Dấu hiệu nhận biết : Khi tính những tích phân dạng ∫ fx.gxdxvới fx và gx là những hàm sơ cấp cơ bản không cùng loại ta thường dùng tích phân từng phần... bxdx Phương pháp: Biến đổi các
Trang 1Chuyên đề: TÍCH PHÂN
A – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
I – Phương pháp đổi biến số:
1) Đổi biến dạng u = u(x):
Phương pháp chung:
• Bước 1: chọn t = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
• Bước 2: Lấy vi phân dt = u’ (x)dx
• Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
• Bước 4: Khi đó I = ∫g )(t dt
Hàm f(x) =
e x d x c
x b x a
+ +
+
cos sin
cos sin
t = tan 2
x
(với cos
2
x
0≠ ) Hàm f x = (x+a)(x+b)
1 )
+Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt t = x+a+ −x−b
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a) ∫ x2 +3
xdx
b) ∫ e x −1 c) dx ∫ + dx
e
e x
x
1 2
3 d) ∫x(x+1)10dx
Giải
a) Đặt u= x2 +3⇒u2 = x2 +3⇒2udu =2xdx⇒udu =xdx
C x
C u du u
udu x
xdx
+ +
= +
=
=
=
3
2 2
b) Đặt u= e x−1⇒u2 =e x −1⇒2udu=e x dx,e x =u2 +1
1
2 2
2 +
=
=
⇒
u
udu e
udu
dx x
c) Đặt u=e x ⇒du =e x dx , e2x =( )e x 2 =u2
C e
e C u u
u
du du
u
du u u
udu u dx
e
x x
x
+
−
−
−
= +
−
=
+
−
= +
= +
=
∫
1 arctan
2 1 2
arctan 2 2
1 2
2 1
2 1
2
2 2
C e e
C u u
du u
du du u
u dx
e
e e dx
e
x
x x x
x
+
−
= +
−
= +
−
= +
= +
=
1
1 1
1
2 2
2 2
3
d) Đặt u= x+1⇒x=u−1⇒dx=du
C x
x C
u u du u du u du u u dx
x
11
1 ) 1 ( 12
1 11
12 )
1 ( )
1
(
2) Đổi biến dạng x = ϕ(t)
Phương pháp chung:
• Bước 1: chọn x = ϕ(t), trong đóϕ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
• Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ’ (t)dt
• Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
• Bước 4: Khi đó I = ∫g )(t dt
Các dấu hiệu:
Trang 2Dấu hiệu Cách chọn
2
2 x
2 2
π
x = a cost với 0≤t≤π
2
2 a
x −
t
a x
sin
2
;
2
−
t
a x
cos
∈
2
\
;
t
2
2 a
2 2
π
π < <
x = a cot t với 0<t <π
x
a
x
a
−
+ hoặc
x a
x a
+
Ví dụ: Tính ∫ 1−x2dx
Giải
Đặt x = sint với
2 2
π
t t
t t
x và t t
x′( )=cos 1− 2 = 1−sin2 = cos2 = cos =cos
2 2
π
C t t
t td dt
dt
t tdt
tdt t
dx
4
1 2
1 ) 2 ( 2 cos 4
1 2
1 2
cos 2 1 cos
cos cos
2
1 cos sin 2
1 2 sin 4
1 arcsin
2 2
π π
Nên ∫ −x2dx= x+ x 1−x2 +C
2
arcsin 2
1 1
Chú ý: Tính tương tự như trên ta có công thức sau:
C x a x x a
dx
x
2 2
arcsin
π
II – Phương pháp tích phân từng phần:
Ta thực hiện theo các bước sau:
• Bước 1: biến đổi tích phân ban đầu về dạng: ∫ f(x).g(x)dx
• Bước 2: Đặt
=
=
⇒
=
=
?
