SKKN PP TOA DO GIAI HINH HOC KHONG GIAN

Mục đích của sáng kiến Trong chương trình Toán Trung học phổ thông các bài tập hình học không gian trong sách giáo khoa cũng như trong các đề thi thường là bài toán khó đối với các em h

Phần 1 MỞ ĐẦU

1 Mục đích của sáng kiến

Trong chương trình Toán Trung học phổ thông các bài tập hình học không gian trong sách giáo khoa cũng như trong các đề thi thường là bài toán khó đối với các em học sinh Vấn đề đặt ra là làm thế nào cho học sinh thấy được sự cần thiết phải giải các bài toán này?

Để giúp các em học sinh đạt kết quả tốt trong học tập cũng như trong kì thi trung học phổ thông quốc gia, giúp các giáo viên có thêm những kinh nghiệm trong việc giảng dạy môn hình học không gian Tôi trình bày một kinh nghiệm

nhỏ của mình trong giảng dạy Toán, đó là: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”

Với phương pháp này sẽ giải được một số bài toán về hình học không gian, mong muốn tạo cho các em học sinh thấy yêu thích môn Toán hơn, nhất là

môn Hình học không gian

2 Tính mới và ưu điểm nối bật của sáng kiến

Từ thực tế giảng dạy cho học sinh ôn thi Đại học, Cao đẳng và bây giờ là

kì thi trung học phổ thông quốc gia các năm qua cũng như do yêu cầu chuyên môn đòi hỏi sự nghiên cứu vận dụng phối hợp các nguồn kiến thức nhằm đem đến cho học sinh các phương pháp hữu hiệu giải các bài toán trong các đề thi Đại học, Cao đẳng Tôi nhận thấy trong các đề thi Đại học, Cao đẳng thường xuất hiện bài toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà ở đó lời giải đòi hỏi vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học không gian như: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc và khoảng cách, tính thể tích khối đa diện… Việc tiếp cận các lời giải đó thực tế cho thấy thật sự

là một khó khăn cho học sinh, thậm chí cả giáo viên, chẳng hạn bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà chỉ dừng ở mức độ tính toán thì rõ ràng phương pháp tọa độ tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính toán đều đã được công thức

thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu và áp dụng một cách dễ dàng, nhanh chóng trong việc làm bài tập

3 Đóng góp của sáng kiến để nâng cao chất lượng dạy và học

- Giúp học sinh có phương pháp khác tiếp cận bài toán hình học không gian

- Giúp học sinh có hứng thú trong việc tiếp cận nội dung được cho là khó trong các đề thi đại học

- Tạo tư duy giải quyết vấn đề cho học sinh khi phương pháp hay dùng gặp khó

khăn

Phần 2 NỘI DUNG Chương 1: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Bản thân là giáo viên đã giảng dạy nhiều năm, trong quá trình giảng dạy

đã phát hiện ra những khó khăn của học sinh trong việc giải các bài toán hình học không gian là:

+ Khó khăn trong việc vận dụng các kiến thức cũ từ các năm học trước

+ Chưa vận dụng thành thạo trong việc vận dụng lí thuyết để giải bài tập

+ Chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải toán

+ Khi làm bài học sinh chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, đôi khi không phân biệt đâu là giả thiết đâu là phần cần chứng minh + Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên còn nhiều vướng mắc, dẫn đến kết quả giải toán hình không gian không được tốt Từ đó thiếu hứng thú trong học tập

Nhằm giúp học sinh cảm thấy thoải mái hơn trong quá trình tiếp thu và chủ động giải quyết bài toán hình học không gian, giúp học sinh giải được các bài tập hình học không gian phức tạp, giúp học sinh hiểu được là phải học và giải được bài toán này trong các đề thi, học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi giải

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, BAD=

600 Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AA’, CC’

a Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng

b Tính độ dài AA’ theo a để BMDN là hình vuông

Lời giải

Nếu giải theo phương pháp hình học không gian

thuần túy ta tiến hành như sau:

a Ta có A’M // CN và A’M = CN  A’MCN là

Gọi H = AC  BD  H là trung điểm của AC và BD

∆ BAD đều H là đường cao  AH = 3

Ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải như sau:

∆ BAD có BAD = 600

 ∆ BAD đều Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’

b

), NB'

