Sức bền vật liệu - Chương 11

Trong nhiều trờng hợp tải trọng tăng lên một cách đột ngột hoặc là thay đổi theo thời gian và do đó chuyển vị và biến dạng của hệ cũng biến đổi theothời gian, do vậy trên hệ xuất hiện lự

Chơng 11

Tải trọng động

11.1 Khái niệm

11.1.1 Định nghĩa

Trong các bài toán đã nghiên cứu ở những phần trớc, tải trọng tác dụng lên hệ

đều là tải trọng tĩnh là tải trọng không thay đổi trong suốt quá trình làm việc; khi

đặt tải, tải trọng đợc tăng từ từ, êm ái và do đó không xuất hiện lực quán tínhtrong hệ Trong nhiều trờng hợp tải trọng tăng lên một cách đột ngột hoặc là thay

đổi theo thời gian và do đó chuyển vị và biến dạng của hệ cũng biến đổi theothời gian, do vậy trên hệ xuất hiện lực quán tính

Các loại tải trọng tác dụng lên hệ đang khảo sát mà có phát sinh lực quán

tính trên hệ thì đợc gọi là tải trọng động

Trong thực tế nhiều công trình hay chi tiết đợc tính với hệ số an toàn rất cao

đối với tải trọng tĩnh nhng lại vẫn bị phá hỏng bởi tải trọng động Vì vậy việcnghiên cứu phơng pháp tính toán đối với tải trọng động đóng vai trò rất quantrọng vì nó là vấn đề rất hay gặp trong kỹ thuật

11.1.2 Phân loại bài toán tải trọng động

Đối với bài toán tải trọng động thì những yếu tố khác nhau giữa tải trọng

động và tải trọng tĩnh thờng đợc xét đến bằng hệ số động, tức là khi tính toán ta

sẽ tính ứng suất và nội lực mà không chú ý đến tác dụng động của tải trọng, sau

đó ta mới nhân giá trị nội lực và ứng suất đó với hệ số động Vì vậy mà ta cầnphải xác định hệ số động ứng với mỗi loại tải trọng động khác nhau Có 3 loạibài toán tải trọng động nh sau:

a Bài toán chuyển động với lực quán tính không đổi.

Đây là trờng hợp hệ chuyển động tịnh tiến và hệ chuyển động quay

b Bài toán dao động.

Ví dụ nh một môtơ đợc đặt trên dầm, khi

làm việc, do phần rôto của môtơ có trọng lợng

lệch tâm nên sẽ gây ra lực quán tính ly tâm

biến đổi tuần hoàn theo thời gian và do đó sẽ

làm cho dầm dao động lên xuống

c Bài toán va chạm.

Nguyễn Hoàng Nghị

Trang: 32

aT

PP

qt = const

Pqt = constm

Trong bài toán va chạm ta có trờng hợp va chạm kéo (Hình a,b), va chạm nén

(Hình c), va chạm uốn (Hình d), va chạm xoắn (Hình e) và va chạm ngang (Hìnhf)

d Bài toán tải trọng di động

Sau đây ta sẽ đi sâu nghiên cứu từng bài toán cụ thể

11.2 Bài toán hệ chuyển động với lực quán tính không đổi

11.2.1 Bài toán hệ chuyển động tịnh tiến.

- Ví dụ: Một vật có trọng lợng P đợc

kéo lên nhanh dần đều với gia tốc a không

đổi (hình vẽ) Gọi  là trọng lợng riêng và F

là diện tích mặt cắt ngang của dây cáp Gia

tốc a đợc xem là dơng khi nó có chiều hớng

lên trên và là âm khi nó có chiều hớng

xuống dới Xác định nội lực trong dây cáp

tại một mặt cắt cách đầu dây một đoạn là x

P

N

đ

x

Xét cân bằng động ở một thời điểm nào đó, vì trên mỗi mặt cắt ngang của dây

đều chịu tác dụng của trọng lực P, trọng lợng của dây và lực quán tính nên theonguyên lý Dalambe ta có thể viết phơng trình cân bằng cho phần khảo sát:

P Fx P

P F

d  k

Trong đó : - g là gia tốc trọng trờng

- a là gia tốc khi kéo vật

11.2.2 Bài toán hệ chuyển động quay.

- Ví dụ 1: Xác định nội lực động lớn nhất trong thanh AC khi cho hệ quay

đều quanh trục thẳng đứng với tốc độ góc  Viết điều kiện bền cho thanh quay

K

M

M

P

Độ võng động của điểm C khi quả cầu quay là fc đợc tính theo phép nhân biểu

đồ Vêrêsaghin, do dầm bị uốn quanh trục y nên có:

EJ

l P a m

a m P

3

1

.