? )
(
) (
v
du dx
x g dv
x f u
• Bước 3: Khi đó:
I = u v − ∫ udu
Trang 3 Dấu hiệu nhận biết : Khi tính những tích phân dạng ∫ f(x).g(x)dxvới f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp
cơ bản không cùng loại ta thường dùng tích phân từng phần Cụ thể như sau:
a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàm như hàm sin, cos, hàm mũ thì đặt:
u = f(x) ; dv = g(x)dx
b) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là hàm lôgarit thì đặt u = g(x),dv = f(x)dx
c) Nếu ∫ f(x).g(x)dx=∫e axcos(bx)dx hoặc∫ f(x).g(x)dx=∫e axsin(bx)dx thì đặt:
u = cos(bx) , dv = e dx hoặc u = sin(bx) , dv = ax e dx ax
d) Nếu f(x) = x2 ±a2 hoặc f(x) = a2 −x2 , g(x) = 1 thì đặt u = f(x) , dv = g(x)dx = dx
Ví dụ: Tính tích phân sau: ∫x cos xdx
Giải
Đặt
=
=
⇒
=
=
x v
dx du xdx
dv
x
u
sin cos
∫
∫x.cosxdx=x.sinx− sinxdx=xsinx+cosx+C
B – TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP:
I – Tích phân hàm hữu tỉ:
1) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản:
+
a
b
ax
dx
1 1
1
+
−
=
b ax a k b
ax
dx
k k
c) ∫ x2 +A bx dx+c
Phương pháp chung: Biến đổi
4
4 2
2 2
x c bx
+
= + +
Đặt
2
b
x
u = + chuyển tích phân đã cho về dạng ∫ 2 ± 2
a u
du A
Cách giải khác:
• Khi biệt thức ∆ của biểu thức dưới mẫu dương ta có cách giải sau:
Hướng giải ta phân tích:
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
+
1 2
2 1 2
1 2
1 1
) (
1 )
)(
(
) ( ) ( ) (
1 )
)(
(
1 1
x x x x x x a x
x x x
x x x x x x a x x x x a c
bx
ax
• Khi ∆= 0
−
−
=
−
= + +
⇒
−
= +
0
2 0 2
2 0 2
d) ∫ x Ax2 ++bx B+dx c
)
(
Biến đổi
c bx x
b A B c
bx x
b x A c bx x
B Ax
+ +
− +
+ +
+
= + +
+
2 2
2
2
2
2
sau đó đưa tích phân đã cho về dạng: ∫du u và tích phân dạng c)
x x
x
∫ 22++3+1
Giải
Trang 4Ta có:
1
2 1
1 2 1
3 2
2 2
+
= + +
+
x x x
x
x x
x
x
C x
x x
x
dx x
x
x x d dx x x
dx x x
x dx
x
x
x
+
+ +
+ +
=
+
+
+ + +
+ +
= + +
+ + +
+
= +
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
2
1 3
2 arctan 3
4 ) 1 ln(
4
3 2 1
2 1
) 1 (
1
2 1
1 2 1
3
2
2
2 2
2 2
2 2
2) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát dạng dx
x Q
x P
∫ (( ))
a) Bậc P(x) nhỏ hơn bậc Q(x):
- Phân tích Q(x) thành tích các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai hoặc các lũy thừa của chúng
) (
1 1
2 1 2
2 1
1
+ +
+
+ +
+ +
+ +
C x B x A
F Ex b
x a
B b
x a
A x
Q
x P
Trong đó A, B, ….là các hằng
số thực chưa biết, để tìm chúng ta quy đồng mẫu số ở vế phải, sau đó đồng nhất thức hai tử số ở VT và VP, hoặc cho x các giá trị đặc biệt đưa đến một hệ phương trình đối với các hệ số đó(Phương pháp này gọi là hệ
số bất định)
Ví dụ: Tính ∫ x3 −1
xdx
Giải
) 1 )(
( ) 1 (
1 1
1 1
2 2
2
− +
+ + +
= + +
+ +
−
= + +
−
=
x C Bx x
x A x
x
C Bx x
A x
x x
x x
x
(A B)x (A B C)x A C x
C Bx x
x
A
Cách 1: Đồng nhất thức hai vế của (*) ta được:
=
−
=
=
⇔
=
−
=
+
−
=
+
3 1 3 1 3 1
0
1
0
C B A
C
A
C
B
A
B
A
Cách 2: Cho x = 1 : (*)
3
1 3
Cho x = 0: (*)
3
1
Cho x = - 1: (*)
3
1 3
2 2 3
1 2 2
−
Từ đó ta có:
1
1 3
1 1
1 3
1
−
−
−
=
x x
x
x
−
=
x x
dx x
xdx
1
1 3
1 1 3
1
b) Bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x):
Ta chia P(x) cho Q(x) phân tích
) (
) (
x Q
x P
đưa về dạng a) trên
x
x x
∫ 3++21 4
Trang 5Ta có:
1 1
2
3 3
4
+ +
= +
+
x
x x x
x
x
x
x xdx
dx x
x x
∫
∫
+
+
1 1
2
3 3
4
(Bạn đọc tự giải tiếp)
II – Tích phân các hàm số lượng giác:
1) Dạng ∫R(cosx,sinx)dx , với R(cosx,sinx) là biểu thức hữu tỉ đối với sinx, cosx .
