hai phương pháp tìm GTLN; GTNN thường dùng

HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤTI.

HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

I Phương pháp dùng hằng đẳng thức

VD1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức :

A = 2x -3 x + 1

B = -x + 4 x 1+

C = 2x + 3 x + 1

D = - x - 4 x 1+ Giải

2

A = 2x + 3 x + 1= 2(x- x )

3 9 9 1 = 2 x 2 x

4 16 16 2

= 2 x -

4 8

+

 − + − + 

 − 

Ta thấy

2

3

4

 −  ≥

1

A - 8

≥

Dấu bằng xảy ra x 3 x 9

⇔ = ⇔ =

Vậy MinA 1

8

= −

*) B = - x - 4 x 1+ ( Đk : x 0≥ )

( )

x 4 x 4 5

= - x 2 5 5

= − − + +

− + ≤

( Do ( )2

- x 2− ≤0) Vậy B 5≤ với mọi x 0≥

Dấu bằng xảy ra ⇔ x 2= ⇔ =x 4

Vậy Max B 5= ⇔ =x 4

Ta có: 2x 0

3 x 0

 ≥





≥

 với mọi x 0≥

Suy ra C = 2x + 3 x + 1 1≥ với mọi x 0≥

Vậy Min C = 1 ⇔ =x 0

*) D = - x - 4 x 1+ ( Đk : x 0≥ )

Ta có : x 0

4 x 0

− ≤





− ≤

 với mọi x 0≥

Suy ra D = - x - 4 x 1 1+ ≤ với mọi x 0≥

Dấu bằng xảy ra khi x = 0

Vậy Max B = 1 khi và chỉ khi x = 0

Nhận xét: P ax b x c(a 0)= + + ≠

1) a > 0 suy ra có giá trị nhỏ nhất của P

a < 0 có giá trị lớn nhất của P

2) Nếu a, b trái dấu dung hằng đẳng thức

Nếu a, b cùng dấu lập luận trực tiếp theo đk x 0≥

II Áp dụng BĐT Cosi – Bunhacopxki

1) BĐT Côsi : a 0 a b ab a b 2 ab

2

b 0

 ≥

a = b

2) BĐT Bunhacopxki : ( ) (2 ) ( )

ax by+ ≤ x y a b+ + Dấu bằng xảy ra

⇔ x y

a b=

VD2: Cho M(x; y) thuộc đường thẳng: 2x + 3y = 26 (d)

Tìm điểm M sao cho khoảng cánh từ M tới gốc tọa độ là nhỏ nhất

Giải

Cách 1: M (x; y) ; O (0; 0)

Suy ra ( ) (2 )2

OM= x 0− + −y 0 = x y+

Hay

2

2 2 2 2 26 2x

OM x y x

3

 − 

= + = +  ÷

Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì OM đạt giá trị nhỏ nhất2

( Dùng hằng đẳng thức để biến đổi)

Cách 2: OM2= +x y2 2

Mặt khác : 2 ( ) (2 2 2) ( 2 2) ( 2 2)

26 = 2x 3y+ ≤ 2 3 x y+ + =13 x y+

2

13

⇒ + ≥ =

Vậy OM đạt giá trị nhỏ nhất x y x 4

2 3

y 6 2x 3y 26



⇔ + = ⇔ =



Cách 3:

Kẻ OH vuông góc với (d), H thuộc (d)

Khi đó OM OH≥ với mọi M thuộc (d)

Vậy OM nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với H

Mà (d) : y 2x 26

−

= + ; OH d⊥ ⇔a aOH d= −1 a = OH 3

2

⇔ ; (OH): y 3x

2

=

Vậy tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:

y x 2

y 6 2x 3y 26

 + =

 Vậy với M (4; 6) thì Om đạt giá trị nhỏ nhất

y (d)

H