O lên (SAD) thuộc SK Tương tự với các mặt còn lại

Mặt khác, các tam giác SOK, SOH, SOI và SOJ đều vuông và bằng nhau nên các khoảng cách từ O đến 4 mặt bên bằng nhau

Rõ ràng, với cách lập luận như vậy hình chiếu của điểm O' bất kì thuộc SO lên 4 mặt cũng cách đều O' Muốn O' là tâm cầu nội tiếp hình chóp, ta vẽ đường phân giác của SKOn, đường này cắt SO ở O'

Bán kính mặt cầu nội tiếp bằng r = O'O = O'E

Tìm miền xác định của hàm số ; tính đạo hàm và xét dấu của nó.

2) Tìm a để hệ sau đây có nghiệm:

Trong không gian với hệ tọa độĐềcác vuông góc Oxyz, xét ba điểm A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), với a, b, c>0.

1) Viết phỷơng trình mặt phẳng (ABC)

2) Xác định các tọa độ của điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng (ABC) Tính độ dài OH

3) Tính diện tích tam giác ABC

4) Giả sử a, b, c thay đổinhỷng luôn thỏa mãn điều kiện a2

+ b2+ c2

= k2, với k>0 chotrỷỳỏc Khi nào thì tam giác ABC

có diện tích lớn nhất ?Chỷỏng tỏ rằng khi đó đoạn OH cũng có độ dài lớn nhất

Câu IVb

Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz, lấy lầnlỷỳồt 3 điểm A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c Gọi H

làtrỷồc tâm, G là trọng tâm, S là diện tích tam giác ABC

Đáp số : b = 0, a < 0 tùy ý

Câu II Phương trình đã cho tương đương với :

(1 a)yư 2ư2y+4a=0(1)

y 1cos x

1

3 < a < 1, với

1a2

suy ra a2b2+ b2c2+ c2a2£ a4+ b4+ c4Þ

Þ 3(a2b2+ b2c2+ c2a2) £ a4+ b4+ c4+ 2(a2b2+ b2c2+ c2a2) = = (a2+ b2+ c2)2= k4 Þ

AK⊥BC Nói khác đi OH và OK là các đỷờng cao hạ xuống các

cạnh huyền của tam giác vuông OAK và OBC Từ đó suy ra:

Mặt khác gọi J là trung điểm cạnh BC Kẻ Ju⊥mặt phẳng (OBC) và trong mặt phẳng (OAJ) kéo dài OG cắt Ju tại I.Các∆OAG và∆IJG đồng dạng, vậy:

Từ đó OA = 2IJ nên I cách đều O và A Hơn nữa, mọi điểm trên Ju cách đều 3 điểm O, B, C nên I là tâm mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện OABC với bán kính:

Tỷơng tự, a2

tgA = 2S ; c2tgC = 2Sị a2

tgA = b2tgB = c2tgC = 2S

3) Vì A cố định, H nhìn OA d ới góc vuông nên có thể chứng minh rằng tập hợp các điểm H là phần tỷ mặt cầu

đỷờng kính OA nằm trong góc tam diện vuông Oxyz Cũng vậy vì J có thể chạy khắp góc vuông yOz mà AG =(2/3)AJ nên tập hợp các điểm G là phần tỷ mặt phẳng song song với yOz nằm trong góc tam diện Oxyz và cắt OA tại

A’ sao cho:AK

3) Vì A cố định, H nhìn OA d ới góc vuông nên có thể chứng minh rằng tập hợp các điểm H là phần t mặt cầu

đỷờng kính OA nằm trong góc tam diện vuông Oxyz Cũng vậy vì J có thể chạy khắp góc vuông yOz mà

AG = (2/3)AJ nên tập hợp các điểm G là phần tỷ mặt phẳng song song với yOz nằm trong góc tam diện Oxyz và cắt

OA tại A’ sao cho:OA’ =1

3 OA.

3) Tìm m để đỷờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm A, B với OA⊥OB.

4) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ỷỏng với m = 1

Câu II 1)Chỷỏng minh rằng nếu 0<xÊ y Ê z, thì ta có :

B(x + 1)

Cho tam giác ABC đỉnh A(2, 2)

1) Lập phỷơng trình các cạnh của tam giác, biết rằng 9x - 3y - 4 = 0, x + y- 2 = 0 lần lỷỳồt là phỷơng trình các

(x 1)

+

=+ :

++

3 1k13

+

=

1 1

1k

k13

là hai tam giác cân có cùng cạnh bên Diện tích của

chúng bằng nhau, vậyMP = NP Từ kết quả này suy ra

các tam giác AMP và ANP bằng nhau,

do đó AP là phân giác góc A, mà ABC là tam giác cân,

vậy AP cũng là đường cao và trung tuyến của tam giác đó,

Xét giao tuyến của các mặt phẳng phân giác các góc nhị diện (A, SM, P) và (S, AM, P) Hiển nhiên không song song với (SAP), do đó cắt (SAP) tại I Điểm I cách đều các mặt phẳng (SAM), (SPM) và (AMP), vậy cách đều tất cả các mặt của hình chóp S.AMPN, tức là I

là tâm hình cầu nội tiếp hình chóp ấy

Bán kính r hình cầu này có thể tính đ−ợc theo công thức

Để tính diện tích tam giác cân SMP, gọi H là trung điểm của MP Vì MP là đáy của tam giác cân AMP, nên

MH AM sin a sin cos

1 - cos2x = sin2x + cos2x.

2)Chûáng minh r»ng c¸c trung tuyÕn AA’ vµ BB’ cña tam gi¸c ABC vu«ng gãc víi nhau khi vµ chØ khi

cotgC = 2(cotgA + cotgB)

= 1.

Gọi (D) là đỷờng thẳng đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc k, (D’) là đỷờng thẳng đi qua O và vuông góc với (D).1) Tìm điều kiện đối với k để (D) và (D’) đều cắt (H)

2) Tính theo k diện tích của hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (D) và (D’) với (H)

3) Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất

Câu IVb Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB với OA = OB, AB = 2a, đỷờng cao OH = h Trên đỷờng thẳng (d) vuônggóc với (P) tại O, lấy điểm M với OM = x Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB ; N là giao điểmcủa đỷờng thẳng EF với (d)

1)Chỷỏng minh rằng MB⊥NA, MA⊥NB

2) Tính BF, BE và thể tích khối tỷỏ diện ABEF theo a, h và x

3) Tìm vị trí của M trên (d) để tỷỏ diện MNAB có thể tích nhỏ nhất

2

2 2) ị 1

OM +

1

OP =

536

Từ (1) và (2) suy ra: MB⊥(AFE)ị MB⊥AN Hình chóp M.OAB đối xứng qua mặt phẳng (MOH) (H là trung

điểm của AB), nên từ kết quả MB⊥AN ta có MA⊥BN

2) AFB và OHB là các tam giác vuông đồng dạng nên ta có:

Câu III 1) Cho ba số dỷơng a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1.

2) Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong cùng một đỷờng tròn cho trỷỳỏc, hãy tìm tam giác có tổng các bình phỷơngcác cạnh là lớn nhất

Câu IVa

Cho a> 0, và f(x) là một hàm chẵn, liên tục và xác định trên R.

Chỷỏng minh rằng với mọi x ẻ R, ta đều có

1) Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E) Hãy viết phỷơng trình các đỷờng thẳng A1N và A2M, và xác định tọa

độ giao điểm I của chúng

2) Cho MN thay đổi sao cho nó luôn tiếp xúc với (E) Tìm tập hợp điểm I

Câu IVb

Cho hình chóp tam giác D.ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC Các đỷờng thẳng qua M, song song với AD, BD,

CD theo thỷỏ tỷồ cắt các mặt (BCD), (ACD), (ABD) tại A’, B’, C’

1) Gọi N là giao điểm của DA’ và BC Hãy chỷỏng tỏ rằng 3 điểm A, M, N là thẳng hàng

