CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET A)PhÇn më ®Çu. 1 ®èi t ỵng vµ ph¹m vi nghiªn cøu . Trong ®Ị tµi nµy, t«i chØ ®a ra nghiªn cøu mét sè øng dơng cđa ®Þnh lý ViÐt trong viƯc gi¶i mét sè bµi to¸n thêng gỈp ë cÊp T.H.C.S. Do ®ã chØ ®Ị cËp ®Õn mét sè lo¹i bµi to¸n ®ã lµ: a) ¸p dơng ®Þnh lý ViÐt gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hƯ ph¬ng tr×nh b) Không giải phương trình hảy tính giá trò biểu thức c) Không giải phương trình hảy cho biết dâu của nghiệm (Nếu Có) d) Áp dụng ViÐt trong gi¶i to¸n t×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ bµi to¸n tho¶ m·n c¸c yªu cÇu ®Ỉt ra e)øng dơng cđa ®Þnh lý trong gi¶i bµi to¸n lËp ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn, t×m hƯ sè cđa ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn. f)øng dơng cđa ®Þnh lý ViÐt trong gi¶i to¸n chøng minh. g)§Þnh lý ViÐt víi bµi to¸n cùc trÞ. 2 Tình hình thực tế cuả học sinh trường THCS Nguyễn Thò Minh Khai §a sè häc sinh khèi 9 lµ con em c¸c gia ®×nh thn n«ng nªn ngoµi thêi gian häc trªn líp nhiỊu häc sinh lµ lao ®éng chÝnh cđa gia ®×nh do ®ã c¸c em giµnh nhiỊu thêi gian cho viƯc gióp gia ®×nh lµm kinh tÕ nªn giµnh rÊt Ýt thêi gian cho viƯc häc. MỈt kh¸c mét sè häc sinh coi nhĐ, xem thêng viƯc häc, lêi häc dÉn ®Õn viƯc hỉng kiÕn thøc ë c¸c líp díi vµ kh«ng n¾m v÷ng kiÕn thøc trªn líp. NhiỊu häc sinh rÊt h¹n chÕ vỊ kh¶ n¨ng sư dơng ng«n ng÷ to¸n häc , kh¶ n¨ng tr×nh bµy mét bµi to¸n . 3 nh÷ng viƯc lµm cđa b¶n th©n §Ĩ gióp häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai nhÊt lµ viƯc dïng ®Þnh lý viÐt, trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· ®a mét sè bµi to¸n viƯc sư dơng ®Þnh lý viÐt dĨ gi¶i sÏ dÉn ®Õn kÕt qu¶ nhanh h¬n. B. néi dung. §Þnh lý ViÐt: GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 -1-        = −=+ a c xx a b xx 21 21 . a c a c −    = =+ Pvu Svu . CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th×: * HƯ qu¶: (trêng hỵp ®Ỉc biƯt) a) NÕu ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm lµ: x 1 = 1 cßn nghiƯm kia lµ: x 2 = b) NÕu ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm lµ: x 1 = - 1 cßn nghiƯm kia lµ: x 2 = * NÕu cã hai sè u vµ v tho¶ m·n ®iỊu kiƯn: th× u, v lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x 2 – Sx + P = 0. ®iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè u, v lµ: S 2 – 4P ≥ 0. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dơ minh ho¹ cho viƯc øng dơng cđa ®Þnh lý ViÐt trong gi¶i mét sè d¹ng to¸n. I) Áp Dụng ®Þnh lý viÐt trong giải phương trình và hệ phương trình. 1. C¸c vÝ dơ: Giải các phương trình sau. a) 23x 2 -2009x - 2032 = 0 (a - b +c = 0 ) b) 2 5 3 3 5 0x x− + − = ( a +b +c = 0) c) 3 x 2 + 2m x +2m - 3 = 0 (a - b +c = 0 ) 2 C¸c vÝ dơ: Giải các hệ phương trình sau. GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 -2- CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 7 5 14 ) 2 7 4 2 7 4 1 1 1 (3 1) 5 5 ) 3 4 4 5 1 ( ) 15 15 12 25 2 25 ) 7 7 7 x y x y a x y x y xy x y x x y b xy x y x y xy x y x y xy c x y x y x y − + − =  + =    ⇔   − − = − − =       = − = −    − + = −    ⇔ ⇔       = − = + − =       =  + =  + − =  ⇔ ⇔    + = + = + =     Thì a) x -2 ; y-7 là nghiệm phương trình X 2 -5X +4 = 0 b) x ;(-y)là nghiệm phương trình X 2 -4/15X -1/5 = 0 c)x ; y là nghiệm phương trình X 2 -7X + 12 = 0 II) Không giải phương trình X 2 - 11X +30 = 0 Hảy Tính : X 2 1 + X 2 2 = ? 