ĐỀ THI CHÍNH THỨC.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Môn thi : TOÁN – THPT (Bảng B)
Ngày thi : 15/3/2013
(Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3,00 điểm)
Cho hàm số 2 2
2
x x y
x
+ −
=
− .Tìm 2 điểm trên 2 nhánh của đồ thị mà tiếp tuyến tại 2
điểm đó song song với nhau và có khoảng cách lớn nhất
Bài 2: (2,5 điểm)
Giải phương trình sin3x = cosx.cos2x(tan2x + tan2x)
Bài 3: (3,0 điểm)
Tính tích phân
2 2 2
(4 )
x x x x x
x
−
=
+
∫
Bài 4: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E): 2 2 1
16 1
x y
+ = và (P): y = 3 2 3 9
4x + 2x− 4.Chứng minh rằng (E) cắt (P) 4 điểm nằm trên một đường tròn
Bài 5:(3,0 điểm )
Giải bất phương trình 12 82 2 4 2 2
16 9
x
x
+
Bài 6:( 3,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình bình hành Gọi K là trung điểm SC Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N Gọi V1 , V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AMKN và S.ABCD Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tỉ số V1
V
Bài 7: (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
2 5
4
4
y y
x y x xy y
x x
x y xy
- Đề thi có 01 trang;
- Giám thị không giải thích gì thêm
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI :
Bài 1: +Để ý : M( x; y) ∈(C) thì M'(x' = 4-x; y' = 10- y) ∈(C) và tiếp tuyến tại M và M' có
hệ số góc bằng nhau nên // nhau , M và M' đxứng nhau qua I(2;5)
+ Khoảng cách giũa 2 t2: d = | ( ' ) ( '2 ) |
1
a x x y y a
+ với a = 1- 2
4 (x−2) ,
thì d = 2
2
16 16
( 2)
x
x
16
4 8 8− ; x = 2± 8
Bài 2: (2,5 điểm)
Giải phương trình sin3x = cosx.cos2x(tan2x + tan2x).Chia 2 vế cho cos3x
+ T a có :
Bài 3: (3,0 điểm)
Tính tích phân
4
x x
−
Đặt : I1 =
2 2
4
x x x
−
+
∫ Đặt t = - x và I2 =
2
2 2 0
1 4 (4+x ) dx
∫ Đặt : x = 2tant
Bài 4: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E): 2 2 1
16 1
x y
+ = và (P): y = 3 2 3 9
4x + 2x− 4.Chứng minh rằng (E) cắt (P) 4 điểm nằm trên một đường tròn
+Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình :
2
1
16 1
x y
y x x
.Từ đây chứng minh được
phương trình : f(x) = 2 3 2 3 9
1 0
x
x x
của hàm số : f(a)f(b) < 0 Hoặc (P) có đỉnh nằm ngoài (E) và cắt Ox tại 2 điểm nằm trong (-a;a) a và -a là hai hoành độ 2 đỉnh của ( E)
+ Chuyển hệ thành :
2
1
16 1
x y
y x x
cộng theo vế : x2 + y 2 + 15 5 45 1 0
10 4x y 16
phương trình của đường tròn (đpcm)
Bài 5:(3,0 điểm )
Giải bất phương trình
2 2
12 8
16 9
x
x
+
Trang 3K
O
B C
S
2
(3x−2)[ 16 9+ x −( 2x+ +4 2 2−x)]> 0
Hay (3x−2)(9x2+8x− −32 16 8 2 ) 0− x2 > ⇔ (3x−2)(x−2 8 2 ) 0− x2 >
3
x
3 < ≤x
Bài 6:( 3,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình bình hành Gọi K là trung điểm SC Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N Gọi V1 , V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AMKN và S.ABCD Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tỉ số V1
V
+ . SIM . 23
SBO
S SI SM SM
S = SO SB = SB và 2. 2
3
SIN
SBO
S SI SN SN
S = SO SD = SD
3
SMN
SBD
S SM SN SM SN
S = SB SD = SB +SD
4
V SM SN
V = SB + SD
+ Đặt : SB x;SD y
SM = SN =
+ Ta có : 1 1 1( 1)
3
xy = x+ y ⇒x + y = 3
+ Xét hàm số : f(x) = 4 (3x 3−x) và 1 ≤ x ≤ 2 đi đến KQ: 1
V V
Bài 7: (3,0 điểm)
5
x x x x y y y y
x y xy
+ Xét hàm số : f(t) = 2t3− +3t 6ln( 4+ +t2 t) trên R
+ f '(x) = 6.t2 -3 + 6 21
4
t + Đặt : u = t2+4 ≥ 2 , ta có :
g(u) = 6(u2 - 4) + 6
u -3 trên [ 2 ; +∞) , g'(u) = 12u - 62
u = 6 3
(2u 1)
u − > 0 , ∀u≥2
g(u) ĐB /[2; +∞) , mà g(2) = 0 nên g(u) ≥ 0 , ∀u≥2.Hay f'(x) ≥ 0, ∀t
⇒f(x) đồng biến trên R
x = y ⇒x6 - 3x2 - 1 = 0 ⇔x6 = 3x2 + 1 ≥ 1; ta có : x2= 2.cos∝ từ đó giải , vì x2 thuộc [ 1;2]
chọn ∝ ∈ ( 0 ; π/2),Tìm được nghiệm :( ± 2 cos ; 2cos