Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Chứng minh rằng :∆BEC và ∆ ADC đồng dạng.. Tính độ dài đoạn BE theo m AB=.. Gọi M là trung điểm của đoạn BE.. Chứng minh rằng hai tam giác BHM
Trang 1KỲ HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1 8(x2+3x+5)2+7(x2+3x+ −5) 15
2 x11+ +x7 1
Bài 2: (4điểm)
Giải phương trình:
1
3
−
− =
2
Bài 3: (2điểm)
Tìm số dư trong phép chia của đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+ +8) 2010 cho đa thức 2
x + x+
Bài 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng :∆BEC và ∆ ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB= .
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC = AH HC
Bài 5 : (4đ)
Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH vuông góc với AC (H ∈AC) Gọi M là trung điểm của AH , K
là trung điểm của CD Chứng minh rằng : BM ⊥MK
Trang 2
Bài Câu Nội dung Điểm
1.1
8(x +3x+5) +7(x +3x+ −5) 15 Đặt t= x2 +3x+5, ta có :
8(x +3x+5) +7(x +3x+ −5) 15= 8t2+7t -15
= 8t2 -8t +15t-15 = 8t(t-1)+15(t-1) = (t-1)(8t+15) Thay t=x2+3x+5 vào đa thức ta có :
8(x +3x+5) +7(x +3x+ −5) 15= (x2+3x+5-1) [8(x2+3x+5)+15]
=(x2+3x+4)[8(x2+3x+5)+15] =(x2 +3x+4)(8x2+24x+55)
1đ
1đ
1.2
11 7 1
x + +x = (x11+x10+x9)+( –x10-x9 –x8 )+(x8 +x7 +x6)+( –x6 –
x5-x4) +(x5+x4 +x3) +(–x3–x2 –x ) +(x2+x+1)
= x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) 2đ
−
− =
3
8 16 3 8 23 6
x x x
x
x
−
⇔ − ÷ =
−
⇔ − ÷ ÷=
−
+
⇔ =
−
−
⇔ =
0,5 0,5 0,5
0,5
Trang 3Bài Câu Nội dung Điểm
ĐKXĐ : x ∈R vì :
x2 +2x+2 = (x2+2x+1)+1 = (x+1)2+1>0 với mọi x∈R
x2 +2x+3 = (x2+2x+1)+2 = (x+1)2+2>0 với mọi x∈R Đặt t= x2+2x+3=> x2 +2x+2 = t-1 , ĐK : t≥2
Phương trình trở thành :
2
2
5
− + − =
−
3
t
⇔ = (nhận), 2
5
t= (loại) Với t= 3 , ta có x2+2x+3 =3 x=0 , x = -2 Vậy nghiệm của phương trình là : x=0 , x = -2
0,5
0,5 0,5
0,5
Ta có:
t=x + x+ , biểu thức P(x) được viết lại:
P x = −t t+ + = − +t t
Do đó khi chia 2
2 1995
t − +t cho t ta có số dư là 1995
1 0,5 0,5
Trang 42 1
2 1
G M
E
D H
A
4.1
∆ CDE và ∆CAB có :
Góc µC chung
CDE CAB= =
=>∆CDE ∆CAB => CD CE
CA =CB =>CD CA
CE =CB
+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc µC chung
CE =CB (cmt)
Do đó ∆ADC ∆BEC (c.g.c)
135
BEC= ADC= (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên ·AEB=450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:
BE= AB =m
Vẽ hình đúng 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 4.2
BC = ×BC = ×AC (do ∆BEC ∆ADC)
mà AD AH= 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BC = ×AC = × AC = AB = BE
(do ∆ABH ∆CBA )
Do đó ∆BHM ∆BEC(c.g.c)
suy ra: ·BHM =·BEC=1350 ⇒·AHM =450
0,5 0,5
0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC
GC = AC ,
AC = DC (∆ABC ∆DEC)
Ta lại có ED AH// => ED AH
DC = HC
Mà HD =HC => ED AH HD
DC = HC = HC
0,5
0,5
S S
S S
S
S
Trang 5=>GB HD GB HD GB HD
GC = HC ⇒GC GB = HC HD⇒ BC = HC AH
O
K
M
H
I
D
A
C
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BH
Ta có M, O lần lượt là trung điểm của AH , BH nên :
MO là đường trung bình của ∆ HAB
Vậy MO = 1
2AB , MO // AB
Mà AB = CD , AB//CD , KC = 1
2CD ,
Do đó MO = KC , MO // KC , suy ra tứ giác MOCK là hình bình hành
Từ đó có : CO // MK
Ta có : MO // KC , KC ⊥CB ⇒ MO ⊥CB Tam giác MBC có MO ⊥CB , BH ⊥ MC nên O là trực tâm của tam giác MBC => CO ⊥BM
Ta có : CO ⊥ BM và CO // MK nên BM ⊥MK
0,5
0,5
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (Học sinh làm cách khác đúng vẫn được trọn điểm )