Giảm trên từng khoảng xác định b... Xác định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị đó a.. Định m để hàm số có cực tiểu và không có cực đ
Trang 1Bài Tóan Sự Đồng Biến và Nghịch Biến Của Hàm Số
Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khỏang cho trước
Bài Tóan Tìm m để y = f(x,m) tăng ( hoặc giảm) trên khỏang I cho trước
+ Tính y’ = f’(x,m)
+ Định m để f’(x,m) ≥ 0 (≤ 0) ∀ x ∈ I
+ Lưu ý Các định lý về dấu của tam thức bậc II trong đó có so sánh các số α , β với các nghiệm của tam thức bậc II
Chẳng hạn: cho f(x) = ax 2 + bx + c (a# 0 )
• f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔
≤
∆
>
0
0
a
• f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔
≤
∆
<
0
0
a
• f(x) ≥ 0, ∀ x < α ⇔
≤
∆
>
0
0
a
hoặc
<
−
>
>
∆
≠
0 2
0 ) ( 0 0
α
α
S af a
• …
Lưu ý: Nếu miền xác định của y là D = R \ { }x thì0
• y đồng biến trên (α ; +∞) ⇔
<
>
∀
≥ α
α
0
0 '
x
x y
• y nghịch biến trên (α ; +∞) ⇔ …
Ví Dụ Minh Họa
VD1: Tìm m để hàm số y = - x 3 + mx 2 - m tăng trong khoảng (1;2)
Giải: Miền xác định: D = R
y’ = -3x 2 + 2mx
• Để hàm số đồng biến trong khoảng (1;2) khi và chỉ khi y’ ≥ 0 ∀ x ∈ (1;2)
⇔ -3x 2 + 2mx ≥ 0 ∀ x ∈ (1;2)
Ta có ∆’ = m 2
TH1: Nếu ∆’≤ 0 ⇔ m 2 ≤ 0 ⇔ m = 0 khi đó y’≤ 0 ∀ x Suy ra hàm số luôn giảm: không thỏa yêu cầu đề TH2: Nếu ∆’ > 0 ⇔ m ≠ 0 khi đó phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm x 1 <x 2
x - ∞ x 1 1 2 x 2 + ∞
-y
Dựa và BBT ta thấy: Hàm số tăng (1;2) ⇔ x 1 ≤ 1 < 2 ≤ x 2
⇔
≤
≤
0
)
2
(
0
)
1
(
af
af
⇔
≤ +
−
−
≤ +
−
−
0 ) 4 12 ( 3
0 ) 2 3 ( 3
m
m
⇔ m ≥ 3
• Vậy hàm số tăng trong khoảng (2;3) ⇔ m ≥ 3
Cách 2: phương pháp miền giá trị
Ta có y’ = -3x 2 + 2mx
Để hàm số đồng biến trong khoảng (1;2) khi và chỉ khi y’ ≥ 0 ∀ x ∈ (1;2)
⇔ -3x 2 + 2mx ≥ 0 ∀ x ∈ (1;2)
⇔ m ≥
x
x
2
3 2
∀ x ∈ (1;2) suy ra m ≥ mọi giá trị của hàm g(x) =
x
x
2
3 2
= x
2 3
∀ x ∈ (1;2)
Trang 2ta có g’(x) = 3/2 (luôn tăng)
• g(1) = 3/2
• g(2)= 3 (max)
Suy ra miền giá trị của hàm g(x) là: T[3/2; 3]
Vì m phải ≥ mọi giá trị của hàm g nên nó phải ≥ giá trị lớn nhất
Vậy m ≥ 3 thỏa YC đề
VD2: Xác định m để hàm số y = x 3 – 3(2m + 1)x 2 + (12m +5)x + 2 đồng biến trong khỏang (2; +∞ )
Ta có y’ = 3x 2 – 6(2m+1)x + 12m +5
Để hàm số đồng biến trong (2; +∞ ) ⇔ y’ ≥ 0 ∀ x ∈ (2; +∞ )
⇔ 3x 2 – 6(2m+1)x + 12m +5 ≥ 0 ∀ x ∈ (2; +∞ )
⇔ 3x 2 – 12mx -6x + 12m + 5 ≥ 0 ∀ x ∈ (2; +∞ )
⇔ 3x 2 – 6x + 5 ≥ 12m(x – 1) ∀ x ∈ (2; +∞ )
⇔ 12m ≤
1 -x
5 6x -3x2 + ∀ x ∈ (2; +∞ )
⇔ 12m ≤ mọi giá trị của hàm g(x) ∀ x ∈ (2; +∞ )
Ta có g’(x) =……
…
…
…
…
m ≤ 5/12 thỏa yc đề.