= ( 32

a

,2

a

, 2

b

)

 DM  NB'

 DM = B’N và DM // B’N  B’DMN là hình bình hành Vậy 4 điểm M, N, B’, D cùng thuộc một mặt phẳng

b Ta có: MB '

( 32

a

,2

a

,2

Giải theo phương pháp này theo tôi có nhiều ưu điểm hơn, học sinh dễ tiếp thu hơn

CHƯƠNG 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ chúng ta cần phải thực hiện các bước sau:

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, từ đó suy ra tọa

độ của các điểm cần thiết (chú ý đến vị trí của gốc O)

Xác định tọa độ của các điểm có liên quan ta có thể dựa vào:

♦ Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (các điểm nằm trên các trục tọa độ, các mặt phẳng tọa độ)

♦ Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn thẳng để tìm tọa độ các điểm

♦ Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng,mặt phẳng

♦ Dựa vào các quan hệ về góc của đường thẳng và mặt phẳng

Tìm độ dài cạnh của hình

Bước 2: Chuyển hẳn bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích Giải bài toán

hình học giải tích nói trên

Bước 3: Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất

- Góc giữa hai đường thẳng

- Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

- Góc giữa hai mặt phẳng

- Thể tích khối đa diện

- Diện tích thiết diện

- Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc

II MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Ở đây tôi đề cập hoàn toàn cách giải ứng dụng phương pháp tọa độ và chủ yếu lấy các đề thi đại học làm minh họa Trong một số bài toán có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau Bạn đọc có thể tham khảo lời giải theo phương pháp hình học thuần túy của Bộ giáo dục qua các năm

1 BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP

1.1 HÌNH CHÓP TAM GIÁC

Bài 1: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau, OA

= a, OB = b, OC = c

a Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O

b Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn

c Gọi    , , lần lượt là góc giữa (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh rằng: 2 2 2

cos   cos   cos   1

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia OAtia

Ox, tia OBtia Oy, tia OCtia Oz

Khi đó: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)

a) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ

đỉnh O

Dễ thấy phương trình mặt phẳng (ABC) là x y z 1 bcx cay abz abc 0

Vậy tam giác ABC có ba góc đều nhọn

c Chứng minh cos 2 cos 2 cos 2 1

Với    , , lần lượt là góc giữa (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)

Dễ thấy các mặt phẳng (ABC), (OBC), (OCA), (OAB) có VTPT lần lượt là

cos   cos   cos   1

Nhận xét: Qua bài 1 đã trình bày, ta nhận thấy một yếu tố thuận lợi cho việc tọa

độ hóa là điều kiện đôi một vuông góc của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của đa diện, thông thường điều kiện này được ẩn chứa ngay trong các giả thiết cho trước Tuy vậy, không phải lúc nào điều kiện trên cũng được thỏa mãn nên trong một số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ một cách

khéo léo hơn

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002) Cho hình tứ diện ABCD

có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC AD 4cm,AB 3cm,

cm

BC  5 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD)

Lời giải

ABC

 có : AB2AC2 BC2  25 nên vuông tại

A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz

như sau O  A( 0 ; 0 ; 0 ), B( 3 ; 0 ; 0 ); C( 0 ; 4 ; 0 ) D( 0 ; 0 ; 4 )

Tính : AH  dA , BCD( )

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)

0 12 3 3 4 1 4 4

12 9 9 16

12 )

Bài 3: Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác

ABC vuông tại A vàADa AC, b AB, c

a Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2002) Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Gọi I là trung điểm của BC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho

Bài 5: (Đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có

đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB,mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N, biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

Từ đó suy ra điểm N(a;a;0)

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC) là: nSBC   ( z; 0; 2 )a

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: nABC  (0; 0;1)

Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600 ta tìm được z 2a 3Suy ra: S(2 ; 0; 2a a 3)

Bài 6: (Đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có

đáy là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, mặt phẩng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB 2a 3 và góc SBC bằng 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Lời giải

Kẻ SOBC , khi đó SO (ABC) Tính được

3

SOa , OB=3a, OC=a

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:

A(3a;3a;0), B(3a;0; 0), C(-a;0;0), S(0;0; a 3)

Nhận xét: Nếu so với cách tính khoảng cách từ điểm B đến (SAC) thông qua

khoảng cách từ điểm H của đáp án chính thức thì cách trên là trực tiếp, dễ định hướng hơn và dễ thực hiện hơn.

