SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM dãy số và giới hạn số

Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng kiến thức về Dãy số mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như: Phương pháp sai phân, phương trình sai

TỔ HÀNH CHÁNH

ĐỀ TÀI:

Người thực hiện : NGUYỄN VŨ THANH

Năm học 2011-2012

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Từ khi tham dự các hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT do trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay, được học tập các chuyên đề do các giảng viên, các chuyên gia Toán của Bộ trình bày và được sự động viên của thầy Trương Thành Phú chuyên viên môn Toán của Sở Giáo dục và đào tạo Tiền Giang chúng tôi có một tâm huyết là sẽ cố gắng thực hiện hoàn chỉnh, cụ thể hoá các chuyên đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung của Tỉnh trong các kỳ thi HSG cấp khu vực và cấp quốc gia

Trong những năm gần đây bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang đã có những tiến bộ và đạt được một số thành tích đáng kể trong các kỳ thi HSG khu vực Nhưng gần đây Bộ đã thay đổi mạnh về quy chế thi HSG cấp Quốc gia đó là không còn phân chia hai bảng A, B như trước mà chỉ có một bảng thống nhất chung toàn quốc Đề thi khó hơn và khối lượng kiến thức nhiều hơn gây khó khăn cho cả Giáo viên và học sinh môn Toán tỉnh nhà

Trong điều kiện khó khăn đó việc tìm tài liệu và viết các chuyên đề này là việc cần thiết trong tình hình hiện nay Được sự ủng hộ của các thầy cô trong tổ Toán

trường THPT Chuyên Tiền Giang chúng tôi thực hiện viết chuyên đề: “ Dãy số và giới hạn dãy số”

2 Mục tiêu nghiên cứu:

Nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng kiến thức về Dãy số

mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như: Phương pháp sai phân, phương trình sai phân, dãy trung bình Cesaro, giới hạn kẹp, liên hệ giữa dãy số và hàm số , giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức và biết vận dụng lý thuyết dãy số vào giải các bài toán về hàm

số, phương trình hàm đồng thời định hướng quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề, rèn

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

luyện tư duy sáng tạo toán học và khả năng vận dụng sáng tạo trong giải các bài toán mới

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Hệ thống kiến thức về dãy số, phân dạng bài tập và hướng dẫn giải các bài tập áp dụng

Tùy theo từng nội dung của các vấn đề về dãy số, chúng tôi chọn lọc một số bài tập có các kiến thức liên quan như: số học, nghiệm phương trình, bất đẳng thức, phương trình hàm, … mà trong các kỳ thi học sinh giỏi toán thường hay gặp

Vì đây là chuyên đề nâng cao về dãy số để rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh giỏi nên chúng tôi không trình bày hệ thống lý thuyết về dãy số, coi như học sinh chuyên Toán phải biết trong chương trình chính khóa về dãy số để làm cơ sở cho việc học chuyên đề này

Rèn luyện tư duy giải toán thông qua giải các bài tập về dãy số và áp dụng dãy số để giải toán đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm với các thầy cô bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang

4 Phương pháp nghiên cứu

- Dựa vào các chuyên đề đã học ở Hà Nội và các tài liệu trong tất cả các đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống các bài toán về Dãy số và giới hạn dãy số thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán

- Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan, phân loại bài tập, nhận xét cách giải, tạo tình huống có vấn đề để học sinh cùng trao đổi nghiên cứu

- Hệ thống và sắp xếp các dạng bài tập từ dễ đến khó và có các hướng dẫn

- Chúng tôi không trình bày chi tiết các lời giải mà chỉ định hướng cách giải, phần giải quyết chính dành cho học sinh.Tuy nhiên trước khi hướng dẫn chúng tôi cho học sinh tự giải quyết vấn đề một cách độc lập để phát hiện từ các em nhiều cách giải hay, độc đáo góp phần bồi dưỡng và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

- Phương pháp phân tích: giúp học sinh nắm rõ bản chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng và tương tự hoá bài toán

5 Một số kết quả đạt được

Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp và tài liệu cần thiết để giải các bài tập về Dãy số và giới hạn dãy số đồng thời áp dụng dãy số để giải các bài toán về hàm số

