4.Phương trình dạng Đặt pt trở thành Đặt Ta được pt: Đây là phương trình trùng phương trong đó các hệ số a,b,c,d thỏa mãn tổng của 2 hệ số này bằng tổng của 2 hệ số còn lại... Ta đưa
Trang 1.Phương trình trùng phương:
Nếu a=0 thì pt trở thanh`
Nếu a 0 đặt
Pt trở thành
Giải t và thế vào được x
2.Phương trình hồi quy:
với không phải là nghiệm
x 0, chia hai vế của pt cho , ta được:
Đặt
Được pt:
Tìm được y, suy ra x
3.Phương trình phản thương:
Đây là phương trình hồi quy với ,
Cách giải đặt ẩn phụ tương tự.
4.Phương trình dạng
Đặt
pt trở thành
Đặt
Ta được pt:
Đây là phương trình trùng phương
trong đó các hệ số a,b,c,d thỏa mãn tổng của 2 hệ số này bằng tổng của 2 hệ
số còn lại.
Giả sử:
pt được viết lại:
pt trở thành
đây là pt bậc 2 theo y, giải được y suy ra x
Kết thúc 5 dạng cơ bản của pt bậc 4, phần tiếp theo sẽ post sau.
Trang 2Ta đưa vào phương trình ẩn phụ y như sau:
Cộng hai vế của phương trình (*) cho Ta có:
(**)
Ta tìm giá trị y sao cho vế phải là biểu thức chính phương (trường hợp vế phải của (*) đã là biểu thức chính phương thì việc đưa vào biến phụ y là không cần thiết)
Muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép theo biến x.
Hay:
Nghĩa là, ta tìm y là nghiệm của phương trình:
(***) Với giá trị vừa tìm được thì vế phải của (**) có dạng
Do đó, thế vào phương trình (**) ta có:
(****)
Từ (****) ta có được 2 phương trình bậc hai:
(a) (b)
Từ đây, giải 2 phương trình (a), (b) ta sẽ có 4 nghiệm của phương trình bậc 4 tổng quát ban đầu
P/s: từ phương trình (***) ta sẽ có 3 giá trị y, và với mỗi giá trị y có được ta sẽ có 4 giá trị x Như vậy, tổng cộng ta có 12 giá trị x là nghiệm của phương trình (1) Tuy nhiên, do (1) là phương trình bậc bốn nên chỉ có đúng 4 nghiệm (thực hoặc phức) Do đó, các giá
Trang 3trị x tương ứng với y0 sẽ phải trùng lại với các giá trị x tương ứng với y1 và y2 Vì vậy,
từ (***) ta chỉ cần tìm 1 giá trị yo là đủ
(*)
Ta đưa vào phương trình ẩn phụ y như sau:
Cộng hai vế của phương trình (*) cho Ta có:
(**)
Ta tìm giá trị y sao cho vế phải là biểu thức chính phương (trường hợp vế phải của (*) đã là biểu thức chính phương thì việc đưa vào biến phụ y là không cần thiết)
Muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép theo biến x.
Hay:
Nghĩa là, ta tìm y là nghiệm của phương trình:
(***) Với giá trị vừa tìm được thì vế phải của (**) có dạng
Do đó, thế vào phương trình (**) ta có:
(****)
Từ (****) ta có được 2 phương trình bậc hai:
(a) (b)
Từ đây, giải 2 phương trình (a), (b) ta sẽ có 4 nghiệm của phương trình bậc 4 tổng quát ban đầu
Trang 4P/s: từ phương trình (***) ta sẽ có 3 giá trị y, và với mỗi giá trị y có được ta sẽ có 4 giá trị x Như vậy, tổng cộng ta có 12 giá trị x là nghiệm của phương trình (1) Tuy nhiên, do (1) là phương trình bậc bốn nên chỉ có đúng 4 nghiệm (thực hoặc phức) Do đó, các giá trị x tương ứng với y0 sẽ phải trùng lại với các giá trị x tương ứng với y1 và y2 Vì vậy,
từ (***) ta chỉ cần tìm 1 giá trị yo là đủ
1 Ví dụ cách làm cho dễ hiểu nha:
x^4 = ( x+2 )( 2x^2 + 3x + 6 )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ x^4 – 2x^3 = 7x^2 + 12x + 12
( x^2 – x)^2 = 8x^2 + 12x +12
( x^2 – x + y/2)^2 = 8x^2 +12x +12+ ( x^2-x)y + 1/4y^2 (*)
( cộng hai vế cho ( x^2-x)y + 1/4y^2 )
Ta tìm giá trị y sao cho vế phải là biểu thức chính phương , muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép theo biến x
VP: = ( y+8)x^2 – ( y-12)x + 1/4y^2 + 12
Delta’ = – ( y^3 + 7y^2 + 72x +240) = 0 => y = -4
Thế y= -4 vào (*) ta có:
( x^2 – x -2)^2 = [ 2( x+2)]^2
x^2 + x + 2 = 0 (VL) v x^2 -3x -6 =0
Vậy x= 1/2 (3+ – căn 33 )