Một vài phương pháp tìm GTLN, GTNN áp dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS đông thịnh

1.Mở đầu 1.1.Lý do chọn đề tàiViệc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông nhằm đào tạo nguồnnhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhậpquốc tế,

MỤC LỤC Nội dung:

1 Mở đầu……….… Trang 11.1 Lý do chọn đề tài……… Trang 1,21.2 Mục đích nghiên cứu……… Trang 21.3 Đối tượng nghiên cứu……… Trang 21.4 Phương pháp nghiên cứu… ………Trang 2,3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm….……… Trang 32.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ………Trang 3,42.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……Trang 4,52.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ………… ……… Trang 5 - 162.4 Hiệu quả của sáng SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,

đồng nghiệp và nhà trường…… ………Trang 16,17

3 Kết luận và kiến nghị………Trang 17,18

- Kết luận .Trang17,18

- Kiến nghị……… Trang 18Tài liệu tham khảo.……… Trang 19

1.Mở đầu 1.1.Lý do chọn đề tài

Việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông nhằm đào tạo nguồnnhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhậpquốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng dẫnhọc sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng, độngviên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tíchcực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học,chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồidưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh,góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân Trong đó dạng toán tìmGTNN và GTLN là vấn đề của ngành toán học nhằm giúp các em HS THCS cókhả năng tư duy và lập luận và rồi các em có khả năng áp dụng vào cuộc sống và

có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác

Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tương đối mới và khó đối vớihọc sinh THCS Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biến đổi tương đươngcác biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đếnphức tạp phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo.Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THCS Tôi nhận thấy, phát hiện vàbồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học, nhất là các môn khoahọc tự nhiên và đặc biệt là môn Toán Nhằm phát huy năng lực tư duy của họcsinh trong quá trình giải toán và phát hiện những học sinh có năng lực về toán

Ai cũng thấy rằng: học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụngkiến thức và rèn luyện kĩ năng trong việc giải toán Chuẩn bị cho việc vận dụngcác kiến thức toán vào thực tiễn công tác sau này Số bài toán thì nhiều không kểxiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, do đó cần rèn luyện óc phântích bài toán và nắm vững tính đặc thù của từng dạng bài

Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được hướng đi, hay hơn thế làhình thành được ''phương pháp giải'' mỗi khi gặp một bài toán cực trị đại số Cụthể hơn là cách tìm GTLN, GTNN?

Với thực tế và yêu cầu chung đó, việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụngcủa giáo viên là hết sức cần thiết Trong tài liệu này tôi xin giới thiệu đề tài:

“Một vài phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)

áp dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS Đông Thịnh”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng côđọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm phát triển tưduy của học sinh

- Ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác

- Rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, tránh những sailầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh cónăng khiếu về toán

- Trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường có bài toán tìm cực trị đại sốnên đây cũng là một tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồidưỡng học sinh giỏi

- Đáp ứng nhu cầu học hỏi tìm hiểu của học sinh làm cho các em yêu thích môntoán hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN trongchương trình toán THCS

- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan

- Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 7,8, 9

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

- Đọc các tài liệu có liên quan

- Tạp chí toán tuổi thơ 2

- Phương pháp dạy học môn toán ;

- Sách giáo khoa

- Sách giáo viên

- Sách tham khảo

1.4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Điều tra nắm tình hình dạy của các giáo viên trong và ngoài nhà trường

- Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng đề tài “Một vài phương pháp tìm giá trị

lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) áp dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS Đông Thịnh” của học sinh.

- Chất lượng của học sinh trước và sau khi thực hiện

1.4.3 Phương pháp phân tích

Phân tích yêu cầu, kĩ năng giải một bài tập

1.4.4 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để dạy tốt hơn trong quá trìnhdạy học

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳthi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt là thi vào các trường THPT chuyênthường gặp những bài toán yêu cầu tìm GTNN, GTLN của một đại lượng nào

đó Các bài toán này gọi chung là các bài toán cực trị

Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, mang nội dung vô cùngsâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán Đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất,ngắn nhất, dài nhất trong một bài toán Để dần dần hình thành cho học sinhthói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống saunày

Các bài toán cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối với các emhọc sinh Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cách giải thông

minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học

ở bậc học để giải quyết loại toán này

Các bài toán về cực trị đại số ở bậc THCS góp phần không nhỏ vào việcrèn luyện tư duy cho học sinh

Việc hướng dẫn học sinh nắm được các phương pháp giải các bài toán cựctrị là vấn đề quan trọng Để từ đó phát triển tư duy, kích thích khả năng học môntoán của các em học sinh khá, giỏi

