Đường trung tuyến BM có độ dài là: A.. Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: A.. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A... Câu nào sai không tính điểm... 5b Cách 3: Gỉ
Trang 1
KIỂM TRA HỌC KÌ II (2009-2010)
LỚP 10 NÂNG CAO Thời gian: 90 phút
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (4 điểm)
Câu 1: Bất phương trình : x3 +x2 +x> 0 có tập nghiệm là:
Câu 2: Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng ?
1
1
<
⇒
<
<
xy y
x
1
1
<
⇒
<
<
y
x y
x
1
1 0
<
⇒
<
<
<
xy y
x
1
1
<
−
⇒
<
<
y x y
x
Câu 3: Bất phương trình
1 2
2
+
−
x
x
≥ 0 có tập nghiệm là:
A (
2
1
−
2
1
−
2
1
−
2
1
−
; 2]
Câu 4: Tập nghiệm của hệ bất phương trình
>
+
−
>
+
−
0 8 6
0 3 4 2
2
x x
x x
là:
A (-∞;1) ∪ (3;+ ∞) B (-∞;1) ∪ (4;+∞)
C (-∞; 2) ∪ (3;+ ∞) D (1;4)
Câu 5: Khi độ chênh lệch giữa các số liệu trong mẫu số liệu quá lớn thì đại lượng nào
thích hợp đại diện cho các số liệu trong mẫu ?
A Số trung bình B Số trung vị C Mốt D Độ lệch chuẩn
Câu 6: Điểm kiểm tra môn Toán của 41 học sinh lớp 101 được ghi trong bảng sau:
Điểm số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số trung vị của dãy điểm Toán là:
A M e = 6 B M e = 7 C M e = 5,95 D M e = 5
Câu 7: Khi điều tra số hộ vay vốn(đơn vị triệu đồng) để xây nhà, người cán bộ tín dụng
thu được bảng số liệu sau đây:
Số tiền vay Tần suất (%) [25;30)
[30;35) [35;40) [40;45)
30 10 40 20 100%
Hãy tìm số trung bình của số tiền (triệu đồng) mà các hộ trên đã vay ?
Câu 8: Trên đường tròn lượng giác, số các điểm xác định bởi +k ,k∈ Ζ
5 6
π
Trang 2
Câu 9: Biết cosα < 0 và tanα < 0, hãy tính giá trị của biểu thức: P =
) sin(
) sin(
2
π α
π α +
+
Câu 10: Tính giá trị của biểu thức sau: 0 00 00 0
40 cos 10 sin 10 cos 40 sin
80 cos 20 cos
+
2
3 C -1 D
-2 3
Câu 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = a Đường trung tuyến BM có độ
dài là:
A
2
3a
B
2
2
2
3
2
5
a
Câu 12: Một tam giác có ba cạnh là 13, 14, 15 Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ?
Câu 13: Cho tam giác ABC thoả mãn : b2 + c2 – a2 = 3bc Khi đó, góc A của tam giác ABC bằng
Câu 14: Cho hai điểm A(-3;4), B(1;-2) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:
A 3x− 2y+ = 1 0 B 3x+ 2y+ = 1 0 C 3x− 2y+ 17 0 = D 3x+ 2y+ 17 0 = .
Câu 15: Cho đường tròn (C) :
2
1 2
2 + y =
x và đường thẳng (△) : x + y – 1 = 0 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A (△) không cắt (C) B (△) tiếp xúc với (C)
C (△) đi qua tâm của đường tròn (C) D (△) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Câu 16: Phương trình chính tắc của elip có tâm sai e =
5
4 , độ dài trục nhỏ bằng 12 là:
36 25
2 2
=
36 64
2 2
=
36 100
2 2
=
25 36
2 2
=
x
PHẦN II: TỰ LUẬN (6 điểm)
Câu 1 (0,75đ): Giải bất phương trình : x2 − 3x− 10 < x− 2
Câu 2 (0,75đ): Tìm m để bất phương trình : x2 − 2 (m− 1 )x+ 2m2 − 7 < 0 vô nghiệm
Câu 3 (1đ): Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức:
cosA + cosB = sinAcosB + sinBcosA
Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông
Câu 4 (1đ): Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng :
c b a c b
a + + ≥ + +
9 1
1 1
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm: A(3;-1), B(-4;0), C(4;0)
và đường thẳng d có phương trình : 2x – 3y + 1 = 0
a) (0,5đ) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường
thẳng d
b) (1đ) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) (1đ) Cho điểm M ( tùy ý trong mặt phẳng Oxy) sao cho chu vi tam giác MBC
bằng 18 Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một elip cố định Hãy viết phương trình chính tắc của elip đó
Trang 3
ĐÁP ÁN
I PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (4 điểm)
Đúng mỗi câu được 0,25 điểm Câu nào sai không tính điểm.