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 ?; ?; ?; ?X X X X X X X X + = + = − = − = III)Không giải phương trình hảy cho biết dấu cuả nghiệm (nếu có): a)2x 2 - 9x -1 = 0 (2.(-1)<0 Thì phương trình có 1nghiệm dương 1 nghiệm âm) b) x 2 + 8x +2 = 0 ( / 16 2 14= − =V nên P =2 >0 và S=-4 <0 phương trình có 2 nghiệm cùng âm ) c) 2 x -(2 + 2)x + 2 +1= 0 ( / 4 4 2 2 4 2 4 2= + + − − =V nên P = 2 1+ >0 và S= 2 2 0+ > phương trình có 2 nghiệm cùng dương ) IV. øng dơng cđa ®Þnh lý viÐt trong gi¶i to¸n t×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ bµi to¸n tho¶ m n c¸c yªu cÇu ®Ỉt ra.· 1. C¸c vÝ dơ: VÝ dơ 1: T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ c¸c nghiƯm x 1 , x 2 cđa ph¬ng tr×nh mx 2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn 1 2 2 2 1 =+ xx Bµi gi¶i: GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 -3- CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET §iỊu kiƯn ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm (ph©n biƯt hc nghiƯm kÐp): m ≠ 0 ; ∆' 0≥ ∆' = (m - 2) 2 - m(m - 3) = - m + 4 ∆' ≥ 0 ⇔ m ≤ 4. Víi 0 ≠ m ≤ 4, theo ®Þnh lý ViÐt, c¸c nghiƯm x 1 ; x 2 cđa ph¬ng tr×nh cã liªn hƯ: x 1 + x 2 = m m )2(2 − ; x 1 .x 2 = m m 3− Do ®ã: 1 = 2 2 2 1 xx + = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 2 2 )2(4 m m − - m m )3(2 − ⇔ m 2 = 4m 2 - 16m + 16 - 2m 2 + 6m ⇔ m 2 - 10m + 16 = 0 ⇔ m = 2 hc m = 8 Gi¸ trÞ m = 8 kh«ng tho¶ m·n ®iỊu kiƯn 0 ≠ m ≤ 4 VËy víi m = 2 th× 2 2 2 1 xx + = 1 VÝ dơ 2: Cho ph¬ng tr×nh x 2 - 2(m - 2)x + (m 2 + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm x 1 , x 2 ph©n biƯt tho¶ m·n 5 11 21 21 xx xx + =+ Bµi gi¶i: Ta ph¶i cã:        + =+ ≠ >−+−−−= (3) (2) (1) 5 xx x 1 x 1 0.xx 03)2m(m2))(m( 21 21 21 22' Δ (1) ⇔ ∆' = m 2 - 4m + 4 - m 2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 ⇔ m < 6 7 (2) ⇔ m 2 + 2m - 3 ≠ 0 ⇔ (m - 1)(m + 3) ≠ 0 ⇔ m ≠ 1; m ≠ - 3 (3) ⇔ 0).5)(( 5. 2121 21 21 21 =−+⇔ + = + xxxx xx xx xx  Trêng hỵp: x 1 + x 2 = 0 ⇔ x 1 = - x 2 ⇒ m = 2 kh«ng tho¶ m·n ®iỊu kiƯn (1)  Trêng hỵp: 5 - x 1 .x 2 = 0 ⇔ x 1 .x 2 = 5 Cho ta: m 2 + 2m - 3 = 5 ⇔ (m - 2)(m + 4) = 0 GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 -4- 2 1 CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET    −= = ⇔ K)§ m·n(tho¶ 4m (lo¹i) 2m VËy víi m = - 4 ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiƯm x 1 , x 2 ph©n biƯt tho¶ m·n 5 x x 1 x 1 21 21 x+ =+ VÝ dơ 3: Cho ph¬ng tr×nh: mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè). a) X¸c ®Þnh m ®Ĩ c¸c nghiƯm x 1 ; x 2 cđa ph¬ng tr×nh tho¶ m·n x 1 + 4x 2 = 3 b) T×m mét hƯ thøc gi÷a x 1 ; x 2 mµ kh«ng phơ thc vµo m Bµi gi¶i: a) Ta ph¶i cã:               ≥−−+−=∆ ≠ =+ − = + =+ 0)4()1((' 0 34 4 . )1(2 2 21 21 21 mmm m xx m m xx m m xx Tõ (1) vµ (3) tÝnh ®ỵc: m m x m m x 3 85 ; 3 2 12 + = − = Thay