2 3 2

EJ

l m

l a m l

P M

3

1

.

2 3

2 max

Mmax

max (9-12)Hay:

qt y

y

W EJ

l m

l a m W

l P W

M

3

1

.

2 3

2 max

Cho thanh AB có diện tích mặt cắt ngang là F và mô đun đàn hồi E, tại đầu Bcủa thanh có gắn một quả cầu khối lợng m Xác định tốc độ góc cho phép của hệnếu cho thanh AB quay đều quanh trục thẳng đứng 00' Biết ứng suất cho phép là[], bỏ qua trọng lợng của thanh AB

a N

l z qt t

.

a m

2

1

.

a m P

2

1

.

a m

a m F

P qt

d

1

.

2 2

(9-20)

Đó là tốc độ góc cho phép của thanh AB khi nó quay xung quanh trục 00'

Nh vậy qua 2 ví dụ trên ta thấy vấn đề cơ bản của bài toán là xác định đợc lựcquán tính cho hệ, còn các quá trính còn lại giống nh trờng hợp tĩnh bình thờng

ở 2 ví dụ trên thì lực quán tính Pqt đều đặt vào một chất điểm có khối lợng m.Sau đây ta sẽ xét một ví dụ mà lực quán tính Pqt phân bố trên toàn bộ thanh chịulực

- Ví dụ 3:

Thanh AB quay đều quanh trục thẳng đứng 00' (hình vẽ) với vận tốc góc là ,thanh có tiết diện ngang là F và trọng lợng riêng là  Hãy vẽ biểu đồ nội lựctrong thanh và viết điều kiện bền cho thanh, biết ứng suất cho phép của thanh là[]

Giải:

1 Tìm lực quán tính ly tâm tác dụng vào phân tố có chiều dài dx:

Xét một phân tố diện tích trên thanh AB, phân tố có chiều dài dx ứng với mặtcắt 1-1 và có hoành độ là x Vậy phân tố có khối lợng là:

g

dx F

dm. . (9-21) Vậy lực quán tính ly tâm tác dụng vào phân tố dx là:

2

2 . . .

g

dx F x

max

d

N

Dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh và chia thanh ra làm 2 phần Xét phần bên phảicủa mặt cắt 1-1 ta thấy lực quán tính ly tâm từ mặt cắt 1-1 đến đầu mút B củathanh có trị số là:

2 2

2 2

2 2

.

x a g

F x

g

F xdx g

F dP

P

a

x

a x a

x qt

N d  qt    (9-24) Qua biểu thức trên ta thấy Nđ phụ thuộc theo bậc 2 đối với khoảng cách x

Nh vậy ta có nhận xét:

+ Khi x = 0 (ứng với điểm nằm trên trục quay) có:

2 2

2g a

F P

N d  qt   (9-25)+ Khi x = a (ứng với điểm mút A và B) có:

2

2 2 2

N d

2

2 2 max

Nh vậy để tính đợc lực quán tính trong trờng hợp thanh quay có khối lợngphân bố liên tục thì ta phải xác định lực quán tính tác dụng lên một phân tố cókhối lợng dm, sau đó tiến hành tính lấy phân để tính lực quán tính tác dụng lêncả đoạn thanh

11.3 Bài toán dao động

11.3.1 Khái niệm

a Bậc tự do:

Khi nghiên cứu dao động của hệ đàn hồi, trớc tiên ta phải có khái niệm về bậc

tự do Bậc tự do của một hệ đàn hồi khi dao động là số thông số độc lập xác

Hệ trên hình a có 6 thông số là x, y, z, x, y, z để xác định vị trí của hệtrong không gian, hay nói cách khác là hệ có 6 khả năng chuyển động, đó là 3chuyển động tịnh tiến và 3 chuyển động xoay Vậy ta nói hệ đó có 6 bậc tự do.Trên hình b biểu diễn vật có khối lợng m đặt trên một dầm, nếu bỏ qua trọng l-ợng bản thân của dầm thì hệ chỉ cần có một thông số để xác định vị trí của nótrong mặt phẳng Ta nói hệ có một bậc tự do