B D D B B A B D B A D A A B B C
II PHẦN II: TỰ LUẬN (6 điểm)
1
2 − x− < x−
x
14 5
14 2 5 2
) 2 ( 10 3
0 2
0 10 3
2 2
2
<
≤
⇔
<
>
≥
−
≤
⇔
−
<
−
−
>
−
≥
−
−
⇔
x
x x x x
x x
x x
x x
0,25
0,25
0,25 2
(0,75đ)
0 7 2 ) 1 (
2 − m− x+ m − <
2
' ( 1) 1(2 7) 0
4 2
m m
≤ −
0,25
0,25 0,25 3
(1 đ)
cosA + cosB = sinAcosB + sinBcosA
=
=
⇔
+
=
+
=
⇔
=
−
−
= +
−
⇔
=
−
− +
−
−
⇔
=
−
−
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
+
=
− +
⇔
0
0 90
90 0
0
0 ) 2 sin(
) 2 sin(
2
0 2 cos ) 2 cos(
2 cos ) 2 cos(
2
cos 2 sin 2 ) 2
cos(
2 sin 2
sin ) 2
cos(
2 sin 2
) sin(
) 2 cos(
) 2 cos(
2
A
B C B A
C A B C
B A
C B A
C B A C
B A
C B
A
C B
A
C C B
A C
C B
A C
B A B
A B
A
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 4
4
(1 đ)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
c b a c b a
c b a c b a
abc c
b a
abc c
b a
+ +
≥ + +
⇒
≥ + + +
+
⇒
≥ + +
≥ + +
9 1
1 1
9 ) 1 1 1 )(
(
1 3 1 1 1
3 3 3
0,25 0,25 0,25 0,25
5
(2,5 đ)
A(3;-1), B(-4;0), C(4;0)
d : 2x – 3y + 1 = 0
5a
(0,5đ) Đường thẳng △ vuông góc với đường thẳng d nên đường
thẳng △ có phương trình dạng: 3x + 2y + C = 0
Mặt khác đường thẳng △ đi qua điểm A(3;-1) nên ta có:
3.3 + 2.(-1) + C =0 hay C = -7
Vậy phương trình đường thẳng △ là: 3x + 2y – 7 = 0
0,25
0,25
5b
(1 đ)
Cách 1: Gỉa sử đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có
phương trình dạng: x2 + y2 + 2mx + 2ny + p = 0
Đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có hệ phương trình sau:
−
=
−
=
=
⇔
= + +
= +
−
= +
− +
16 3 0 0
8 16
0 8
16
0 2
6 10
p n m p
m
p m
p n m
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
x 2 + y 2 - 6y - 16 = 0.
0,25
0,5
0,25
5b Cách 2: (C) : (x-a)2 + (y-b)2 = R2 đi qua ba điểm A,B,C nên
ta có hệ phương trình:
=
=
=
⇔
=
−
− +
−
=
=
− +
−
⇔
=
− +
−
=
− +
−
−
=
−
− +
−
25 3 0 )
1 ( ) 3 (
0 8
0 6 2 14 )
0 ( ) 4 (
) 0 ( ) 4 (
) 1 ( ) 3 (
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
R b a R
b a
a
b a R
b a
R b a
R b a
Vậy (C): x 2 + (y – 3) 2 = 25.
0,75
0,25
Trang 5
5b Cách 3: Gỉa sử đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có
tâm I(a;b) và bán kính bằng R
Ta có: R = IA = IB = IC nên
=
=
⇔
= +
= +
−
⇔
−
= + +
−
+
= + +
−
⇔
− +
−
=
−
− +
−
− +
−
−
=
−
− +
−
⇔
=
=
=
=
3
0 6
2 2
6 2 14 8
16 2 1 6 9
8 16 2 1 6 9
) 0 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 3 (
) 0 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 3 (
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
b
a b
a
b a a
b a
a b
a
b a
b a
b a
b a
IC IA R
IB IA R
Suy ra: R2 = 25
Vậy (C): x 2 + (y – 3) 2 = 25.
0,25 0,25 0,25
0,25
5c
(1 đ)
Ta có: BC = 8
Chu vi tam giác MBC bằng 18 nên : MB + MC + BC = 18
Suy ra: MB + MC = 10
Do đó, hai điểm B, C cố định và điểm M thay đổi trong
mặt phẳng tọa độ Oxy (là mặt phẳng) chứa hai điểm B và C
sao cho MB + MC =10 không đổi và MB + MC > BC = 8
Vậy điểm M nằm trên một elip (E) cố định.
Tìm phương trình chính tắc elip (E):
Elip (E) có phương trình chính tắc dạng:
) (
2
2 2
2
c a b b
y a
MB + MC =10 nên 2a = 10 hay a = 5
Elip (E) nhận hai điểm B và C làm các tiêu điểm nên c = 4
Do đó, b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9
Vậy điểm M nằm trên một elip (E) cố định có phương
trình chính tắc là: 1
9 25
2 2
=
0,25
0,25
0,25
0,25