Phương pháp chung: Đặt
2 tanx
t =
2
2 1
1 cos , 1
2 sin
t
dt dx
và t
t t t
t x
+
= +
−
= +
=
Biến đổi tích phân dạng này về tích phân hàm hữu tỉ
Ví dụ: Tính ∫sin x dx+1
Giải
1
2 sin
, 1
2 2
tan
t
t x t
dt dx
x
t
+
= +
=
⇒
=
dt t
dt t
t x
dx
+ +
−
= + +
−
= +
= + + +
=
∫
2 tan 1
2 1
2 1
2 1
2 1 1
2
1 1
2
Đặc biệt:
• Nếu R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx
• Nếu R(sinx, -cosx) = - R(sinx, cosx) thì đặt t = sinx
• Nếu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) thì đặt t = tanx
Ví dụ: Tính ∫sin2 x.cos3 xdx
Giải
Ta có:
R(sinx, cosx) = sin2 cos3 (sin , cos ) sin2 ( cos )3 sin2 cos3 (sin ,cos )
x x R x x x
x x
x R x
Nên ta đặt t = sinx ⇒dt =cosxdx
(t t )dt t t C x x C dt
t t xdx x
x xdx
∫sin cos sin cos cos (1 ) 3 5 sin3 sin5
5 3
5 3 4
2 2
2 2
2 3
2
2) Dạng ∫cosax cos bxdx , ∫sinax sin bxdx , ∫cosax sin bxdx
Phương pháp: Biến đổi các hàm dưới dấu tích phân thành tổng.
Ví dụ: Tính ∫cos3x.sin5xdx
Giải
2
1 8 sin 2
1 ) 3 5 sin(
) 5 3 sin(
2
1 5 sin
3
C x x
C x x
dx x x
xdx
−
= +
−
−
= +
4
1 4
1 2
cos 2
1 2
1 8 cos 8
1 2
1 )
2 sin 8 (sin 2
1 5
sin
3
cos
3) Dạng ∫sinn xdx, ∫cosn xdx :
Phương pháp:
Cách 1: Áp dụng dạng 1) phần đặc biệt.