Cách 1: Ta có y’ = 3x 2 – 6(2m+1)x + 12m +5
Để hàm số đồng biến trong (2; +∞ ) ⇔ y’ ≥ 0 ∀ x ∈ (2; +∞ )
⇔ 3x 2 – 6(2m+1)x + 12m +5 ≥ 0 ∀ x ∈ (2; +∞ )
Ta có ∆=6(6m2 −1)
TH1: Nếu ∆ ≤ 0
⇔ 6m 2 – 1 ≤ 0
⇔
6
1 6
1 ≤ ≤
khi đó y ≥ 0 ∀ suy ra hàm số đồng biến ∀ x nên đồng biến trong (2; +∞ ) ( thỏa YCĐ) TH2: Nếu ∆ > 0
⇔ 6m2 – 1 > 0 ⇔ m <
-6
1
v
6
1
< m khi đó phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm x 1 < x 2 Ta có BBT sau:
Trang 3m < -
6
1
v
6
1
< m ≤
12
5
(2) từ (1) và (2) ta suy ra YCĐ ⇔ m ≤ 5/12
Một số bài tập:
Bài 1: Xác định m để các hàm số sau luôn đồng biến trong từng khoảng xác định của nó:
a y = x 3 – 3(2m+1) x 2 + (12m +5)x +2
b y = x 3 + (m-1)x 2 + (m 2 – 4) x + 9
c y =
m x
m x
−
+
d y =
2
3
2 2
−
+
−
x
m x x
Bài 2: Xác định m để các hàm số sau luôn nghịch biến trong từng khoảng xác định của nó:
a y = -x 3 + (3-m)x 2 – 2mx + 2
b y =
2
1
+
−
x
mx
Bài 3:
a Tìm m để hàm số y =
1
3
2 2
−
+
−
x
m x x
đồng biến trên khoảng (3; +∞ )
b Tìm m để hàm số y =
m x
m mx x
−
+ +
2
đồng biến ∀ >1.
c Tìm m để hàm số y =
2
2 6
2
+
− +
x
x mx
nghịch biến trong ( 1; + ∞ )
d Tìm m để hàm số y = x 3 – 3(2m+1)x 2 + (12m+5)x + 2 đồng biến trong (-∞ ; -1), (2; +∞) ĐS: a m ≤ 9; b m ≤
4
17
3− c m ≤ -14/5 d m ∈ ]
12
5
; 12
7 [−
Bài 4: Cho hàm số y = x 3 – (m-1)x 2 – (m+3)x + 2m định m để hàm số :
a tăng trên R
b nghịch biến trên (-1;0)
c Tăng trên (0; +∞ )
Bài 5: Cho hàm số y =
x
mx x
−
− +
3
5
2
định m để hàm số:
a Giảm trên từng khoảng xác định
b Giảm trên (-1;0)
c Tăng trên (-2;2)
ĐS: a m ≤ -4/3 b m ≤ 5/3 c m ≥ 7
Trang 4Vấn Đề 2 Cực Trị Của Hàm Số
Phương Pháp:
Dấu Hiệu 1: ( Qui tắc dấu đạo hàm)
- Tìm miền xác định của hàm số
- Tính đạo hàm y’
- Lập bảng biến thiên
Ví dụ: Tìm các điêm cực trị của hàm số:
a y = x +
x
1
• miền xác định D = R \ { }0
• y’ = 2 2 1
x
• y’ = 0 ⇔ x 2 – 1 = 0 ⇔
−
=
−
=
=
=
) 2 ( 1
) 2 ( 1
y x
y x
• BBT:
Ví dụ 2: y = xe -x
• Miền xác định D = R
Dấu Hiệu 2: ( Qui tắc đạo hàm cấp II)
• Miền xác định
• Tíng y’, y”
• Giải phương trình y’ = 0 để tìm nghiệm, giả sử x 1 , x 2 …,x n
• Tính y”(x i )
o Nếu y”(x i ) < 0 => y đạt cực trị tại x i
o Nếu y”(x i ) < 0 => y đạc cực tiểu tại x i
Lưu ý: Dấu hiệu này chỉ dùng khi tính đạo hàm cấp 2 dễ dàng hay có nhiều cực trị
Ví Dụ: Tìm Cực Trị của hàm số
a. y = x 2 e x
• Miền xác định D = R
• y’ = e x (x 2 + 2x)
• y’ = 0 ⇔ (x 2 + 2x) = 0 ( vì e x
> 0)
•
=
=
2
0
x
x
• y” = e x (x 2 + 4x + 2)
o y”(0) = e 2 2 > 0 => y đạt cực tiểu tại x = 0
o y”(-2) = e (-2) (-2) < 0 => y đạt cực đại tại x = -2
Trang 5b. y = x 2 lnx
• Miền xác định D = ( 0; + ∞ )
• y’ =
c. y = x – lnx
d y =
x
x
ln
Trang 6Tìm Điều Kiện Để Hàm Số Có Cực Trị
Phương Pháp:
• Tìm miền xác định và tính y’
• y có cực trị hay không và có bao nhiêu cực trị là tùy thuộc vào y’ có nghiệm hay không (có bao nhiêu nghiệm) và tại các nghiệm đó y’ có đổi dấu hay không?
• Đặc biệt:
o y’ là tam thức bậc hai: y’= ax 2 + bx + c (a # 0) thì y có cực trị ⇔ ∆ >0 lúc đó y có một cực đại và một cực tiểu
o Nếu bài tóan nói rõ cực trị là cực đại hay cực tiểu thì ta phải kiểm lại với m vừa tìm được thì đạt cực đại hay cực tiểu bằng 2 cách
Cách 1: xét dấu y’ và lập bảng biến thiên
Cách 2: dùng dấu hiệu đạo hàm cấp hai
Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y =
m x
mx x
+
+
2
đạt cực đại tại x = 2
• Miền xác định D =
2 2
) (
1 2
m x
m mx x
+
− + +
• Hàm số đạt cực đại tại x = 2 => y’(2) = 0 => m= -1 hoặc m = -3
• Với m = -1
2
) 1 (
2
−
−
x
x x
; y’ = 0 ⇔
=
=
2
0
x x
• với m = -3
• y’=
BBT trên cho thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ m =
Ví dụ 2: y = x 3 – 3mx 2 + 3(m 2 – 1)x – (m 2 – 1) Định m để hàm số đạt CĐ tại x= 1
Bài Tập:
1 Xác định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị đó
a y = 3
3
1
x + 2mx 2 + (m+6)x -1
b y = mx 3 – 2x 2 + x
c y =
m x
m mx x
−
− +
2 Cho y = mx 4 – 2(m 2 – 1)x 2 + 3m+ 2
a Định m để hàm số có cực tiểu và không có cực đại
Trang 7b Đinh m để hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại
3 y = x 3 - 3x 2 + 3mx + 1 – m
a với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu ?
b Giả sử đồ thị của hàm số có cực đại tại M 1 (x 1 ,y 1 ) và có cực tiểu tại M 2 (x 2 ; y 2 ) CMR
2 ) 1 )(
( 1 2 1 2
2
−
−
−
x x x x
y y
4 y =
m x
m m mx x
m
−
−
−
−
−
với giá trị nào của m thì hàm số đạt CĐ và CT trong khoảng ( 0; 2)?
5 Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 – mx + 2
a Xác định m để hàm số đồng biến ∀ x > 3
b Xác định m để hàm số nghịch biến trong ( -1; 2)
c Xác định m để hàm số có cực tiểu với hòanh độ nhỏ hơn 2
6 Cho hàm số y =
2
4
x - ax2 + b Định a và b để hàm số đạt cực trị bằng -2 tại x 0 = 1
7 Cho hàm số y = x 3 – 6x 2 + 3(m-2)x – m – 6 Định m để đồ thị của hàm số:
a Cắt trục hòanh tại một điểm
b Cắt trục hòanh tại 3 điểm phân biệt
8 Cho hàm số y =
m x
m m x m x
+
+ + +
2
Định m để hàm số có hai cực trị và 2 giá trị này trái dấu nhau.
9 Cho hàm số y =
m x
m x x
−
+
−3
2
Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và thỏa mãn điều kiện | y CĐ – y CT |
> 8