Dãy có an=1 là dãy mà mọi số hạng đều bằng nhau và bằng 1.. Giới hạn của dãy số a... Dãy con và giới hạn riêng a... Tính chất 3: Mọi dãy hội tụ đều giới nội.. Các tiêu chuẩn hội tụ của
Trang 1Chơng 2
dãy số và giới hạn
2.1 Khái niệm về d y sốã
1. Định nghĩa
Cho f là một ánh xạ từ N vào R xác định bởi:
an=f(n) {n=1,2, }… khi đó tập a1, a2, , a… n, đ… ợc gọi là một dãy số và ký hiệu { }∞
= 1
n n
a hoặc {an} Các số a1, a2, , a… n,… gọi là các số hạng của của dãy, còn biểu thức của an=f(n) gọi là số hạng tổng quát của dãy số Cho dãy { }∞
= 1
n n
a ta nói:
+ Dãy bị chặn trên nếu: ∃M>0 sao cho: an≤M, ∀n∈N
+ Dãy bị chặn dới nếu:∃ M sao cho:an≥M, ∀n∈N
+ Dãy giới nội nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dới, hay
∃M>0 sao cho: a n ≤M, ∀n∈N
+ Dãy đơn điệu tăng nếu: a1≤a2≤…≤an≤…
+ Dãy đơn điệu giảm nếu: a1≥a2≥…≥an≥…
Nếu trong các bất đẳng thức không có dấu “=” thì dãy tơng ứng đợc gọi là dãy tăng thực sự và dãy giảm thực sự
Ví dụ 2.1:
a Dãy
∞
=
+
1
1
n n
n
có an=
n
n 1+
là dãy bị chặn
b Dãy
∞
=
+
+
−
1
1 2
) 1 ( ) 1
(
n
n n
n n
có an=
1 2
) 1 ( ) 1 (
+
+
−
n
n n
n là dãy không bị chặn
c Dãy
∞
=
1
1
n
n có an=
n
1
là dãy giảm thực sự
d Dãy
∞
=
−
1
1
n n
n
có an=
n
n 1−
là dãy đơn điệu tăng thực sự
e Dãy có an=1 là dãy mà mọi số hạng đều bằng nhau và bằng 1
2 Giới hạn của dãy số
a Dãy có giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1: Một số thực a (hữu hạn) đợc gọi là giới hạn của dãy số { }∞
= 1
n n
a khi n→+∞, ký hiệu:
a
a n
∞
→
lim nếu ∀ε>0 (bé tuỳ ý cho trớc), ∃n0 sao cho:
0
a
a n − <ε ∀ ≥
Khi đó ta cũng nói dãy { }∞
= 1
n n
a có giới hạn hữu hạn a, hay an hội tụ về a và viết an→a khi n→∞ Một dãy không hội tụ ta gọi là dãy phân kỳ
Trong định nghĩa trên số n0 phụ thuộc vào ε hay n0=n0(ε) Ta cũng thấy sự hội tụ của một dãy không phụ thuộc một số hữu hạn các số hạng đầu của nó, vì khi đó ta chỉ cần chọn n0 lớn hơn chỉ
số lớn nhất của các số hạng đó
Ví dụ 2.2: Chứng tỏ: lim +1=1
∞
n n
Xét biểu thức:
ε
<
=
−
+
=
−
n n
n a
Trang 2Biểu thức thoả mãn khi:
ε
1
>
n Nh vậy nếu ta chọn n0=ε1+1 thì với mọi n≥n0 ta đều có:
ε
<
−1
n
a Hay lim +1=1
∞
n
n Trong đó ε
1
là phần nguyên của
ε
1 , đó là số nguyên nhỏ nhất không vợt quá
ε
1
b Dãy dần đến vô cùng
Định nghĩa 2: Dãy { }∞
= 1
n n
a đợc gọi là:
- Dần đến vô cùng nếu với mọi M>0 cho trớc lớn tuỳ ý, đều tồn tại số n0 sao cho:
0
M
a n > ∀ ≥ , và viết:
∞
=
∞
n a
lim
- Dần đến +∞ nếu với mọi M>0 cho trớc lớn tuỳ ý, tồn tại số n0 sao cho: a n >M, ∀n≥n0, và
viết:
+∞
=
∞
n a
lim
- Dần đến -∞ nếu với mọi M>0 cho trớc lớn tuỳ ý, tồn tại số n0 sao cho: a n <−M, ∀n≥n0, và
viết:
−∞
=
∞
n a
lim
Ví dụ 2.3: Chứng tỏ =∞
+
+
−
∞
) 1 ( ) 1 ( lim
n
n n n n