Cách 2: Nếu n chẵn (n nhỏ) dùng công thức hạ bậc
2
2 cos 1 sin , 2
2 cos 1
x x
Trang 6Ví dụ: Tính ∫cos4 xdx
Giải
x x
x x
x x
x x
x
4 cos 8
1 2 cos 2
1 8
3 ) 4 cos 1 ( 8
1 2 cos 2
1 4 1
2 cos 2
cos 2 1 4
1 2
2 cos 1 cos
2 2
2 4
+ +
= +
+ +
=
+ +
=
=
=
=
Suy ra: ∫ xdx= x+ x+ sin4x+C
32
1 2 sin 4
1 8
3 cos4
III – Tích phân các hàm vô tỉ:
Dạng ∫R(x, ax2 +bx+c)dx,a≠0
Phương pháp chung:
Biến đổi
−
+
= + +
4
4 2
2 2
x a c bx
a) ∫R (u 2 +u2)du
1 , α Đặt u =αtant với
2 2
π
b) ∫R (u 2 −u2)du
2 , α Đặt u=αsint với
2 2
π
c) ∫R (u u2 − 2)du
t
u
cos
α
∈
2
\
;
t
Chú ý: Tích phân dạng này có nhiều phương pháp tính, trong một số trường hợp đặc biệt có thể dùng
một số cách biến đổi đơn giản hơn như các ví dụ sau:
Ví dụ1: Tính I =∫ −x2 +4x+5dx
Giải
Ta có: −x2 +4x+5=−x2 +4x−4+9=9−(x−2)2
Đặt: u = 3sint với
2 2
π
C x
x x
x C
u u u
C t t
dt
t tdt
I
u t
t u
tdt
du
+ + +
−
− +
−
= +
− +
=
+ +
=
+
=
=
⇒
=
=
−
=
⇒
5 4 2
2 3
2 arcsin 2
9 9
2
1 3
arcsin
2
9
2 sin 4
9 2
9 2
2 cos 1 9 cos
9
3 arcsin ,
cos 3 9
, cos
3
2 2
2
2
x x
x
I =∫ −+ +
4 2
3 2
Giải
Ta có
:
x d x
x
x x
d
x x
dx dx
x x
x I
+ +
− +
− +
+
−
= +
−
− +
+
−
+
−
=
+
−
+ +
−
−
=
∫
∫
∫
∫
4 2 1
ln 4 4 2 3
1
) 1 ( 4 4 2
) 4 2 (
2
1
4 2
4 4 2
2 2
2
1
2 2
2 2
2
2 2
Trang 7C – BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1 ∫3 x3 +5.x2dx 2 1 x x2dx
0
3 1−
∫ 3 1 x x2dx
0
1−
∫ 4 ∫
2
1
2 2
x xdx
5 ∫2 +
0 3 2sin
cos
2
π
x
xdx 6 1 3 1
0
∫x x 7 ∫2
0
5 sin
π
xdx 8 ∫2 +
0
2 3 cos sin π
x xdx
9 ∫2 −
3
2 x x2 1
dx
10 3 x5 xdx
∫ + 12 ∫ (1−x)2001dx
13 ∫ + dx
x
1
x
e
1 e
x
x 2
∫ − + 15 ∫ ( x+3)3dx 16.∫cos4x.sinxdx
17 ∫ + dx
1
e
e
2
x
x
18 ( )
x
1 x ln
2 2 19
dx x
x ln 4 3
∫ − 20.π∫
0
2
2 sin dx
e x
21 ∫e x dx
0
2
ln
22. x xdx
e
ln ) 1 ( 1
2
∫ − 23 ∫2
0
2 cos
π
xdx
x 24.∫2 −
0 cos
π
xdx
e x
25 ∫ (2x+3)3dx 26 ∫ dx
2
x sin2
27 ∫cot2xdx
28 ∫tanxdx
x
cos
x
tan
3 30 ex(2 e x)dx
2
e x
x
2 e
e x
x
∫ +
2 x
x
1
2 34.∫ x2 +dxx+3 35 ∫x2 −dxx+10 36 ∫ x2 −dx2x−1
37 ∫6x3 −7dxx2 − x 38.∫ (x+1xdx)(2x+1) 39 dx
2 x x
7 x 2
1 x 6 x 9
5 x 2
∫ −+ +
6 x
x
7
x
2
2 x x
7 x 2 2
∫ − − + 43.∫x4 −xdxx2 +2 44.∫x4 −xdxx2 −1
∫ 2 +2 ++112 −4
x
x
dx x
46.∫x6 −xxdx3 −2
5
47 dx
x
x
∫ 4 +−11
2
48
∫ + − + dx
x
x
x
x
2 3
3
2
4
2
x x x
x
x
1 2 2
1 2 3
4
2
50 ∫x(x +1)
xdx 2
x x
1 x 3
3
∫ −− 52 ( )
∫ xx x−2 +x2+x2+dx1 3
∫ xx x−2 +x2+x2+dx1
3
54 ∫ ( − )10
2 x 1
dx x
55 dx
10
5 3 2 x
x x x
∫
Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
1 ( )