2)Chỷỏng tỏ rằng tỉ số giữa thể tích các hình chóp M.BCD và A.BCD bằng MA’/AD

0 2 0

Miền giá trị của f(x) là khoảng (-Ơ ; -2) Vậy ta đỷợc đáp số là -Ơ < a < -2

Câu II Ta giải phần 2) trỷỳỏc Ta biến đổi:

cos6x + sin6x = (cos2x + sin2x)(cos4x - sin2xcos2x + sin4x) =

2

Đặt điều kiện cos2xạ 0 ta sẽ đỷợc:

3sin22x + 8msin2x - 4 = 0

§Æt t = sin2x th× -1 < t < 1 (do cos2x¹ 0) vµ ta cã phû¬ng tr×nh:

c +

1a

+ 1

c .

11

a +

1b

+ BC2

+ CA2

lớn nhất Dùng định lí hàm số sin ta có:

AB2 + BC2 + CA2 = c2 + a2 + b2 =4R2 (sin2A + sin2B + sin2C)

Ta phải tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

S = sin2A + sin2B + sin2C =3

2

-1

2(cos2A + cos2B + cos2C).

Muốn S lớn nhất thì S1 = cos2A + cos2B + cos2C phải nhỏ nhất Ta có:

S1 = 2cos2

A - 1 + 2cos(B + C) cos(B - C) =

= 2cos2

A - 2cosA.cos(B - C) - 1

Vế phải là một tam thức bậc hai đối với cosA, hệ số của cos2

A là d ơng nên tam thức có giá trị nhỏ nhất khi

Tọa độ giao điểm I là nghiệm của hệ (1), (2) ⇔

⇔

2(m n)x

mny

=+ (6)

Từ (5) ta có :

Do mn = 1, từ (6) ⇒ y 1

m n

=+ ; thế vào (7) ta có

x = ư4 16y ⇒

2 2x

4y 1

4 + =

Vậy tọa độ của I thỏa mãn phương trình :

2 2x

4y 1

4 + = Vậy tập hợp điểm I là elip

2 2x

V = AH = AD (3) 3) Tương tự như phần 2) ta chứng minh được :

MACD ABCD

AD + BD + CD =

2) Với giá trị nào của a và b, phỷơng trình x3

+ ax + b = 0 có 3 nghiệm khác nhau lập thành một cấp sốcộng?

4

1) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ xM = a Chỷỏng minh rằng hoành độ các giao

điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là các nghiệm của phỷơng trình

(x - a)2 (x2 + 2ax + 3a2 - 6) = 0

3) Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thị tại 2 điểm P, Q khác nhau và khác M Tìm tậphợp trung điểm K của đoạn thẳng PQ

_

Câu IVa Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P)

(P) : y2 = x

Gọi (C) là đỷờng tròn tâm C(2, 0), bán kính R

1) Xác định R để đỷờng tròn (C) tiếp xúc với parabol (P) Xác định tọa độ các tiếp điểm T và T’

2) Viết phỷơng trình các tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại T và T’

3) Tính diện tích của tam giác cong chắn bởi parabol (P) và hai tiếp tuyến nói trên

Câu IVb

Trong mặt phẳng (P), cho đỷờng tròn (Χ) đ ờng kính AB = 2R Lấy C là một điểm trên đoạn AB, đặt AC = x (0<x<2R) ;một đỷờng thẳng đi qua C cắt đỷờng tròn (Χ) tại K, L Trên nửa đỷờng thẳng vuông góc với (P) tại A, lấy điểm S với AS = h Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB, cắt SB, SC, SK, SL lần lỷỳồt tại B’, C’, K’, L’.

1)Chỷỏng minh AK’B’L’ là một tứ giác nội tiếp

2)Đỷờng thẳng KL phải thỏa mãn điều kiện gì để C’ là trung điểm của đoạn K’L’ ?

3) Tìm điều kiện đối với đỷờng thẳng KL để AK’B’L’ là một hình vuông