Trên hình c và để xác định đợc vị trí của hệ ta phải biết các độ võng y1 và y2của các khối lợng m1 và m2 Hệ trên hình e có hai thông số 1 và 2 để xác định

vị trí của nó trong không gian Các hệ đó là các hệ có hai bậc tự do Hệ trên hình

d có một thông số x để xác định vị trí của nó, vậy hệ đó có một bậc tự do

Với hệ trên hình f thì tuy chỉ có một khối lợng M, nhng để xác định vị trí của

M thì ta cần phải có hai toạ độ x và y Nếu nh mômen quán tính của M đối vớitrọng tâm là không đáng kể thì hệ có hai bậc tự do, còn nếu phải để ý đếnmômen quán tính của M đối với trọng tâm của nó thì hệ có ba bậc tự do vì ngoàihai toạ độ thẳng của M ta còn phải để ý đến sự quay của M khi hệ dao độngtrong mặt phẳng của khung

Số bậc tự do của hệ tuỳ thuộc vào sơ đồ lựa chọn để tính, việc chọn sơ đồ tínhtoán dựa vào mức độ gần đúng cho phép giữa sơ đồ tính và hệ khảo sát Ví dụtrong trờng hợp khi không thể bỏ qua trọng lợng bản thân của dầm thì hệ sẽ cóvô số bậc tự do Cách giải bài toán là luôn tìm cách đa hệ về hệ có bậc tự do thấphơn để tính dễ hơn, nhng với cách giải này ta chỉ đạt đợc kết quả gần đúng Vậybậc tự do của một hệ xác định theo sơ đồ tính đã chọn, nghĩa là nó phụ thuộc vào

sự gần đúng mà ta đã chọn khi lập sơ đồ tính

b Dao động tự do và dao động cỡng bức

Dao động tự do của hệ đàn hồi đợc chia làm hai trờng hợp đó là: Dao động tự

do và dao động cỡng bức

+ Dao động tự do: Là dao động chỉ có lực kích thích ở thời điểm ban đầu

sau đó hệ không chịu tác dụng của lực kích thích đó nữa mà hệ tự dao động.

Lực kích thích ban đầu thờng là một xung lực hoặc là một sự va chạm nào đó,

do vậy mà bài toán này còn đợc xét dới dạng bái toán va chạm

+ Dao động cỡng bức: Là dao động của hệ đàn hồi khi có lực kích thích

trong suốt quá trình dao động

Lực kích thích có thể không tuần hoàn nh lực tác dụng vào xe khi nó đi vàocác chỗ ghồ ghề lồi lõm khác nhau, hoặc lực kích thích có thể tuần hoàn nh lựctác dụng vuông góc với trục dầm khi có một động cơ điện đặt trên dầm, lực nàylàm cho dầm dao động tuần hoàn

Nếu gọi P0 là lực ly tâm phát sinh khi rô to của động cơ quay thì lực tác dụngvuông góc với trục dầm là P(t)

P(t) = P0 sin (9-28) Nhng góc  biến đổi theo thời gian quay và tốc độ góc  tức là:  = t

Vậy:

P(t) = P0 sint (9-29)Lực kích P(t) là một lực kích thích tuần hoàn có biên độ là P0 và tần số 

Biên độ lực kích thích P0 chính là lực ly tâm lớn nhất phát sinh trong rô to của

động cơ khi nó quay Trên hình vẽ là sơ đồ rôto động cơ, trong đó C là tâm củarôto Do trình độ kỹ thuật, giả sử trục của động cơ

đặt vào điểm 0 cách tâm C một khoảng e gọi là độ

lệch tâm

Khi rôto quay quanh trục O với tốc độ góc  thì tại C sẽ phát sinh lực ly tâm

P0 đợc tính theo công thức:

P0 = m.e.2 (9-30) Trong đó m là khối lợng của rôto

Trong thực tế kỹ thuật có vô số chi tiết máy do trình độ kỹ thuật có hạn màchế tạo có độ lệch tâm e Có một số chi tiết lại cố ý chế tạo lệch tâm (ví dụ nh cơcấu cam, trục khuỷu, quả lệch tâm trong máy đầm ) Do đó lực kích ta thờnggặp là lực kích thích tuần hoàn