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Hiện nay thực tế việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trongtrường phần kiến thức này có nhiều vấn đề cần quan tâm Đó là trong sách giáo

khoa toán 8; toán 9 chỉ đưa ra một phần nhỏ phương pháp giải bài toán Vì vậy

trong khi ôn tập giáo viên chưa có đủ thời gian để hệ thống phương pháp giảimột cách lôgic đầy đủ và khoa học cho học sinh và tài liệu tham khảo cho họcsinh về GTNN và GTLN khi viết và đưa ra các ví dụ hoặc bài toán còn liên quanđến nhiều kiến thức mà học sinh trong trường chưa tiếp cận đến, vì vậy khi gặpdạng toán này học sinh trong trường thường không làm được hoặc làm được thìgiải thích chưa được cặn kẽ

Thời lượng chương trình dành cho học dạng toán này hầu như không có

mà chỉ thông qua các bài tập

2.2.1 Đối với giáo viên

Giáo viên đầu tư thời gian nghiên cứu còn ít, việc dạy tự chọn phần nàyđôi khi bỏ qua vì cho là khó với học sinh và trong sách giáo khoa nói đến còn rất

ít Vì vậy khi ôn tập cho học sinh lớp 9 thi học sinh giỏi và thi vào phổ thôngtrung học giáo viên nhặt nhạnh vài bài thấy hay là dạy dẫn đến học sinh ngơ

ngác chẳng hiểu gì Trong quá trình lên lớp “GTLN và GTNN” không đơn giản

chút nào Ngoài ra phương pháp giảng dạy giáo viên chưa quan tâm rèn kĩ năngcho HS

Dạng toán tìm GTNN và GTLN là một trong những bài toán khó củaTHCS mà trong những năm gần đây được các thầy cô quan tâm đến nhiều hơn

về phương pháp và những dạng toán cụ thể nhằm rèn luyện khả năng tư duysáng tạo cho học sinh và khả năng làm toán tìm GTNN và GTLN, không nhữngthế mà đây là một dạng toán thường hay thi HSG và thi vào lớp 10

2.2.2 Đối với học sinh

- Học sinh thấy phần kiến thức này ít và khó nên không đầu tư học nhiều

- Học sinh chưa biết cách vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan đã học vàovận dụng vào giải bài toán GTNN và GTLN nên gặp loại bài toán này học sinh

bí tắc trong cách giải

- Tài liệu tham khảo cho học còn ít và chưa đưa ra các phương pháp cụ thể đểcho học sinh trung học cơ sơ dễ tiếp cận

2.2.3 Kết quả khảo sát chất lượng học sinh

Cụ thể khi khảo sát dạy nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinhlớp 7,8,9 tìm GTLN, GTNN số em vận dụng kiến thức đã học vào làm đúng vàlàm tốt đạt 25% , số em biết vận dụng vào làm bài tập đạt 55% , số em chưa vậndụng kiến thức thành thạo vào làm bài tập 20%

Từ thực trạng trên để học sinh hiểu và vận dụng làm tốt hơn tôi đã mạnh dạnđưa vào chủ đề tự chọn và các buổi học bồi dưỡng HS giỏi để giảng dạy phầnGTNN và GTLN

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) �0 (hoặc A(x) � 0)

- Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:

+ Chứng minh rằng A(x) � k với k là hằng số.

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra

- Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:

+ Chứng minh rằng A(x) � k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1)2 + (x-3)2

A(x) = (x-1)2 + (x-3)2 = x2-2x+1+x2-6x+9 = 2(x2-4x+5) = 2(x-2)2+2�2

Vì (x-2)2 � 0 với x Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) =-5x2 - 4x+1

2.3.2 Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một

biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x)2 0

a Ta cần chứng minh rằng với x>0; y> 0 và xy = k (không đổi) thì x+yđạt giá trị nhỏ nhất khi x=y.

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương ta có:

2

2

x y

xy (x y) 4xy hay x y 2 xy 2

Vậy tổng P = x+y lấy giá trị nhỏ nhất x+y = 2 k khi x = y

b Tương tự trên nếu hai số dương x và y có x+y = k (hằng số)

2.3.4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số

Ví dụ 7: Tìm giá trị của m và p sao cho:

A = m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p +28 đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhấtđó

Vậy Min A=2 khi m=-3; p=1

Ví dụ 8: Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất

P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5

x2 � 0 với x, y

Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y)2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2

đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồngthời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm

x 2y 0

x 0 3y 2z 0

Từ (1) ta có: y = 7x

5 Từ (2) ta có: z 3x

2

Thay vào (3) ta được:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n

 vào x2 + y2 = 52 ta có x2 + 9x2 52 x 4

Vậy Max A = 26 <=> x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6

2.3.6 Phương pháp giải các bài toán cực trị đại số thoả mãn một hệ các điều kiện nào đó.

Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P(x,y) = 6x + 4y thoả mãn điềukiện:

Từ P(x,y) = 6x+4y với x>0; y > 0 do đó 6x > 0; 4y > 0

=> [P(x,y)]2 = (6x+4y)2 � 4.6x.4y=96.xy

Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của A(x,y,z) = xyz (x+y)(y+z)(z+x) Biết x, y, z � 0

2.3.7 Phương pháp dùng tam thức bậc hai

a Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới.

b Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới.

Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2

c Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện  �0

<=> (a-1)x2 + (a-1)x + a-1 = 0(2)

Trường hợp 1: Nếu a =1 thì (2) có nghiệm x = 0

Trường hợp 2: Nếu a �1 để (2) có nghiệm, cần và đủ là  �0

2.3.8 Một vài phương pháp đăc biệt

(Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức biết quan hệ giữa các biến -Tìm cực trị có điều kiện)

Ở dạng này thường dùng đó là biểu thị ẩn nọ qua ẩn kia (qua việcgiải hệ phương trình bằng phương pháp thế).Trên cơ sở điều kiện củabài để biến đổi đưa về biểu thức về dạng 1

)1(632

z y x

z y x

Giải

Theo phương trình (1) và (2), tìm được:

33

4

;2

( x, y, z có vai trò như nhau)

+ Dựa vào điều kiện: x  0 , y  0 , z  0 để lập luận và tìm ra yêu cầu của bài

40

20

z

x y

Do đó:0x2(kết hợp với điều kiện) nên khi đó học sinh tìm được:

3

43

2.3.9 Những sai lầm thường gặp khi giải toán cực trị

Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức.

A =

17 6

Vì A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất

Vậy Max A =

8

1 khi x = 3

Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định: “A

có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa nói rõ là

điều kiện tử và mẫu đều dương

B Chẳng hạn x = 3 thì B =

5

1

 4

1.Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đãmáy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sangphân số có tử và mẫu là số nguyên

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức A = x2 + y2 biết x + y = 4

Lời giải sai: Ta có A = x2 + y2  2xy Do đó A nhỏ nhất  x2 + y2 = 2xy

Cách giải đúng:

x + y = 4 suy ra x2 + 2xy + y2 = 16 (1)

Ta lại có (x – y)2 suy ra x2 – 2xy + y2  0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(x2 + y2)  16; x2 + y2  8

Nên MinA = 8 khi x = y = 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Sáng kiến kinh nghiệm đề tài: “Một vài phương pháp tìm giá trị lớn nhất

(GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) áp dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS Đông Thịnh”

đã được thử nghiệm và áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi của trường tôi dạy.Trong thời gian áp dụng đề tài cho thấy học sinh tiếp thu nhanh vận dụng vàogiải bài tập nhanh, khoa học, chính xác Nhiều em còn đề xuất những hướng giảikhác và tổng quát hóa bài toán

Mức độ yêu thích môn toán nói chung nâng lên, các em không còn thấyngại dạng toán tìm GTLN và GTNN của môn đại số nữa mà trở nên hứng thúhọc và tìm hiểu nhiều hơn

Đa số các em nắm được các phương pháp tìm GTLN và GTNN, biết sửdụng các phương pháp này vào giải từng bài toán cụ thể

Học sinh đã từng bước khai thác các bài toán khó dựa vào kiến thức đã học

để mở rộng kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải toán tìm GTLN và GTNN

Các em ngày càng yêu thích môn toán hơn chính vì thế mà học sinh giỏimôn toán các cấp của trường tôi ngày càng tăng về số lượng và chất lượng

Sau khi giảng dạy đề tài tôi tiến hành làm bài kiểm tra kết quả thống kê như sau:

Tuy nhiên bên cạnh đó một số ít học sinh còn chưa chịu khó nghiên cứutài liệu và trao dồi học hỏi bạn bè, nên đôi khi còn lúng túng trong việc vận dụngcác phương pháp trên Do đó trong quá trình giảng dạy đề tài tôi luôn kiểm tra,

đánh giá cụ thể từng bài, từng em trong từng giai đoạn để việc giảng dạy, bồidưỡng được tốt hơn.

3 Kết luận và kiến nghị

KẾT LUẬN

Phương pháp tìm cực trị trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi ngườihọc phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cáchlinh hoạt Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bịchu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất

và cách vận dụng Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập,tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em Cần thường xuyênkiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc

và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau Nghiên cứu đề tài “Một

vài phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) áp dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS Đông Thịnh”

không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, phát triển tư duy chohọc sinh, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảngdạy Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếusót Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến để

đề tài này hoàn thiện hơn

KIẾN NGHỊ

Đối với cấp quản lí: Cần tổ chức sinh hoạt chuyên đề về đề tài tìm cực trị đại sốnói riêng và nhiều đề tài khác nói chung để giáo viên có điều kiện trao dồi,nghiên cứu nhiều hơn

Đối với giáo viên: Phải tự học tự nghiên cứu nắm vững nội dung tìm cực trị đại

số toán THCS để việc giảng dạy và áp dụng được tốt hơn

Trên đây là một kinh nghiệm thu được qua việc tự học, tự bồi dưỡng, tôi

đã áp dụng vào việc giảng dạy ở trường đã thấy chất lượng giờ dạy nâng lên rõrệt Tôi mạnh dạn đưa ra trao đổi cùng đồng nghiệp Rất mong hội đồng khoahọc và các đồng nghiệp góp ý để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn