đề HSG có đáp án

Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị nguyên dơng của n.. Chứng minh rằng AB là tia phân giác của góc EAF... Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đờng tròn đờng kính AD

uỷ ban nhân dân Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện

Phòng giáo dục Môn : Toán 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề chính thức - Vòng 1 Bài 1 : (3,0 điểm)

Cho

3 2 2

3 2 + +

+

=

3 2 2

3 2

−

−

−

=

b

a Tính tích a.b và tổng a+b

b Tính a3 + b3

c Tính a7 + b7

3

1 1 1 3 1 3 2

1 3

4 3 2 4 3 2 4

2

3 4

− + + +

−

=

−

− +

+

−

−

−

=

b

a

2 3

3

3 2 3 3

3 2 2 3

2 4 2

3 2 3

2 4 2

3 2









−

− + +

+

=

















−

−

− +

+ +

+

=

+ b

a

2 2 3

1 3 ) 2 ( ) ( 3 )

3

a

Có a2 + b2 = (a+b)2 -2ab

a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2 = (a2 + b2)2 - 2(ab)2

(a3 + b3)(a4+b4) = a7 + b7 +a3b4 + a4b3 = a7 + b7 +a3b3(a + b)

Suy ra a7 + b7 = (a3 + b3)(a4+b4) - (ab)3(a + b)

Thực hiện thay số để tính

- Tính tích a.b : 0,50 điểm

- Tính tổng a+ b : 0,75 điểm

- Tính a3 + b3 : 0,50 điểm

- Tính a7 + b7 : 1,25 điểm ( Mỗi ý cho 0,25 điểm)

Bài 2 : (1,5 điểm)

Giải hệ phơng trình :













=

−

=

−

5

24 2

5

36 2

2 2

2 2

y x y

y x x













= +

−

−

= +

+

−

⇔













=

−

−

− +

=

−

− +

5

24 1

1

5

36 1

1

5

24 ) (

) (

5

36 ) )(

(

2 2

2 2

y x y x

y x y x y

x

y x y x

y x

y x y x

Đặt a =

y

x −

1

;b =

y

x +

1

đợc hệ :













=

−

= +

5 24 5 36

b a

b a

Giải hệ để đợc a = 6 ; b =

5 6

Lập và giải hệ











 +

=

− 6 5 6 1

y x

y x

đợc nghiệm :













=

= 3 1 2 1

y x

( Mỗi ý 0,25 điểm)

Bài 3 : (2,0 điểm)

Cho A = n3 + 3 n2 + 2 n

a Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị nguyên dơng của n

b Tìm các giá trị nguyên dơng của n, với n < 10 để A chia hết cho 30

- A = n ( n2 + 3 n + 2 ) = n ( n ( n + 1 ) + 2 ( n + 1 )) = n ( n + 1 )( n + 2 )

- A Là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên A chia hết cho 2

- A Là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên A chia hết cho 3

- A vừa chia hết cho 2, 3 và (2,3) =1 nên A chia hết cho 6

- Do (5,6) = 1 nên để A chia hết cho 30 thì A chia hết cho 5 và A chia hết cho 6

- Do A luôn chia hết cho 6 ( theo a) nên để A chia hết cho 30 thì A chia hết cho 5

- Do 5 là số nguyên tố nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 5 khi một trong ba số chia hết cho 5

- Tìm đợc n = 5; n=4 ; n =9 ; n =3 ; n = 7

(Mỗi ý cho 0,25 điểm)

Bài 4 : (1,5 điểm)

Hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại C và cắt (O') tại D Tia CB cắt (O') tại F, tia DB cắt (O) tại E Chứng minh rằng AB là tia phân giác của góc EAF

A

B

- CAE = CBE ( nội tiếp cùng chắn cung CE)

- DAF = DBF ( nội tiếp cùng chắn cung DF)

- CBE = DBF ( đối đỉnh )

- Suy ra CAE = DAF

- Suy ra EAB = FAB ( cùng phụ với hai góc bằng nhau) hay AB là phân giác của EAF

Bài 5 : (1,5 điểm)

Trong hình vuông ABCD, vẽ nửa đờng tròn đờng kính là cạnh AD và vẽ cung AC mà tâm là D Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đờng tròn đờng kính AD ở K Chứng minh rằng PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB

- Hạ PI vuông góc với AB suy ra PI // AD ⇒ DAP = API

- Tam giác DAP cân tại D nên DAP = DPA ⇒ DPA = API

- Tam giác AKP vuông tại K

- Hai tam giác vuông AKP và AIP có cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau nên bằng nhau

- Suy ra đợc PK = PI

C D

P

A

K

I

uỷ ban nhân dân Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện

Phòng giáo dục Môn : Toán 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề chính thức - Vòng 2 Bài 1 : (2,0 điểm)

Cho 1 + 1 + 1 = 0

c b

a Tính giá trị các biểu thức sau :

a

c

b a b

a c a

c b

b

ab c

ac b

bc a

N

2

1 2

1 2

1

2 2

=

Bài 2:(2,5 điểm)