1.2 HÌNH CHÓP TỨ GIÁC

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA 2a Mặt phẳng   qua BC hợp với AC một góc 300 , cắt SA, SD lần lượt tại M, N Tính diện tích thiết diện BCNM

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau:

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a

a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyz như sau: O(0;0;0), S 0; 0;a22

Bài 3: (Đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác

đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau:

4 ]

, [

].

, [ ,

2 2

2

a h a

h a

AC MN

AM AC MN AC

MN

Nhận xét: Bài toán 3 có thể được tọa độ hóa với gốc tọa độ là một đỉnh của đáy

bằng việc kẻ thêm đường thẳng qua đỉnh, song song với SO, tạo thành bộ ba đường thẳng đôi một vuông góc tại đỉnh đó Cái hay của việc tọa độ hóa ở lời giải chính là việc chọn biến h chưa biết đối với tọa độ điểm S, nhưng kết quả lại không phụ thuộc vào h

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007) Cho hình chóp

S.ABCD có đáy là hình thang,   0

90

ABCBAD ABBCa, AD 2a, SA vuông góc với đáy và SAa 2 Gọi H là hình chiếu của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo akhoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

+ Chứng minh tam giác SCD vuông

a a

d H SCD

 

Bài 5: (Đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD

có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a; SAa; SBa 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo athể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông gócOxyz như sau: H(0; 0;0), S 0; 0;a23

Bài 6: (Đề dự bị ĐH &CĐ khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600, SA vuông góc vứi mặt phẳng (ABCD)

và SA=a Gọi C’ là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Vì tam giác ABD đều nên

a

, S( 3; 0; a) 2

2.1 HÌNH LĂNG TRỤ TAM GIÁC

Bài 1: (Đề tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng

ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’ I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với

B, tia Ox chứa A, Tia Oy chứa C và tia Oz

chứa B’ (xem hình vẽ) Khi đó:

 

Bài 2: (Đề dự bị ĐH &CĐ khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’

có tất cả các cạnh đều bằng a, M là trung điểm của đoạn AA’ Chứng minh rằng

BM vuông góc với B’C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B’C

Lời giải

Gọi O là trung điểm BC và chọn hệ trục tọa

độ Oxyz có tia Ox chứa A, tia Oy chứa C và

tia Oz chứa trung điểm của B’C’ (xem hình

10 10 [ , ' ]

Nhận xét: Nếu so với đáp án chính thức trong việc tính d(H,(SCD)) thì lời giải

này rõ ràng và trực tiếp hơn, dễ hiểu hơn (đáp án chính thức tính d(H, (SCD)) thông qua việc tính tỉ số d(H,(SCD))/d(B,(SCD)) rồi lại tính d(B,(SCD)) thông qua thể tích tứ diện SBCD)

Bài 3: (Đề tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng

ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, ABBC a, cạnh bên AA' a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo athể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C

7 1

2 2

Nhận xét: Theo đáp án chính thức, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

AM và B’C trong bài toán này hoàn toàn không dễ, đòi hỏi dựng được mặt phẳng chứa AM và song song với B’C, rồi qui việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này về khoảng cách từ C, rồi lại từ B đến mặt phẳng mới dựng đó Lời giải bằng tọa độ rõ ràng là rất ngắn gọn và trực tiếp.

Bài 4: (Đề tuyển sinh ĐH &CĐ khối A năm 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’

có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, ACa 3

và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khói chóp A’.ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’

Lời giải

Gọi O là trung điểm của BC, H là trung điểm

của AB, K là trung điểm của AC thì OHAK là

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia ox chứa H, Tia Oy chứa K và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ)

1 ' , ' '

Gọi  là góc giữa AA’ và B’C’

Khi đó: cos cos( ', ) 1

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a

a Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng (AB'D' )

b Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng (AB'D' ) là trọng tâm của tam giác AB ' D'

c Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D' ) và (C'BD)

d Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA'C) và (ABB'A' )

e Chứng minh hai đường chéo B ' D'và A' Bcủa hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B ' D'và A' B