10 bài toán về chứng minh BĐT, Tìm GTLN, GTNN

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

1.Cho 4 số thực a, b, c, d thoả mãn: a2b2 1; c – d = 3

4



F ac bd cd

Giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki và giả thiết ta có:

2

d

Dựa vào BBT (chú ý: 2

2



d

), ta suy ra được: ( ) ( 3) 9 6 2



f d f

Dấu "=" xảy ra khi 1 ; 1 ; 3; 3

2 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của

 a b c  b c a  c a b P

Giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ( )3,

 

a b c c

c và 1

3 ta được:

 

b c

 

c a

Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra P  1 minP 1 khi a b c   1

3 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2  3 Tìm giá trị nhỏ nhất

P

Giải:

P

6 2

P   Vậy GTNN là Pmin = 3

2 khi x = y = z

4 Cho a, b, c 0 và 2 2 2

3

a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

2

3 2 2

3 2 2 3

1 1

c c c

b b b

a

















2 4

1 1

2 1

2 2

4

2 2

2

b

a b

a











2 4

1 1

2 1

2

2 2

2 2

c

b c











2 4

1 1

2

1

2

2

2 2

2

a

c a









6 3

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16



6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

2

3











2

3 2 2

3 2 2

9 2 2

3 2 2

9

6 3    



 P

Để PMin khi a = b = c = 1

5 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

x y z  

2 x y z x     2 y z x y     2 z

Giải:

+Ta có : 2x y z1 14 2.( 1x y z 1 )

+ Lại có : 1 1 1( 1);

x y  4 xy

1 1 1( 1);

y z  4 yz

1 1 1( 1);

x z  4 xz

cộng các BĐT này ta được đpcm

6 Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

2 2 2

P

Giải:

Từ giả thiết ta có xyz ≥ x + y + z ≥ 3 xyz3  (xyz)3 ≥ 27.xyz  xyz ≥ 3 3

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

x2 + yz + yz ≥ 3 (3 xyz)2 ; y2 + zx + zx ≥ 3 (3 xyz)2 ; z2 + xy + xy ≥ 3 (3 xyz)2

3

3 (xyz) 3 (xyz) 3 (xyz) (xyz) (3 3)

Từ đó ta có Max P = 1

3 đạt được khi x y z x y z 3

x y z xyz

 





7 Cho a,b,c lµ c¸c số thùc kh¸c 0 CMR

3

a  b c b  c a c  a b  Giải:

Áp dụng BĐT Bunhacopki:

2

T





2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

VT

c

VT

dpcm



8 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Giải:

Ta có :

P

Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y  

Do đó : x3 + y3  xy(x + y) x, y > 0 hay

x y

y  x   x, y > 0 Tương tự, ta có :

y z

z  y   y, z > 0

z x

x  z   x, z > 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:

P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

3 Vì vậy, minP = 2

9 Cho x, y, z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

Giải:

Với x, y, z > 0 ta có

4(x3 + y3)  (x + y)3 () Dấu = xảy ra  x = y

Thật vậy ()  4(x + y)(x2 – xy + y2)  (x + y)3

 4(x2 – xy + y2)  (x + y)2 do x, y > 0

 3(x2 + y2 – 2xy)  0  (x – y)2  0 (đúng) Tương tự ta có4(y3 + z3)  (y + z)3 Dấu = xảy ra  y = z

4(z3 + x3)  (z + x)3 Dấu = xảy ra  z = x

Do đó 3 4 x 3 y3  3 4 y 3 z3  3 4 z 3 x3  2 x y z    6 xyz 3

Ta lại có 2 2 2 3 xyz

6 x

z z

y y

x













 Dấu = xảy ra  x = y = z

xyz

1 xyz 6

P

3

























 z y x

1 xyz

 x = y = z = 1

Vậy minP = 12 Đạt được khi x = y = z = 1

9 Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6

P

x x y y y y z z z z x x

Giải:

Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc :

P

a ab b b bc c c ca a

2a b 2 (a b)a2 ab b2

3

a ab b

a ab b



  (Biến đổi tương đương)

1

3

a ab b

a ab b

Tương tự: 2 3 3 2 1( ); 2 3 3 2 1( )

3

P a b c   abc  (BĐT Côsi)

=> P 2, P2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1

Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1

End _