vµo (2) ®ỵc m m m mm 4 9 )85)(2( 2 − = +− ⇔ 2m 2 - 17m + 8=0 Gi¶i ph¬ng tr×nh 2m 2 - 17m + 8 = 0 ®ỵc m = 8; m = 2 1 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn (4). VËy víi m = 8 hc m = th× c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh tho¶ m·n x 1 + 4x 2 = 3. b) Theo hƯ thøc ViÐt: x 1 + x 2 = 2 + m 2 x 1 + x 2 = 1 - m 4 (*) Thay m 2 = x 1 + x 2 - 2 vµo (*) ®ỵc x 1 x 2 = 1 - 2(x 1 + x 2 - 2) VËy x 1 .x 2 = 5 - 2(x 1 + x 2 ) VÝ dơ 4: Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung: x 2 + 2x + m = 0 (1) GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 -5- (1) (2) (3) (4) CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET x 2 + mx + 2 = 0 (2) Bµi gi¶i: Gäi x 0 lµ nghiƯm chung nµo ®ã cđa 2 ph¬ng tr×nh khi ®ã ta cã 02 0 2 0 =++ mxx 02 0 2 0 =++ mxx Trõ theo tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh ta ®ỵc (m - 2)x 0 = m - 2 NÕu m = 2 c¶ hai ph¬ng tr×nh lµ x 2 + 2x + 2 = 0 v« nghiƯm NÕu m ≠ 2 th× x 0 = 1 tõ ®ã m = - 3 Víi m = - 3: (1) lµ x 2 + 2x – 3 = 0; cã nghiƯm x 1 = 1 vµ x 2 = - 3 Vµ (2) lµ x 2 - 3x + 2 = 0; cã nghiƯp x 3 = 1 vµ x 4 = 2 Râ rµng víi m = - 3 th× hai ph¬ng tr×nh cã nghiƯm chung x = 1. 2. Bµi tËp: Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh x 2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) T×m gi¸ trÞ cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã (1) cã nghiƯm x 1 = 2x 2 . Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm. b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu. Khi ®ã trong hai nghiƯm, nghiƯm nµo cã gi¸ trÞ tut ®èi lín h¬n? c) X¸c ®Þnh m ®Ĩ c¸c nghiƯm x 1 ; x 2 cđa ph¬ng tr×nh tho¶ m·n: x 1 + 4x 2 = 3. d) T×m mét hƯ thøc gi÷a x 1 , x 2 mµ kh«ng phơ thc vµo m. Bµi 3: a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiƯm chung. T×m nghiƯm chung ®ã? x 2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x 2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (1) lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (2) vµ ngỵc l¹i. GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 -6- CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET II. øng dơng cđa ®Þnh lý viÐt trong bµi to¸n lËp ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn, t×m hƯ sè cđa ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè 1. C¸c vÝ dơ: VÝ dơ 1: Cho x 1 = 2 13 + ; x 2 = 31 1 + LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiƯm lµ: x 1 ; x 2 Ta cã: x 1 = 2 13 + ; x 2 = 31 1 + = ( )( ) 2 1331 − = − −+ 3131 Nªn x 1 .x 2 = 2 13 + . 31 1 + = 2 1 x 1 + x 2 = 2 13 + + 31 1 + = 3 VËy ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiƯm: x 1 ; x 2 lµ x 2 - 3 x+ 2 1 = 0 Hay 2x 2 - 2 3 x + 1 = 0 VÝ dơ 2: Cho ph¬ng tr×nh: x 2 + 5x - 1 = 0 (1) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh (1), h·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiƯm lµ l thõa bËc bèn cđa c¸c nghiƯm ph¬ng tr×nh (1) C¸ch gi¶i: Gäi x 1 ; x 2 lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ®· cho theo hƯ thøc viÐt, ta cã: x 1 + x 2 = -5; x 1 .x 2 = - 1 Gäi y 1 ; y 2 lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ph¶i