Với M>0, xét biểu thức: M
n
n
+
+
1 2
) 1 (
n
n n n
n
+
+
>
+
+
2 ) 1 ( 2
) 1 ( 1 2
) 1 (
M
n 2>
⇔ Chọn n0=[ ]2M +1 khi đó với mọi n>n0 ta có:
M
n
n
+
+
1
2
)
1
(
, hay:
∞
= +
+
−
∞
) 1 ( ) 1 ( lim
n
n n n n
3 Dãy con và giới hạn riêng
a Định nghĩa
Cho dãy { }∞
= 1
n n
a và các số n1,n2, ,n… k, là một dãy con tăng vô hạn của N Khi đó dãy:… ,
, ,
, 2
a đợc gọi là dãy con của{ }∞
= 1
n n
Ta thấy một dãy có thể có nhiều dãy con
Ví dụ 2.4: Xét dãy { }∞
= 1
n n
∞
=
+
1
1
n n
n
khi đó:
+ Với nk=2k ta có dãy con là:
∞
=
+
1
2
1 2
k k k
+ Với n=2k-1 ta có dãy con là:
∞
=
−1 1 2
2
k k k
b Giới hạn riêng của dãy
Định nghĩa 3: Cho dãy số { }∞
= 1
n n
a Số p gọi là giới hạn riêng của { }∞
= 1
n n
a nếu nó là giới hạn của dãy con { }∞
= 1
k
n k
a nào đó của { }∞
= 1
n n
Định lý 1: Dãy { }∞
= 1
n n
a có giới hạn a khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều có giới hạn a
Trang 3Chứng minh: Giả sử lim an→∞ n=a, khi đó ∀ε>0, ∃n0 sao cho ∀n≥n0 ta có:an-a<ε Xét dãy con
{ }a n k , hiển nhiên ∀n k >n0ta có: x n k −a <ε nên a k a
k n
∞
→
Ngợc lại, nếu mọi dãy con của {an} đều có giới hạn a, vì {an} cũng là một dãy con của chính nó nên cũng có giới hạn a
Hệ quả: Một dãy có hai dãy con có giới hạn khác nhau thì không hội tụ
Ví dụ 2.5: Xét dãy an=cos(nπ)
Với n=2k ta có nlim a→∞ n=nlim cos(2k→∞ π)=1
Với n=(2k+1) ta có nlim a→∞ n=nlim cos(2k+1)→∞ π=-1
Vậy dãy đã cho có 2 giới hạn riêng nên không có giới hạn khi n→∞
Ví dụ 2.6: Xét sự hội tụ của dãy
an=1+q+q2+ +q… n, (n∈N) Nếu q=0 suy ra qn=0, ∀n∈N nên an=1 hay an→1
Nếu q=1 ta có qn=1 do đó:
an=1+1+ +1=n nên a… n→+∞ khi n→∞
Nếu q=-1 ta có
+
=
−
=
=
1 2 1
2 1
k n
k n
q n
Xét hai dãy con:
a2k=1+q+ +q… 2k=1→1 khi n→∞
a2k+1=1+q+ +q… 2k+1=-1→ -1 khi n→∞
Hai dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy không có gới hạn
Nếu q≠0 và q≠1 ta có:
an=1+q+q2+ +q… n=
q
q n
−
− +
1
Nếu q <1 thì qn+1→ 0 khi n→∞ nên an→
q
−
1
1 khi n→∞, vậy dãy hội tụ
Nếu q >1, qn+1→∞ khi n→∞ nên an→∞ khi n→∞, vậy dãy phân kỳ
Định lý 2: (Nguyên lý Bolzano_Weirstrass)
Cho dãy giới nội {an}, khi đó luôn trích đợc một dãy con {a n k} của nó hội tụ
Chúng ta không chứng minh định lý này, tuy nhiên đây là một định lý quan trọng, nó giúp ta chứng minh nhiều tính chất của hàm liên tục
2.1 D y hội tụã
1 Một số tính chất của dãy hội tụ
Tính chất 1: Nếu dãy { }∞
= 1
n n
a có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Chứng minh: Giả sử n a n =a
∞
→
lim và lima n a'
∞
→ Với ε>0 bé tuý ý, ta luôn tìm đợc các số 1
0
n và
2
0
n sao cho:
1 0
,
a
a n − <ε ∀ >
0
, 2
a
a n − <ε ∀ >
Khi đó với n>max( , 2)
0
1
0 n
n ta có:
ε
<
− +
−
<
− +
−
=
−a' a a a a' a a a a'
Do ε>0 bé tuỳ ý nên a=a’, hay dãy có giới hạn duy nhất