2
x cos
x
f = 2 2 f( )x =sin3x 3 f(x) = (1 – 2x2)3 4 ( ) 33x 2
x
x e x x 2 x
x
x 2
x
f
2
+
2 x 4 x
1 x
f
+
− +
Trang 88
4 x cos 3
x
9 cos3x 10 cos4x 11 sin4x + cos4x
12 sin62x + cos62x 13 f(x) = lnx 14 f(x) = (x2 + 1)e2x 15 f(x) = x2sinx
d f(x) = exsinx
16 f( )x =xcos x 17 f(x) = ex(1 + tanx + tan2x) 18 f( )x =e x
x
x ln
x
= 20 f(x) = (x + 1)2cos2x 21 f(x) = e-2x.cos3x 22 sin(lnx)
23 f( )x = x2 +K (K≠0) 24 f(x) = x3lnx 25 f(x) = (x2 + 2)sin2x 26
( )x xsin x
Bài 3: Cho hàm số ( )
2 x x
5 x 2 x x
2
+
−
+ +
=
a Tìm m, n, p để ( ) ( )
2 x
p 1 x
n 1
x
m x
+
+
−
+
−
=
b Tìm họ nguyên hàm của f(x)
Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1 ( )
+
=
4 x cos x
sin
1 x
f
π 2 ( )
1 x sin 2
1 x
f
+
+
=
4 x tan x tan x
4 ( )
x cos x sin
3
2 x
f
+
x cos 2 x sin
x cos 3 x sin 4 x f
+
+
= 6 ( )
x 2 cos x sin 3 2
x cos 8 x
f
− +
=
7 ( )
1 x cos x sin
2
x sin 5 x
f
+
−
x cos x sin 3
1 x sin 4 x
f
2
+
+
= 9 f(x) = cos3x.cos5x
10 f(x) = sin3xsin3x 11 f(x) = sin3x.cos3x + cos3x.sin3x 12 ( )
x cos x sin
x 2 cos x
f
+
=
13 ( )
x cos x sin
x cos x sin
x
f
+
−
= 14 ( )
+ +
=
4 x cos x cos
1 x
f
π 15 ( )
x cos x sin 2
1 x
f
− +
=
16 ( )
x cos 3 x sin
x cos x
f
2
+
x 2 sin 1
x sin x
f
+
= 18 f(x) = sinx.sin2x.cos5x
+
−
3 tan x 3 tan x tan
x
20 f(x) = (sin4x + cos4x)(sin6x + cos6x)
( ) (2 sin2x)
4 x
sin
x
−
22 ( )
x 2 sin 3 x 6 sin x sin 3
x sin x
f
3
−
−
=
d ( )
x sin 2 x sin
1 x
f
−
x sin
x x
x sin 1
x cot x
f
+
=
+
+
=
6 x cot 3 x tan
x
x cos x sin 2
dx 2
Bài 5: Tính các tích phân sau:
Trang 91 ∫cos5x tan xdx 2 ∫cos3x tan xdx 3. dx
x x
x x
∫tansin3+.sincot42 4
x
x x
x
sin
2
cos
sin
cos
5.∫4 sin3x.cos5x
dx
6.∫cosxsinsin2 x+1
xdx
7
dx x x
x x
dx
∫3sin2 −2sin cos −cos2
D – CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002-2003 ĐẾN 2006-2007
I Tính các tích phân sau: ( Dùng tích phân đổi biến số)
1
1 3
2
x
dx
x +
3ln 2
3
ln 3 ( 1)
x x
e dx
0
1 cos xs inx.cos x dx
π
−
2 3
2
dx
∫
5
1
0
1
ln10 2
x x
e dx
e −
∫ 7 2
1 3 0
. x
x e dx
7 3 0
2 1
x
dx x
+ +
0
1 2 sin
1 sin 2
x dx x
π
−
+
∫ 10
2
1
x dx x
∫ 11
1
e
x x dx x
+
∫
12
2
0
sin 2 osx
1 osx
x c
dx c
π
+
2
0
sin 2 s inx
1 3cos
x
dx sx
π
+ +
2
0
sin 2
os 4 sin
x
dx
π
+
∫
2
ln x −x dx
1
3 2 ln 1 2 ln
e
x dx
− +
6
2
1
2x+ +1 4x+1 dx
∫
18
10
5
1
2 1 dx
x − x −
5
x
dx
x +
ln 5
ln 3
1
e + e− −
∫
21
1
0
3
x x + dx
2 4 2 0
1 1
x x
dx x
− + +
3 2
0
4sin
1 osx
x dx c
π
+
∫
24
1
0
1
x − x dx
3
0
1.