Sau đây ta sẽ đi sâu nghiên cứu dao động cỡng bức của hệ có một bậc tự do

d-ới tác dụng của lực kích thích tuần hoàn

11.3.2 Dao động cỡng bức của hệ đàn hồi một bậc tự do

Xét dầm AB là một hệ đàn hồi có đặt một vật khối lợng m tại hoành độ z nào

đó Tại điểm đặt vật có lực kích thích tuần hoàn P(t) = P0 sint (P0 là biên độ lực

C



P

0

kích thích,  là tần số lực kích thích) Tìm chuyển vị động lớn nhất tại hoành độ

z đã cho và ứng suất cực đại trong dầm? (Khi tính toán bỏ qua trọng lợng bảnthân dầm)

Theo đầu bài, nếu ta bỏ qua trọng lợng bản thân dầm thì hệ đã cho có một bậc

tự do vì chỉ cần một giá trị độ

võng y tại hoành độ z là ta có

thể xác định đợc vị trí của hệ

Ban đầu khi cha có lực kích thích P(t) thì dầm đã có sẵn độ võng yt tại điểm

đặt vật Khi hệ đặt thêm lực kích thích tuần hoàn P(t) thì tại điểm đặt vật sẽ cóthêm một độ võng động (ký hiệu là yđ) Vậy vấn đề cần giải quyết ở đây là taphải tìm độ võng động yđ ?

a Lực tác dụng vào hệ:

Khi vật m đang chuyển động thì có ba lực tác dụng vào nó, đó là:

+ Lực quán tính ngợc chiều chuyển động có giá trị:

Trong đó: m là khối lợng của vật và y d là gia tốc chuyển động của vật

(Nếu gọi chuyển vị của khối lợng m là yđ có chiều dơng là chiều hớng xuốngdới thì ta thấy chuyển vị yđ là hàm của thời gian, do đó gia tốc và vận tốc củakhối lợng m là d y d

dt

y d

dt

dy

F        (9-32)

Trong đó:  là hệ số tỉ lệ và y d là vận tốc chuyển động của vật).

Vậy tổng hợp các lực tác dụng vào vật khối lợng m là:

)

sin ( 0

P qt P c

yđ = P. (9-34)Hay:

y y y

2 (9-38), với  là hệ số cản của môi trờng

Vậy biến đổi phơng trình (9-36) ta có:

t m

P y y

* yđ1 là nghiệm riêng của phơng trình vi phân không thuần nhất Nghiệmnày có dạng:

t C

t C

4

2

Nguyễn Hoàng Nghị

Trang: 42

2 2 2 2 2

0 1

4 1

+ A1 là biên độ của dao động điều hoà

+  là pha ban đầu của dao động điều hoà

* yđ2 là nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân thuần nhất

+  là tần số riêng của hệ khi không có cản

+  là pha ban đầu của dao động tự do tắt dần

Sau một thời gian xác định thì thành phần dao động tự do tắt hoàn toàn, lúc

đó hệ sẽ dao động điều hoà Tức là ta có:

0 1

max

4 1

Với A1 là biên độ của dao động diều hoà

Ta đã biết P0 là biên độ của lực kích thích Vậy tích số P0. có thể coi là độ

võng tại điểm có hoành độ z do biên độ lực kích thích P0 giả thiết đặt tĩnh gây

*

4

2 2 2 2 2

4 1

t d d

t

t

 là ứngsuất do trị số lớn nhất của lực kích thích khi đặt tĩnh lên hệ gây ra Nếu trên hệcòn có tải trọng tĩnh tác dụng thì ứng suất toàn phần trên một mặt cắt nào đó làtổng ứng suất do tải trọng tĩnh và tải trọng động gây ra

Chú ý:

Công thức (9-54), (9-55) ta thành lập với hệ đàn

hồi chịu uốn, còn với trờng hợp hệ đàn hồi chịu lực

kéo, nén, xoắn ta cũng có tơng quan tơng tự Ví dụ

Trong đó n là số vòng quay của động cơ (v/ ph)

+ Tần số riêng  của hệ khi không có cản

Từ công thức (9-37) ta có:

t

y

g P

Vậy vấn đề cơ bản của việc xác định tần số riêng là vấn đề tính độ võng yt đốivới dầm, tính chuyển vị dài t đối với thanh chịu kéo nén, tính biến dạng t đốivới lò xo Hình vẽ:

Q t tp

d

P t

Q t tp

K y y y

K

.

