• Nếu MNuuuurlà một vecto đã cho thì với điểm O bất kì ta luơn cĩ : uuuur uuur uuuurMN ON OM= −.. Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành ta luơn cĩ : uuur uuur uuurAB AD AC+
Trang 1CHƯƠNG I : VECTƠ
1 Hai vecto bằng nhau : a và b cùng hướng
a b
a b
r r
r r
r r
2 Quy tắc 3 điểm :
• Với 3 điểm bất kì A, B, C ta luơn cĩ : uuur uuur uuurAB BC AC+ = .
• Nếu MNuuuurlà một vecto đã cho thì với điểm O bất kì ta luơn cĩ : uuuur uuur uuuurMN ON OM= − .
3 Quy tắc hình bình hành :
Nếu ABCD là hình bình hành ta luơn cĩ : uuur uuur uuurAB AD AC+ = .
Chú ý :
• M là trung điểm của AB khi và chỉ khi : MA MBuuur uuur r+ =0hoặc OA OBuuur uuur+ =2.OMuuuur( với O bất kì) hoặc AM MBuuuur uuur= .
• Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì : GA GB GCuuur uuur uuur r+ + = ⇔0 OA OB OCuuur uuur uuur+ + =3.OGuuur (với điểm O bất kì)
CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh hai vecto bằng nhau :
• Chứng tỏ hai vecto cĩ giá song song hoặc trùng nhau.
• Chứng tỏ hai vecto cùng hướng.
• Độ dài hai vecto bằng nhau.
BÀI TẬP:
1 Cho hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Các đẳng thức sau đúng hay sai ?
a) AB ADuuur uuur= b) uuur uuurAB CD=
c) uuur uuurAD BC= d) ADuuur = CBuuur
Giải:
a) Sai, do hai vecto đĩ khơng cùng phương
b) Sai, do hai vecto đĩ ngược hướng
c) Đúng
d) Đúng, do AD = BC
2 Cho tam giác ABC cĩ trực tâm là H Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB,
AC, HB, HC Chứng minh : MNuuuur= EFuuur
Giải :
MN là trung điểm AB , AC ⇒ MN là đtb của tam giác ABC
⇒ MN =1/2.BC
Và EF là đtb của tam giác HBC ⇒ EF = ½.BC
Vậy : MN = EF ⇒ MNuuuur = EFuuur
3 Cho tam giác ABC Từ trung điểm M, N của các cạnh AB,
AC Vẽ ME ⊥ BC, NF ⊥ BC Chứng minh : ME NFuuur uuur=
Giải:
Theo gt ta cĩ : ME //= ½.AH
A
D
B
C
F E
N M
H B
A
C
N M
B A
C
Trang 2NF //= ½.AH
⇒ ME //= NF
⇒ MEuuur
= NFuuur
và MEuuur và NFuuur cùng hướng Do đó ME NFuuur uuur=
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vecto : Sử dụng quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành.
BÀI TẬP:
4 Cho 4 điểm bất kì M, N, P, Q Chứng minh các đẳng thức sau :
a) PQ NP MN MQuuur uuur uuuur uuuur+ + = b) NP MN QP MQuuur uuuur uuur uuuur+ = +
c) MN PQ MQ PNuuuur uuur uuuur uuur+ = +
Giải :
a) Ta có : PQ NP MNuuur uuur uuuur+ + =(MN NPuuuur uuur+ )+PQ MP PQ MQuuur uuur uuur uuuur= + =
b)
0
NP MN+ = NQ QP+ + MQ QN+ =QP MQ+ + NQ QN+ =QP MQ MP+ =
r
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
c) MN PQuuuur uuur+ =(MQ QNuuuur uuur+ ) (+ PN NQuuur uuur+ )=MQ PNuuuur uuur+
5 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O
a) Chứng minh : OA OB OC OD OEuuur uuur uuur uuur uuur uuur r+ + + + +OF 0=
b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, CD, AF, DE Chứng minh : uuuur uuurMN PQ=
Giải:
a) Theo hình vẽ ta thấy :
OA OB OC OD OEuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + + + + = OA ODuuur uuur+ + OB OEuuur uuur+ + OCuuur uuur+ = r
b) Vì M, N lần lượt là trung điểm AB, CD nên MN là đtb của hình
thang cân ABCD ⇒ MN //AD và MN = (BC + AD)/2
Tương tự, ta có : QP // AD và QP = (EF + AD)/2 = (BC + AD)/2 = MN
Suy ra MNQP là hình bình hành Vậy : MN PQuuuur uuur=
6 Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M thỏa mãn điều kiện
0
MA MB MC− + =
uuur uuur uuuur r
Giải : Ta cần biểu diễn vecto MAuuur theo các vecto cố định
Ta có : MA MB MC MAuuur uuur uuuur uuur− + = −(uuur uuurMA AB+ ) (+ MA ACuuur uuur+ ) 0= r
Hay : −uuur uuur uuur rAB MA AC+ + =0 hay AM AC AB BCuuuur uuur uuur uuur= − =
Vậy M hoàn toàn xác định
Cách khác :
MA MB MC− + = ⇔BA MC+ = ⇔CM BA=
uuur uuur uuuur r uuur uuuur r uuur uuur
⇒ M hoàn toàn xác định
7 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng :
AF
AD BE CF AE BF CD+ + = + + = +BD CE+
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải :
Gọi O là điểm tùy ý Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ ta được điều phải chứng minh
BÀI TẬP VỀ NHÀ:
8 Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng : AB CD AD CBuuur uuur uuur uuur+ = +
9 Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi D là điểm đối xứng với A qua O Chứng minh rằng :
a) Tứ giác BDCH là hình bình hành
b) OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + =
Q P
N M
C B
F
A
E O
D