Hệ quả: n a n =a ⇒n a n = a
∞
→
∞
lim
Trang 4Tính chất 2: Nếu n a n =a
∞
→
lim và a > p (a < p) khi đó tìm đợc số np sao cho an > p (an< p) với mọi
n > np
Chứng minh: Vì a > p, chọn ε =a−p, khi đó ∃np để ∀n>np:
n a p
a−ε = < <a+ε
Vậy ∀n>np: p < an
Hệ quả: Nếu n a n =a
∞
→
lim >0 thì ∃n0 sao cho ∀n>n0: an>0
Tính chất 3: Mọi dãy hội tụ đều giới nội
Chứng minh: Cho n a n =a
∞
→
lim ta phải chứng minh: ∃M>0:∀n∈N: a n <M Vì a-1 < a < a+1, áp dụng tính chất 2 cho p = a-1 và p = a+1 nên ∃n0:∀n ≥ n0: an > a-1, ∃n1:∀n
≥ n1: an< a+1 Gọi n2=max(n0,n1) Khi đó ∀n≥n2: a-1<an<a+1
Đặt M=max(a1, ,a n2,a−1,a+1), khi đó ∀n∈N: a n <M
Tính chất 4: Cho hai dãy hội tụ { }∞
= 1
n n
a và { }∞
= 1
n n b
(i) Nếu ∃n0 sao cho an=bn∀n≥n0 thì: n a n n b n
∞
→
∞
lim (ii) Nếu ∃n0 sao cho an≥bn∀n≥n0 thì: n a n n b n
∞
→
∞
lim (iii) Nếu ∃n0 sao cho an>bn∀n≥n0 thì: n a n n b n
∞
→
∞
lim
2 Các phép toán của dãy hội tụ
Định lý 3: Nếu n a n =a
∞
→
lim và b n b
∞
→
lim thì:
(i) n a n ±b n =a±b
∞
lim
(ii) nlim(a n.b n)=a.b
∞
→
(iii) lim = ( ≠0)
∞
b
a b
a
n
n
n
Chứng minh: Ta chứng minh trờng hợp: n a n +b n =a+b
∞
lim , hai tính chất sau bạn đọc tự chứng minh
Vì n a n =a
∞
→
lim và b n b
∞
→
lim nên với ε>0 bé tuý ý, ta luôn tìm đợc các số 1
0
n và 2
0
n sao cho:
1 0
,
a
a n − <ε ∀ >
0
,
b
b n − <ε ∀ >
Khi đó với n>n0=max( , 2)
0
1
0 n
n ta có:
ε ε
ε + =
<
− +
−
≤ +
− +
2 2 )
( ) (a n b n a b a n a b n b
Do đó: n a n +b n =a+b
∞
lim
Hệ quả:
n ca n c n a n
∞
→
∞
→ ( )= lim lim
Ví dụ 2.7: Tìm
n
n n
1 lim +
∞
→
Ta có:
n n
1
1
+
=
+
, đặt an=1, bn=
n
1
Vậy lim +1=lim1+lim1 =1+0=1
∞
→
∞
→
∞
n
n n n
3 Các tiêu chuẩn hội tụ của dãy
Trong nhiều trờng hợp ta không cần biết giới hạn của dãy số mà chỉ cần biết dãy có hội tụ hay không Các tiêu chuẩn sau sẽ cho phép ta xét sự hội tụ của một dãy trong một số trờng hợp
a Tiêu chuẩn Côsi
Trang 5Định lý 4: Điều kiện cần và đủ để dãy {an} có giới hạn hữu hạn là ∀ε>0 bé tuỳ ý, ∃n0 sao cho:
an-am< ε, ∀n,m ≥ n0 Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử nlim a→∞ n=a, khi đó ∀ε>0, ∃n0:
an-a<
2
ε
, ∀n ≥ n0
Nh vậy ∀n,m≥n0 ta có:
an-am=an-a+a-am≤an-a+am-a<
2 2
ε
ε + =ε
Điều kiện đủ: Chọn ε thoả mãn 0<ε≤1, và n0 là số thoả mãn điều kiện với định lý tơng ứng với 2
ε
, nghĩa là:
an-am<
2
ε
≤1, ∀n,m≥n0
Cố định m=n0 Ta có:
an-an0<1, ∀n ≥ n0
Hay an<an0+1 ∀n ≥ n0
Đặt M=max(a1,a2, ,…an0,an0+1)
Khi đó: an≤ M hay dãy đã cho bị chặn Theo nguyên lý Bolzano_Weirstrass dãy {an} có dãy con { }a n k hội tụ tới a nào đó Chọn k0 sao cho 0
n k ≥ , khi đó ta đợc:
a - a n k m<
2
ε
, ∀m ≥ n0, ∀k ≥ k0
Cho k→∞ ta đợc: a-am≤
2
ε
<ε, ∀m ≥ n0, hay nlim a→∞ n=a
Ví dụ 2.8: Chứng tỏ dãy an=
1
1
+
n hội tụ.