lËp, ta cã: y 1 + y 2 = 44 21 xx + y 1 y 2 = 44 21 xx . Ta cã: 44 21 xx + = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 - 2x 1 2 .x 2 2 = 729 – 2 = 727 44 21 xx . = (x 1 .x 2 ) 4 = (- 1) 4 = 1 VËy ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ: y 2 - 727y + 1 = 0 GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 -7- CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET VÝ dơ 3: T×m c¸c hƯ sè p vµ q cđa ph¬ng tr×nh: x 2 + px + q = 0 sao cho hai nghiƯm x 1 ; x 2 cđa ph- ¬ng tr×nh tho¶ m·n hƯ:    =− =− 35xx 5xx 3 2 3 1 21 C¸c gi¶i: §iỊu kiƯn ∆ = p 2 - 4q ≥ 0 (*) ta cã: x 1 + x 2 = -p; x 1 .x 2 = q. Tõ ®iỊu kiƯn:    =− =− 35xx 5xx 3 2 3 1 1 2 ⇔ ( ) ( ) ( )    =++− =− 35xx xx 21 21 2 221 2 1 2 25 xxxx ⇔ ( ) ( ) ( )    =+−+ =−+ 35xx 5x4xxx 21 2121 2121 2 2 25 2 xxxx ⇔      =− =− 7qp 25p 2 1 q 4 Gi¶i hƯ nµy t×m ®ỵc: p = 1; q = - 6 vµ p = - 1; q = - 6 C¶ hai cỈp gi¸ trÞ nµy ®Ịu tho¶ m·n (*) 2) Bµi tËp: Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiƯm lµ 3 + 2 vµ 23 1 + Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai tho¶ m·n ®iỊu kiƯn: Cã tÝch hai nghiƯm: x 1 .x 2 = 4 vµ 1 1 1 −x x + 1 2 2 −x x = 4 7 2 2 − − k k Bµi 3: X¸c ®Þnh cã sè m, n cđa ph¬ng tr×nh: x 2 + mx + n = 0 Sao cho c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh lµm m vµ n. Iii. øng dơng cđa ®Þnh lý viÐt trong gi¶i to¸n chøng minh. 1. C¸c vÝ dơ: VÝ dơ 1: Cho a, b lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x 2 + px + 1 = 0 vµ b, c lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh x 2 + qx + 2 = 0 Chøng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6. GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 -8- CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET Híng dÉn häc sinh gi¶i. §©y kh«ng ph¶i lµ mét bµi to¸n chøng minh ®¼ng thøc th«ng thêng, mµ ®©y lµ mét ®¼ng thøc thĨ hiƯn sù liªn quan gi÷a c¸c nghiƯm cđa 2 ph¬ng tr×nh vµ hƯ sè cđa c¸c ph¬ng tr×nh ®ã. V× vËy ®ßi hái chóng ta ph¶i n¾m v÷ng ®Þnh lý ViÐt vµ vËn dơng ®Þnh lý ViÐt vµo trong qu¸ tr×nh biÕn ®ỉi vÕ cđa ®¼ng thøc, ®Ĩ suy ra hai vÕ b»ng nhau. C¸ch gi¶i: a,b lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x 2 + px + 1 = 0 b,c lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x 2 + qx + 2 = 0. Theo ®Þnh lý viÐt ta cã:      = =+ 1a.b p -ba vµ      = =+ 2b.c q -cb Do ®ã: (b – a)(b – c) = b 2 + ac - 3 (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b 2 + ac + 3 Suy ra: pq - 6 = b 2 + ac +3 – 6 = b 2 + ac - 3 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (®pcm) VÝdơ 2: Cho c¸c sè a,b,c tho¶ m·n ®iỊu kiƯn: a + b + c = - 2 (1); a 2 + b 2 + c 2 = 2 (2) Chøng m×nh r»ng mçi sè a, b, c ®Ịu thc ®o¹n       − 0; 3 4 khi biĨu diƠn trªn trơc sè: C¸ch gi¶i: B×nh ph¬ng hai vÕ cđa (1) ®ỵc: a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = 4 Do (2) nªn: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1 ⇒ bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a 2 + 2a + 1 Ta l¹i cã: b + c = - (a + 2), do ®ã b, c lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: X 2 + (a + 2)X + (a 2 + 2a + 1) = 0 (*) §Ĩ (*) cã