Qua chuyên đề này giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức về Dãy số và giới hạn dãy số và các kiến thức khác như : Số học, Phương trình, Phương trình hàm, Tổ hợp,…

Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết các chuyên đề nâng cao khác

II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1 Các bài tập về Dãy số và giới hạn dãy số thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có một chuyên đề Dãy số phong phú nên

chúng tôi viết chuyên đề: “ Dãy số và giới hạn dãy số” để phục vụ giảng dạy cho học

sinh Đội tuyển tỉnh nhà

2 Đề tài được chia làm 9 chương:

Chương I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

Chương II: PHƯƠNG PHÁP LÙI DẦN

Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ

Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO

Chương VIII: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Chương IX: TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CÓ SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC

Trong mỗi chương sau phần trình bày các vấn đề có liên quan là hệ thống bài tập có hướng dẫn

Dù cố gắng nhiều nhưng đề tài không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được

sự đóng góp từ các đồng nghiệp môn Toán của tỉnh nhà

Sau đây và trình bày phần nội dung của đề tài

MỤC LỤC

-I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục tiêu nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

5 Một số kết quả đạt được

II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Chương I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

Chương II: PHƯƠNG PHÁP LÙI DẦN

Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ

Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO

Chương VIII: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Chương IX: TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CÓ SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

            là sai phân cấp 2 của hàm

f với mọi i = 1, 2, …Cứ như thế ta có thể định nghĩa sai phân cấp cao hơn

I.2 Tính chất của sai phân:

- Sai phân mọi cấp đều có tính tuyến tính tức là k(f g)  k( )f  k( )g

- Sai phân cấp k của một đa thức bậc n bằng 0 khi k > n; bằng hằng số khi

I.3 CÁC BÀI TOÁN:

Bài 1: Cho dãy số (a thỏa n) 0 1; 1 1 21 ( 1, 2, , )

a  a sau đó áp dụng phương pháp sai phân để tính tổng

Bài 2: Cho dãy số (a thỏa n) 1 1; 1 2 ( 1)

Nhận xét: Phần nguyên của số thực a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí

hiệu là [a] Do đó nếu n là số nguyên và nan 1 thì [a] = n

Bài 3: Cho dãy số (x thỏa n) 0 2; 1

n n

x



 ( QG 2001)

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

n

u x

- Dãy (u n) tăng và không bị chặn trên thì limu   n

Bài 6: Cho a > 0 và dãy số (x thỏa n) x1 1;x n1 ax n2x n Tìm

1 1

lim

n i

i i

x x

 



Hướng dẫn: ( ) x là dãy tăng và n x n   nên nếu ( )1, n x bị chặn trên thì tồn tại n

limx n  Khi đó b bab2  b b ( Vô lý).Vậy ( )0 x không bị chặn trên do đó n

i u i



Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

Nhận xét: Nếu u nv n và limv   thì lim n u   n

Bài 11 : Cho dãy số (u n) thỏa

2

1

n n n

i i

u u

 suy ra (u n) là dãy tăng

Chứng minh (u n) không bị chặn trên do đó limu   Ta có n

;

n n n n

Xác định ( )a và chứng minh ( n a là dãy giảm (QG 2010) n)

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh



( Thi HSG Tỉnh Tiền Giang 2001)

2 Dùng phương pháp sai phân hãy tìm quy luật của dãy số sau:

n a n

k n

Hướng dẫn:Chứng minh [2a]-[a] = [a + 1/2]

- Nếu u n1u n, n thì u n u1, n

CÁC BÀI TOÁN

Bài 15: Cho dãy số (x thỏa n)

2 1

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

Bài 17: Cho dãy số (x thỏa n) x0 2;x n1 5x n  24x n2 96 Tìm (x và CMR n)

i i

2

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

Nhận xét : Với q 1 thì limq  n 0

Bài 24: Cho dãy số (u n) thỏa u1 1,u2 2;u n2 3u n1u n

CMR:

2 1

Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

III.1.Tính chất 1: Cho hàm số f D: D và dãy số (u n) thỏa u n1  f u( n)

 Nếu f là hàm số tăng trên D thì ( )u n là dãy tăng nếu u1u2 và (u n)là dãy giảm nếu u1u2

 Nếu f là hàm số giảm trên D thì :