Giả sử n ≥ m, xét biểu thức:
ε
<
<
+
+ +
≤ +
−
n
2 1
1 1
1 1
1 1
1
Vậy nếu ta chọn n0=ε42+1 thì ∀n,m≥n0: an-am<ε, hay dãy đã cho hội tụ
Ví dụ 2.9: Chứng tỏ dãy an=
n
1
2
1
1+ + + (n=2,3, ) phân kỳ.… Đặt m=n+k xét:
k n
k k n n
a
a n m
+
>
+ + + +
=
1 1
Chọn k=n và 0<ε<
2
1
ta có:
ε
>
= +
>
−
2
1
2
n n
n a
Tiêu chuẩn Côsi không thoả mãn, hay dãy đã cho không hội tụ,
b Tiêu chuẩn kẹp
Định lý 5:
Cho ba dãy {an}, {bn} và {cn} Nếu an≤bn≤cn, ∀n∈N và nếu:
∞
→
n
lim an=nlim c→∞ n=p thì: nlim b→∞ n=p
Trang 6Chứng minh: Vì nlim a→∞ n=nlim c→∞ n=p nên ∀ε>0, ∃ n1, n2 sao cho:
∀n>n0=max(n1,n2) ta có:
p-ε<an≤bn≤cn<p+ε
Do đó: b n − p <ε, ∀n∈n0 hay nlim b→∞ n=p
Ví dụ 2.10: Tìm
) 2 (
6 4 2
) 1 2 .(
5 3 1 lim
n
n n
−
∞
→
Đặt an=
) 2 (
6 4 2
) 1 2 .(
5 3
1
n
n−
, vì
1
1
+
<
−
k
k k
k
(k>1) nên:
0<an<
n a n n
n
n
) 1 2 (
1 )
1 2 )(
1 2 .(
5 3 1
2
6 4 2
+
= +
−
1 2
1
+
<
<
⇔
n
a n
1 2
1 0
+
<
<
⇔
n
a n
Do nlim→∞ 0
1 2
+
n nên nlim a→ ∞ n=0
c Tiêu chuẩn về giới hạn của dãy đơn điệu
Định lý 6: Cho dãy số {an}
(i) Nếu {an} là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi M thì nó hội tụ và có giới hạn không vợt quá M Nếu nó đơn điệu tăng và không bị chặn trên thì an→+∞
(ii) Nếu {an} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dới bởi M thì nó hội tụ và giới hạn không nhỏ hơn
M Nếu nó đơn điệu giảm và không bị chặn dới thì an→ -∞
Ví dụ 2.11: ( Số e) Chứng tỏ dãy an=
n
n
+1
1 hội tụ
Theo khai triển nhị thức Niutơn ta có:
n n
n n n
n n
n n n
!
) 1 ) (
1 (
1
! 2
) 1 ( 1
!
1
− −
−
− + +
− +
+
n
n n
n n n
1 1
2 1
1 1
!
1
1 1
! 2
1 1
1
1
+
−
+
− +
+ +
+
− +
+
1 1
1
1 1 )!
1 (
1
1
1 1
! 2
1
1
1
1
n
n n
n n
Vì 0<
1 1 1
+
−
<
−
n
k n
k
(0<k≤n) nên từ số hạng thứ ba trở đi mỗi số hạng trong khai triển của an+1
lớn hơn mỗi số hạng trong khai triển của an nên an<an+1, hay dãy đơn điệu tăng
Do 1− <1
n
k
(1≤k≤n) nên ta có:
− −
−
− + +
− +
+
n
n n
n n n
1 1
2 1
1 1
!
1
1 1
! 2
1 1
1
1
<
!