x + x dx
∫ 26
2 0
2 1
dx x
+ +
∫
27
1
3
0 1
x
dx x
+
∫ 28
3
1
3
x
dx
−
− + + +
1
2
01
x dx x
+
30
1
2
0
x x + dx
∫ 31
2
4
s inx-cosx
1 sin 2x dx
π
1
0
os2
1 2sin 2
c x
dx x
+
∫
33
1
3 0
os2
s inx-cosx+3
c x
dx
2
2 0
os 7-5sinx-cos
dx x
π
3 2
0
4sin
1 osx
x dx c
π
+
Trang 1036
ln 2 2
x x
e
dx
e +
∫ 37
2 2
0 sin x tgxdx
π
∫
2 Tính các tích phân sau (Dùng tích phân từng phân kết hợp đổi biến số nếu có)
0
2 x.
x − e dx
0 ( x 1) sin 2 x dx
π +
1
2 ln
x − x dx
∫
0
1 osx
π
−
s inx
0
osx
tgx e c dx
π
+
2 1
1
ln
e
x
x dx x
+
∫
7 2 3
0
sin 5
x
π
ln 2 5 0
x
x e dx
∫ 9.1 ( 2)
0
ln 1
x + x dx
∫
0
x x + dx
2 2 1
ln(1 x )
dx x
+
∫ 12
3
1
1 ln
e
x
x dx x
∫
sinx
0
osx osx
π
+
2 osx 0
s in2x d
c
π
4 2
0 os x
x dx c
π
∫
16
2
2
0
ln
0
s in2x d
c
π
2 3 1
x
−
∫
A TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1
1 2
0 1
x x
dx
x
−
+
1 2 0
2008
2dx
x − −x
1
3 2 0
x
dx
x x x
−
1 2
02 5 2
dx
x + x+
∫
5
0
dx
2 2
1
x dx x
−
−
1 2
dx
x + x+
∫
8
1
2
dx
x − x+
1 2
dx
x + x+
1 2
dx
x + x+
1
2 2
dx
x + x+
∫
12
1 3
2
x dx
x + x+
2 0
1
x dx
x x
+
1 2
xdx
x x
2 2 2
1 7 12
x dx
x − x+
∫
16 5( )
2
4
x dx
x x
−
2 0
x dx
x x
+
1 2 0
4
x dx x
−
0 2
dx
x x
−∫ − +
B TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
1
1
0
1
x −x dx
1
0 2 1
x dx
x+
7
2 3
;
4
1
x
dx
x+
3 2
0
1 1
x dx x
+ +
7
1
1
2 x 1dx
4
1
1 (1 )dx
x + x
∫
9
2
3 1
dx
x x
−
1
dx
x+ + x
4 2
dx
x x +
2
2 3 0
1
x x + dx
∫
Trang 1113
2
2
2 1
2
1
dx
x −x
2
3
1 1
dx
x +x
1 3
2
x dx
x+ +x
1 3 0
1 1
x dx x
+ +
∫ 17
2 2 0
x − x dx
∫
18
2
0
4
x −x dx
3
−
+ − −
0
sin
x
dx
π
+
∫