* u1u3: (u2n)là dãy giảm và (u2n1)là dãy tăng

* u1u3: (u2n)là dãy tăng và (u2n1)là dãy giảm

III.2.Tính chất 2: Nếu limu2n limu2n1  thì lima u n  a

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

 tăng từ [0;1][0;1] (u n) với n 2 tăng và bị

chặn trên nên tồn tại hữu hạn limu n  Qua giới hạn ta có a 1 1

III.3.CÁC BÀI TOÁN

Bài 26: Cho dãy số (u n) thỏa 1 1; 1 3 2 1 3( 1)



 có dạng hệ đối xứng loại hai, nếu đơn giản ta có thể trừ

hai PT cho nhau để tìm  , ; nếu phức tạp ta đưa về hệ  ( ( ))

Bài 28: Cho dãy số (u n) thỏa 1 5; 1 1 2 2( 1)

3 ( 1)2

n n

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

Trong một số bài toán về dãy số có dạng bài toán xây dựng dãy xuất phát từ

nghiệm duy nhất của phương trình, các bài toán này thường phải áp dụng tính liên tục của hàm số và các tính chất của hàm số liên tục

IV.1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM LIÊN TỤC

1 Nếu hàm số f liên tục tại x0 thì mọi dãy (xn) có limxn = x0 thì

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

c/ Với mọi c  [ ; m M ],  x0  [ ; ] a b sao cho f(x0) = c

3 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại

x0  ( ; )a b sao cho f(x0) = 0,nghĩa là phương trình f(x) = 0 có nghiệm.Nếu có thêm giả thiết hàm số f đơn điệu trên khoảng (a;b) thì nghiệm x0 là duy nhất

IV.2 CÁC BÀI TOÁN

Bài 32 : Cho n là một số nguyên dương lớn hơn 1 Chứng minh rằng phương trình xn

= x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn Chứng minh rằng xn dần về 1 khi n dần đến vô cùng và tìm lim ( 1)



n n x

Đặt fn(x) = xn – x – 1 ta có fn(1) = -1< 0 ,fn(3) > 0 khi n >1và f tăng trên

(1 ;  ) nên xn > 1

Khi đó fn+1(1) = - 1 < 0 và fn+1(xn) = x n n1– xn – 1 > xnn – xn – 1= fn(xn) =

= 0 = fn+1(xn+1) Từ đó ta suy ra 1 < xn+1 < xn Suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn a Ta chứng minh a = 1 Thật vậy, giả sử a > 1 Khi đó xn  a với mọi n và ta tìm được n đủ lớn sao cho: xn

n

 an > 3 và xn + 1 < 3, mâu thuẫn vì fn(xn) = 0

Đặt xn = 1 + yn với lim yn = 0 Thay vào phương trình fn(xn) = 0, ta được

(1+yn)n = 2 + yn Lấy logarith hai vế, ta được

nln(1+yn) = ln(2+yn)

Từ đó suy ra

lim nln(1+yn) = ln2 lim ln(1 n) ln 2

n n

n

y ny





 nên từ đây ta suy ra lim nyn = ln2, tức là

.2ln)1(



n n x

ln1

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

* f n1( n) n n1n  n  1  n n n  n   1 0 f n1( n1) n  n1 suy ra ( n) giảm bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại lim n  l2

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

a/ xn được xác định duy nhất vì hàm số

n x x

x x

bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn

b/Ta sẽ chứng minh giới hạn nói trên bằng 0 Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quả quen thuộc sau:

1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln(n)

(Thật vậy ta có ln(1+1/n) < 1/n suy ra 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln2+…+ln(n+1)-lnn=ln(n+1) > lnn)

ln2+ln3-Thật vậy, giả sử lim xn = a > 0 Khi đó, do dãy số giảm nên ta có xn  a với mọi n

Do 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n  + khi n  + nên tồn tại N sao cho với mọi n  N ta có

