Tính quãng đờng AB, ngời đó khởi hành lúc mấy giờ?... Nối AQ và BP chúng cắt nhau tại I.
Trang 1ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học: 2009-2010 Mụn thi: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 90 phỳt
Câu 1:( 4 điểm)
1 Chứng minh rằng 3636 - 910 chia hết cho 45
2 Tìm x, y ,z biết rằng:
x− + = − +
b) 2x = 3y = 5z và x – y + z = -33
7 x 7 x 0
Câu 2 ( 1.5 điểm)
Một ngời đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút Sau khi đi đợc
5
4 quãng đờng thì ngời đó đi với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc 12 giờ tra Tính quãng đờng AB, ngời đó khởi hành lúc mấy giờ?
Câu 3:( 4 điểm) : Cho tam giác ABC có Aˆ 120 < °.Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác
đều ABD và ACE
a) Gọi M là giao điểm của BE và CD Tính ∠BMC
b) Chứng minh rằng: MA + MB = MD
c) Chứng minh: ∠AMC = ∠BMC
d) áp dụng các kết quả trên giải bài toán sau: Dựng điểm I trong tam giác NPQ (có các góc nhỏ hơn 120°) sao cho: ∠NIP = ∠PIQ = ∠QIN
Bài 4: :( 0.5 điểm)
Tính tổng S = 22 + 42 + 62 + … + 202, biết 1 + 22 + 32 + 42 + … + 102 = 385
Đáp án và biểu điểm
Môn : Toán 7 Câu 1:(4 điểm)
Trang 21 Ta có 3636 có tận cùng bằng 6 ; 910 có tận cùng bằng 1
(1/2 điểm)
Do đó 3636 - 910 chia hết cho 5, đồng thời cũng chia hết cho 9 Vậy chia hết cho 45 (1/2 điểm)
2 a) (1 điểm)
1 2 3
1 2 3
1 7 2
3 3
1 5 2
3 3
3, 2
1 4 14
1
2 3
x x
x
x
x
− =−
= + =
−
=− + =
−
⇔ − + =
⇔ − = ⇔
⇔
b) (1 điểm)
Tính đợc x = - 45; y = - 30; z = -18
c) (1 điểm)
x
+
Giải ra đợc x =7 ; x = 8 ; x = 6
Câu 2:(.1.5 điểm)
Ta có sơ đồ sau:
Gọi thời gian đi CB với vận tốc 4 km/h là t1 (phút)
Gọi thời gian đi CB với vận tốc 3 km/h là t2 (phút)
=> t2 - t1 = 15 (phút) và v1 = 4 km/h; v2 = 3 km/h (1/2 điểm)
Ta có
3
4
2
1 =
v
v
mà vận tốc và thời gian là 2 đại lợng tỉ lệ nghịch nên:
15 1
15 3
2
31
42 3
4 1
2 = ⇒ t =t =t −−t = =
t
t
(1/2 điểm)
t2 = 15 4 = 60 (phút) = 1 (giờ)
Tính đợc quãng đờng AB bằng: 15 (km)
tính đợc ngời đó khởi hành lúc: 8 (giờ) (1/2 điểm)
Trang 3Câu 3:(.3.5 điểm)
Vẽ hình - ghi GT & KL đúng (1/2 điểm)
a)Ta có: ∆ADC = ∆ABE (c-g-c) => ∠ADC =∠ABE
Gọi F là giao điểm của AB và CD Xét ∆ADF và ∆BMF
Có Dˆ =Bˆ ; ∠AFD = ∠BFM ( đối đỉnh)
=> ∠BMF =∠FAD => ∠BMF = 60°=>∠BMC =120° (1 điểm)
b)Trên tia MD lấy điểm P sao cho BM = MP
=>∆BMP là tam giác đều => BP = BM; ∠MBP =60°
Kết hợp với ∠ABD =60° => ∠MBA = ∠PBD => ∆PBD = ∆MBA (c-g-c)
=> AM = DP
AM + MB = DP + PM = DM (1 điểm)
c) Từ: ∆PBD = ∆MBA => ∠AMB = ∠DPB, mà: ∠BPD = 120°
=>∠BMA =120°
=> ∠AMC =120° =>∠AMC = ∠BMC (1/2 điểm)
d) áp dụng các kết quả trên, ta giải bài toán nh sau: Dựng ngoài tam giác NPQ các tam giác đều NPA và NQB Nối AQ và BP chúng cắt nhau tại I
Thì I là điểm thỏa mãn: ∠NIP = ∠PIQ = ∠QIN => Điểm I là điểm cần dựng
(1/2 điểm)
Bài 4 (1 điểm):
S = (1.2)2 + (2.2)2 + (3.2)2 + … + (10.2)2
S = 22.(1 + 22 + 32 + 42 + … + 102)
S = 4 385 = 1540