Giải các phơng trình sau :

a ( 4 x + 3 )( 4 x + 1 )( x + 1 )( 2 x + 1 ) − 10 = 0

b ( 2 x2 − 3 x + 1 )( 2 x2 + 5 x + 1 ) = 9 x2

Bài 3:(1,5 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2

3 2

2

2

+

+ +

=

x

x x

A

Bài 4:(2,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A AH, HM,HN lần lợt là đờng cao của các tam giác ABC, HAB, HAC Chứng minh rằng :

a

CN

BM AC

AB

=











 3

b AH3 = BC CM CN

Bài 5:(2,0 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB//CD) có O là giao điểm hai đờng chéo Đờng thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD và BC lần lợt tại E và F

a Chứng minh O là trung điểm của EF

b Cho AB = a; CD = b Tìm EF

Phòng giáo dục Môn : Toán 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

hớng dẫn chấm- Vòng 2

Bài 1 : (2,0 điểm)

c

c c

b a b

b b

a c a

a a

c b

M

c

c b a b

b a c a

c b a M

- = ( + + )( 1 + 1 + 1 ) − 3

c b a c b a M

- Do 1 + 1 + 1 = 0

c b

- Từ 1 + 1 + 1 = 0

c b

a ta đợc ab + bc + ca = 0

- a2 + 2bc = a2 + 2bc -ab - bc - ca = (a -b)(a -c)

- Tơng tự ta cũng có : b2 + 2ac = (b-a)(b-c) ; c2 + 2ab = (c -a)(c -b)

) )(

)(

−

−

−

− + +

−

−

=

c b c a b a

b a c a c b N

(Mỗi ý cho 0,25 điểm) Bài 2:(2,5 điểm)

- Nhân hai vế của phơng trình với 4.2 đợc :

0 80 ) 2 4 )(

4 4 )(

1 4 )(

3 4

(16x2 + 20x + 6)(16x2 + 20x + 5) -80 = 0

- Đặt y = 16x2 + 20x + 5 đợc y2 - 81 = 0

- Giải đợc y = ± 9

- Giải các phơng trình 16x2 + 20x + 5 = 9 ; 16x2 + 20x + 5 = -9 để kết luận nghiệm

- x = 0 không là nghiệm

- Chia hai vế cho x2 đợc : ( 2 − 3 + 1 )( 2 + 5 + 1 ) = 9

x

x x x

- Đặt ẩn phụ

x x

y = 2 + 1 đợc : ( y - 3)(y + 5) = 9

- Giải phơng trình bậc hai : y2 + 2y - 24 = 0 đợc hai nghiệm y 1 = 4; y2 = -6

- Giải phơng trình + =

x

2

2 2

; 2

2 2

2 1

+

=

−

x

- Giải phơng trình + =

x

2

7 3

; 2

7 3

4 3

+

−

=

−

−

x

( Mỗi ý 0,25 điểm) Bài 3:(1,5 điểm)

- A xác định với mọi giá trị của x Gọi y là giá trị của biểu thức A ta có :

0 3 2y 2x 1) (y x 3 2x x 2) y(x 2

x

3 2x x

2

2

=

− +

−

−

⇔ + +

= +

⇔ +

+ +

- y = 1 đợc

2

1

−

=

x

- Với y ≠ 1 để (*) có nghiệm cần ∆' ≥ 0

- 1 - (y-1)(2y-3) ≥ 0 ⇔ -2y2 + 5y - 2 ≥ 0

2

1

≤

≤ y

- Kết luận : Amin =

2

1 với x = -2 ; A

max = 2 với x = 1

(mỗi ý cho 0,25 điểm)

Có thể biến đổi A =

2

) 1 (

2

+

−

−

x

x để tìm A

max

A =

2

) 2 ( 2

1

2

2

+

+ +

x

min

( Biến đổi 0,50; Kết luận 0,25 cho mỗi trờng hợp)

Bài 4:(2,0 điểm)

- áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ABC có :

CB CH AC

BC BH AB

.

.

2

2

=

2

2 4

4 2

2

CH

BH AC

AB CH

BH AC

AB

=

⇒

=

- áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông HAB và HAC có :

CA CN CH

BA BM BH

.

.

2

2

=

- Thay (2) vào (1) đợc :

CA CN

BA BM AC

AB

.

.

4

4

= ⇒ đpcm

A

M

N

- Có AH2 = BH.CH ⇒ AH4 =BH2 CH2 (3)

- Thay (2) vào (3) đợc AH4 = BM.BA.CN.CA

- Thay BA.CA = AH.BC vào (3) đợc : AH4 = BM.CN.AH.BC ⇒ đpcm

( ý đầu mỗi câu 0,50 điểm, các ý còn lại 0,25 điểm) Bài 5: (2,0 điểm)

- Có EF//DC nên :

AC

OA DC

OE

=

BD

OB DC

OF

= (1)

- AB//DCnên

OB

OB OD OA

OA OC OB

OD OA

BD

OB AC

OA OB

BD OA

AC

=

⇒

=

- Từ (1) và (2) đợc :

DC

OF DC

OE

- Từ :

BD

OB

DC

OF

= và

CA

OC AB

OF

= cộng đợc:

CA

OC OD

OB AB

OF DC

OF

+

=

- Thay

BD

OB AC

OA

AC

AC CA

OC AC

OA AB

OF DC

OF

- Suy ra đợc : OF =

b a

ab DC

AB

DC AB

+

= +

.

- EF = 2OF =

b a

ab

+

2

( mỗi ý 0,25 điểm)

O