0 0

2 2 2 2

Hiện tợng tăng biên độ dao động khi tần số lực kích thích trùng với tần số

riêng của hệ đợc gọi là hiện tợng cộng hởng.

Hiện tợng cộng hởng rất nguy hiểm cho các chi tiết và công trình Thực vậy,nếu k d   thì các ứng suất đ (hoặc đ) cũng cùng tiến tới , trong quá trình đó

nó sẽ vợt qua các giá trị ứng suất nguy hiểm 0 (hoặc 0) và làm hệ bị phá huỷ

Do những lý do trên mà hầu hết các trờng hợp trong kỹ thuật ngời ta tìm mọibiện pháp để khắc phục hiện tợng cộng hởng, chỉ có một số trờng hợp là lợi dụng

nó (ví dụ nh trong máy đầm, máy sàng )

b Biện pháp khắc phục hiện tợng cộng hởng:

- Thực tế thì khi tần số lực kích thích không khác nhiều so với tần số dao

động riêng của hệ thì biên độ dao động đã tăng lên rõ rệt, do đó mà nó hìnhthành một miền cộng hởng Biện pháp tích cực nhất là làm sao trong quá trìnhthiết kế và sử dụng tần số kích thích  khác xa so với tần số riêng  (Thờng là

 ) Để thực hiện nguyên tắc này có thể có hai cách sau:

+ Nếu tần số riêng cố định thì có thể thay đổi nhanh tần số lực kích thích

Nguyễn Hoàng Nghị

Trang: 46

5 , 0 2

4 , 0 2

2 , 0 2

0 2

4321

K

d



1

sao cho thời gian trùng của hai tần số là ngắn nhất để hiện tợng cộng hởng khôngxảy ra kịp Đó là hiện tợng tăng tốc độ nhanh qua số vòng quay nguy hiểm của

động cơ (điều này ta có thể xác định trớc đợc)

+ Nếu tần số lực kích không thể thay đổi đợc (vì do động cơ chỉ có mộtcấp tốc độ) thì có thể thay đổi tần số riêng  Tức là thay đổi độ võng yt (có thểthay đổi trọng lợng vật đặt tĩnh P = mg hoặc thay đổi độ cứng EJ của dầm)

- Biện pháp thứ hai là dùng các bộ phận giảm chấn (ví dụ nh lò xo) thay thếcác gối tựa cứng để phân tán năng lợng dao động và nâng cao hệ số tắt dần

Ví dụ: Một động cơ có trọng lợng Q đặt giữa dầm Xác định số vòng quay

tới hạn [n] của động cơ khi nó quay với tốc độ  Cho dầm có độ cứng EJ

 30



30 ] [ 

Mặt khác theo phép nhân biểu đồ Vêresaghin ta có:

g EJ

n] 30 48 3.[





11.3.4 Ví dụ về bài toán dao động hệ một bậc tự do

Bài toán: Một động cơ điện có trọng lợng là Q = 40KN đợc đặt trên dầm thép

mặt cắt chữ I có số hiệu N0 = 40 (Jx = 18940 cm4 và Wx = 947cm3), dầm có chiềudài l = 6m Tốc độ quay của động cơ là n = 550 v/ph Do khối lợng lệch tâm nênkhi quay môtơ sinh ra lực quán tính ly tâm trong động cơ là P0 = 6KN Tìm độvõng và ứng suất pháp cực đại trong dầm (khi tính toán bỏ qua trọng lợng bảnthân dầm và lực cản của môi trờng) Biết E = 2.107 N/cm

Giải:

Q

l/2 l/2

1 Tìm độ võng và ứng suất do trọng lợng Q có sẵn trên dầm gây ra Từ hình

vẽ và theo phép nhân biểu đồ Vêresaghin ta tính đợc:

EJ

l Q y

x

Q

18940 10 2 48

600 10 40 48

.

7

3 3 3

947 4

10 6 10 40 4

.

cm

N W

l Q W

M

x x

Q Q

t

 do nó gây ra

Từ hình vẽ và theo phép nhân biểu đồ Vêresaghin ta tính đợc:

cm EJ

600 10 6 48

.

7

3 3 3

max

*

95

947.4

10.6.10.64

0

cm N W

l P W

M

x x

P t