111

n x x

* Dãy (un) giảm và bị chặn dưới thì tồn tại giới hạn hữu hạn lim n

Giải: Kết quả của câu a) là hiển nhiên vì hàm fn(x) tăng trên (0, +) và

0 < xn < 1 Ta sẽ chứng minh dãy xn tăng, tức là xn+1 > xn

Ta có fn+1(xn) = a10xn

n+11

+ xn n+1

+ xn n

+ … + xn + 1 = xnfn(xn) + 1 = axn + 1

Vì ta đã có fn+1(1) = a10 + n + 1 > a nên ta chỉ cần chứng minh axn + 1 < a là sẽ suy ra

xn < xn+1 < 1(do ax n  1 f n1(x n)a f n1(1)) Ta cần chứng minh xn < (a-1)/a Thật vậy, nếu xn  (a-1)/a thì

1 10

11

11

a – 1 > 1) Vậy dãy số tăng (xn) tăng và bị chặn bởi 1 nên hội tụ

Ta CM: lim xn = (a-1)/a Thật vậy, đặt c = (a-1)/a < 1

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

Bài 40 : Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng phương trình

2

1 1

1

1

1 4

1 1

1 )

x x

2

n x

n

n n

n

f n

4

1 2

1 2

1 1 2

1

5

1 3

1 2 (

1

5 3

1 3 1

1 2

1 1 4

1

1 16

1 1

) 1 4 (

4 )

1 (

1

| ) ( '

c

nên |xn – 4| < 9

4n suy ra lim xn = 4

Bài 41: Cho n là một số nguyên dương lớn hơn 1 Chứng minh rằng phương trình xn

= x2 + x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn

' 1

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

0 1

2

1 2

1 2

Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ VI.1 Khái niệm: Dãy (u n) được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn limu n

VI.2.Các tính chất của dãy hội tụ:

1 Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn duy nhất

2 Dãy hội tụ thì bị chặn

3 Dãy bị chặn thì tồn tại một dãy con hội tụ

4 Dãy cơ bản thì hội tụ và ngược lại

( Dãy (u n) được gọi là dãy cơ bản hay dãy Côsi nếu

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

Bài 47: Cho số thực a và dãy (x thoả n)

- Nếu 0 < a <1 thì xn < 1 với mọi n

- Nếu a > 1 thì xn > 1 với mọi n

Nếu 0 < a <1 thì xn < 1 với mọi n và xn+1 > xn tồn tại giới hạn hữu hạn limx n

Nếu a >1 thì xn > 1 với mọi n và xn > xn+1 tồn tại giới hạn hữu hạn limx n

Giả sử

2 2

Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO VII.1 KHÁI NIỆM

1 Dạng 1: limx n  thì a

1

1lim

n i i

VII.2 CÁC BÀI TOÁN

Bài 48: Cho dãy số (x thỏa n) 0 1, 1 2

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

1

1 1

2 0

sin

Bài 52: Cho dãy số (x thỏa n) 0 1, n 1 n 1

Ta có

3 3

2

3(1 )

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

x  x    x   suy ra limx2n1  c c c lncc  1 limx n  1

Theo định lý trung bình Cesaro 1 2 2 1 3 2 1

5 Cho dãy số (x thỏa n)

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

1 Phương trình sai phân thuần nhất cấp 2 : Dạng au n2bu n1cu n  0 (a 0) với

u r u

2 Phương trình sai phân thuần nhất cấp 3 : Dạng au n3bu n2 cu n1du n  0 (ad  0)

với u u u0, ,1 2cho trước có phương trình đặc trưng là 3 2

A

u u u

* Trường hợp 4: f(x) có một nghiệm thực 1 và hai nghiệm phức liên hợp  2, 3 giả

sử 2 r(cosisin ) thì u n  A 1nr n(B cosn Csinn )

3 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất: Dạng

VIII.2 CÁC BÀI TOÁN

Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh

Bài 56: Cho hai dãy (u n)và ( )v thoả n

1 1, 2 3, n 1 n 2 n 1 ; 1 7, 2 17, n 1 n 2 n 1

u  u  u  u  u  v  v  v v  v CMR không có số nguyên nào đồng thời là phần tử của hai dãy nói trên

Hướng dẫn: Với n chẵn CM u n  3(mod 8),v n  1(mod 8) và với n lẻ u n  5(mod 8),v n  7(mod 8)

Bài 57: Cho dãy số (x thỏa n) x1  7,x2  50 và x n1  4x n 5x n1  1975 CMR x1996 chia hết cho 1997 ( QG 1997)

1997 120

x x x