1
! 3
1
! 2
1 1
1
n
+ + + +
+
2
1 2 1 2
1
2
1 2
1 1
1+ + + 2 + + n−1 = + − n−1 <
Do đó dãy bị chặn trên bởi M=3
Vì dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi M=3 nên dãy có giới hạn, và đặt: e
n
n
+
∞
→
1 1
Ngời ta chứng minh đợc e là một số vô tỷ và:
e≈2,718281828459045…
Trang 7Ví dụ 2.12: Cho a n = 2+a n−1 với a1= 2 Chứng tỏ lim =2
∞
n a
Ta có: a2= 2+a1 = 2+ 2 > 2=a1
Giả sử ta có ak>ak-1, khi đó theo quy nạp ta có:
ak+1= 2+a k > 2+a k−1 =a k
Vậy an>an-1 với mọi n>1, hay dãy đã cho đơn điệu tăng
Ta có: a2= 2+ 2 < 2+2 2+1= 2+1
Giả sử ak< 2+1, khi đó xét:
ak+1= 2+a k < 2+ 2+1< 2+2 2+1= 2+1
Vậy dãy đã cho bị chặn trên bởi 2+1
Đặt x=n a n
∞
→
lim , x>0 Lấy giới hạn 2 vế biểu thức:
1
2+ −
a
Khi n→∞ ta đợc: x= 2+x⇔x2=2+x
Phơng trình cho x=-1 và x=2 Vì x>0 nên ta lấy x=2 Vậy
2 lim =
∞
n a
Bài tập chơng II
1 Dùng phơng pháp quy nạp chứng minh
a 1+2+ +n=…
2
) 1 (n+
n
b 12+22+ +n… 2=
6
) 1 2 )(
1 (n+ n+
n
c 13+23+ +n… 3=(1+2+ +n)… 2=
2
2
) 1 (
n n+
d
2
) 1 ( ) 1 ( )
1 (
4 3 2
12 − 2 + 2 − 2 + + − 2 = − −1 n n+
n
e 1.2+2.3+3.4+ +(n-1)n=…
3
) 1 (
)
1 (n− n n+
f (1+x1)(1+x2) (1+x… n)≥1+x1+x2+ +x… n, trong đó x1, x2,…,xn là các số cùng dấu lớn hơn –1
2 Chứng minh rằng với n=1,2,…
a Nếu x> -1 thì (1+x)n≥1+nx
b Với a+b>0, a≠b thì (a+b)n<2n-1(an+bn)
3 Chứng minh các bất đẳng thức
n
a a
a a a
n
2
a a
a
n a
a
n
n
1
1 1
2 1
2
+ + +
≥
4 Bằng định nghĩa chứng tỏ các dãy sau hội tụ
a
n
n
x n = +1
b
1
1
2 +
=
n
1
2 +
=
n
n
x n
d x n n n
2
!
1
n
a
n
k n
5 Tìm giới hạn của dãy
1
1
2
<
<
+ + + +
+ + + +
∞
b b
b
a a
a
n n n
Trang 8b
∞
n
n
2
1 2
2
5 2
3 2
1
c → ∞ + + + ( +1)
1
3 2
1 2
1
1
lim
n n n
d
!
2
lim
n
n
n→ ∞
−
−
−
∞
1 1
3
1 1 2
1 1
lim
n n
6 Tìm giới hạn
a (n n n)
∞
→
2
∞
lim
c lim(n 31 n3)
∞
n
n n
n
3
sin
∞
→
7 Chứng minh
a lim =1 ( >0)
∞
∞
→
n
8 Chứng tỏ dãy n
n
x n = ( − 1 ) không bị chặn nhng cũng không có giới hạn
9 Cho dãy
1 1
1
−
− +
=
n n n
x x
x với x0=1 Chứng tỏ rằng
+∞
=
∞
n x
lim
10 Xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy
1 2
1
+
=
−
n n x
x Với x0=1
11 Cho a0>0, b0>0 và:
an=2an-1+3bn-1 bn=an-1+2bn-1
Chứng tỏ dãy:
n
n n b
a
x = là dãy đơn điệu và bị chặn do đó có giới hạn
12 Cho hai số a, b thoả mãn: 0<a<b Xét hai dãy:
1
1 −
−
= n n
2
1
1
− +
y
với x0=a, y0=b Chứng tỏ hai dãy cùng hội tụ và có chung giới hạn
13 Xét sự hội tụ của dãy
1
1+ −
x với x0 = 3
14 Cho x0=1 và xn(3+xn-1)+1=0, tìm n x n
∞
→
lim