nghiƯm th× ta ph¶i cã: ∆ = (a+2) 2 - 4(a 2 +2a+1) ≥ 0 ⇔ a(3a + 4) ≤ 0 ⇔ - 3 4 ≤ a ≤ 0 GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 -9- CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET Chøng minh t¬ng tù ta ®ỵc: - 3 4 ≤ b ≤ 0; - 3 4 ≤ c ≤ 0 2. Bµi tËp: Bµi 1: Gäi a, b lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai: x 2 + px + 1 = 0. Gäi c, d lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: y 2 + qy + 1 = 0 Chøng minh hƯ thøc: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q) 2 Bµi 2: Chøng minh r»ng khi viÕt sè x = () 200 díi d¹ng thËp ph©n, ta ®ỵc ch÷ sè liỊn tríc dÊu phÈy lµ 1, ch÷ sè liỊn sau dÊu phÈy lµ 9. iii. ¸p dơng ®Þnh lý viÐt gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hƯ ph¬ng tr×nh. 1. C¸c vÝ dơ: VÝ dơ 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:       + − 1 5 x x x       + − + 1 5 x x x =6 Híng dÉn: §KX§: {x∈R  x ≠ - 1} §Ỉt:      + − += + − = 1 5 1 5 . x x x x x xu ν ⇒    = =+ ?. ? ν ν u u TÝnh: u, v, råi tõ ®ã tÝnh x. Bµi gi¶i: §KX§: {x ∈ R  x ≠ - 1} §Ỉt:      + − += + − = 1 5 1 5 . x x x x x xu ν (*) ⇒              + − +       + − =       + − ++       + − =+ 1 5 . 1 5 1 5 1 5 . x x x x x xu x x x x x xu ν ν ⇒    = =+ 6. 5 ν ν u u u, v lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x 2 - 5x + 6 = 0 ∆ = 25 – 24 = 1 x 1 = 2 15 + = 3 x 2 = 2 15 − = 2 u = 3 th× v = 2 hc u = 2 th× v = 3 GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 -10- [...]... ph¬ng tr×nh: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0 2 T×m m ®Ĩ x12 + x2 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi gi¶i: XÐt: ∆ = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0 Nªn ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiƯm víi mäi m Theo ®Þnh lý ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2 2 2 ⇒ x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) =4m2 - 6m + 5 = (2m - 3 2 11 11 ) + ≥ 2 4 4 DÊu “=” x¶y ra khi m = VËy Min(x12 + x22) =... GIÁO VIÊN : NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -12- THCS MINH KHAI-NĂM HỌC 2009 - 2010 CHUYÊN ĐỀ 2009-2010â: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THƯCÙ VI-ET ∆' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) ≥ 0 ⇒-5≤ m≤-1 (*) Khi ®ã theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = - m - 1 x1 x2 = Do ®ã: A =  m 2 + 4m + 3 2 m 2 + 8m + 7  2 Ta cã: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) víi ®iỊu kiƯn (*) th×: (m + 1)(m + 7) ≤ 0 Suy ra: A = 9 − m 2 + 8m − 7 . ≠ 0 ; ∆' 0≥ ∆' = (m - 2) 2 - m(m - 3) = - m + 4 ∆' ≥ 0 ⇔ m ≤ 4. Víi 0 ≠ m ≤ 4, theo ®Þnh lý ViÐt, c¸c nghiƯm x 1 ; x 2 cđa ph¬ng tr×nh cã liªn hƯ: x 1 + x 2 = m m )2(2 − ;. ®iỊu kiƯn (4). VËy víi m = 8 hc m = th× c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh tho¶ m·n x 1 + 4x 2 = 3. b) Theo hƯ thøc ViÐt: x 1 + x 2 = 2 + m 2 x 1 + x 2 = 1 - m 4 (*) Thay m 2 = x 1 + x 2 - 2. lµ nghiƯm chung nµo ®ã cđa 2 ph¬ng tr×nh khi ®ã ta cã 02 0 2 0 =++ mxx 02 0 2 0 =++ mxx Trõ theo tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh ta ®ỵc (m - 2)x 0 = m - 2 NÕu m = 2 c¶ hai ph¬ng tr×nh lµ x 2 + 2x