SKKN sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 – THPT thông qua việc giải một số bài toán định lượng trong hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

Sau nhiều năm giảng dạy ở các lớp mũi nhọn ôn thi HSG, ôn thi ĐH-CĐ, tôi nhận thấy để có được kết quả tốt trong giảng dạy nội dung HHKG ở trường THPT thì phải tạo ra tâm lý “thích học hì

góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,…mà tác giả gọi là “Các bài toán định lượng trong hình học không gian”

Sau nhiều năm giảng dạy ở các lớp mũi nhọn ôn thi HSG, ôn thi ĐH-CĐ, tôi nhận thấy để có được kết quả tốt trong giảng dạy nội dung HHKG ở trường

THPT thì phải tạo ra tâm lý “thích học hình không gian” của học sinh, nhất là học sinh lớp 11; phải tìm cách tiếp cận HHKG đơn giản, dễ hiễu và có “thuật giải” rõ ràng để có thể áp dụng cho nhiều bài tập, tránh trường hợp mỗi bài vận

dụng mỗi cách khác nhau gây tâm lý hoang mang cho học sinh khi mới tiếp cận HHKG; phương pháp giải phải gần gũi với các nội dung đại số, phương trình,

hệ phương trình – là các nội dung được học rất nhiều trong chương trình THPT

và có thể nói là nội dung “sở trường”, là điểm mạnh của đại đa số học sinh

Phương pháp véc tơ đáp ứng được các yêu cầu nói trên Tuy nhiên trong chương trình SGK Hình học lớp 11 NC, phương pháp véc tơ chỉ được đề cập ở hai bài đầu tiên của Chương III với thời lượng 4 tiết là quá ít so với nội dung đồ

sộ của phần HHKG Chính vì vậy Phương pháp véc tơ đôi khi bị xem nhẹ, trang

bị không đầy đủ, thiếu tính hệ thống làm cho học sinh không biết vận dụng vào

giải quyết các bài toán hình học

Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài SKKN mang tên “Phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 – THPT thông qua việc giải một số bài toán định lượng trong hình học không gian bằng phương pháp

véc tơ ” với mục đích trang bị cho học sinh các kiến thức và kỹ năng vận dụng

phương pháp véc tơ vào giải toán HHKG, hình thành cho học sinh phương pháp

tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo, tạo tâm lý hứng thú khi học HHKG, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học HHKG ở trường THPT nói chung cũng như

Thứ nhất: Phương pháp véc tơ đã được đề cập trong Chương III- SGK Hình

học lớp 11 NC với thời lượng là 4 tiết, tuy nhiên chỉ tập trung chủ yếu vào việc chứng minh các đẳng thức véc tơ và biễu diễn tuyến tính một véc tơ theo các véc

tơ không đồng phẳng Rất ít nội dung vận dụng phương pháp véc tơ vào “Các bài toán định lượng trong hình học không gian”

Thứ hai: Rất nhiều bài toán về HHKG lớp 11 khi giải bằng phương pháp

hình học tổng hợp thì tương đối phức tạp và gây nhiều khó khăn cho học sinh, tuy nhiên khi vận dụng phương pháp véc tơ thì có lời giải rất gọn, đẹp, có tính đại số và thuật giải, gây nhiều hứng thú cho học sinh

2 Mục tiêu của đề tài:

Trên cơ sở lý luận như trên, tôi nêu ra một số mục tiêu cần phải đạt như sau:

a) Đối với tác giả của đề tài

Thứ nhất: Xây dựng được hệ thống các thuật giải tổng quát cho các bài

toán cơ bản về định lượng trong HHKG lớp 11, cụ thể là các bài toán về sử dụng điều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ; tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Thứ hai: Xây dựng được hệ thống các bài tập minh họa cùng lời giải phù

hợp và thể hiện tính điển hình, tối ưu của phương pháp véc tơ so với các phương pháp khác Các bài tập nêu ra phải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG

và thi ĐH-CĐ

Thứ ba: Xây dựng được hệ thống bài tập tương tự có chỉ dẫn hoặc đáp số

làm tư liệu phục vụ cho quá trình dạy và học HHKG Các bài tập nêu ra cũng phải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG và thi ĐH-CĐ

b) Đối với học sinh khi được triển khai áp dụng:

Thứ nhất: Được trang bị đầy đủ, có tính hệ thống về phương pháp véc tơ và

thuật giải một số dạng toán cơ bản trong HHKG lớp 11

Thứ hai: Biết vận dụng thành thạo và có sáng tạo phương pháp véc tơ trong

quá trình học tập môn HHKG, có tâm lý tự tin và hứng thú khi giải các bài tập

về HHKG

Thứ ba: Hình thành và phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo

3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài:

Để có cơ sở đánh giá về hiệu quả của việc áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tôi chọn 2 lớp theo ban KHTN của Trường THPT Triệu Sơn 3 năm học

Thứ nhất: Đối với giáo viên, việc dạy HHKG thường mất nhiều thời gian

và công sức, đồng thời nội dung HHKG trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học, đề thi HSG thường là những nội dung khó, có tính chất phân loại cao và

chỉ chiếm tỉ lệ từ 10%-15% số điểm của toàn bài thi, do đó có tâm lý “xem nhẹ”

nội dung này trong quá trình dạy học, ôn tập

Thứ hai: Đối với học sinh, để học tốt môn HHKG thì cần phải nắm vững

kiến thức về hình học phẳng ở chương trình THCS, đồng thời phải có tư duy trừu tượng, khả năng đoán nhận tốt Thực tế điều này lại là điểm yếu của không

ít học sinh THPT nói chung và học sinh THPT Triệu Sơn 3 nói riêng, kể cả học

sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý “sợ” học HHKG, “ngại” học HHKG

Thứ ba: Các tài liệu trình bày về phương pháp véc tơ còn hạn chế, chưa có

tính hệ thống, chuyên sâu và hệ thống bài tập chưa đa dạng gây nhiều khó khăn cho người dạy và người học

III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Tư tưởng chủ đạo để xác định các giải pháp là vận dụng quan điểm triết học trong câu nói của Chủ tịch Hồ Chí Minh : “Dĩ bất biến, ứng vạn biến”

dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư duy thuật giải – một loại hình tư duy rất quan trọng không chỉ trong toán học mà cả trong nhiều lĩnh vực khoa học khác Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh khi học môn HHKG

2 Giải pháp thứ hai: Xây dựng các bài tập minh họa thuật giải – các đối tượng

“vạn biến”: Chính là lớp các bài toán cụ thể với giả thiết luôn thay đổi theo từng đặc trưng của mỗi bài Việc áp dụng các thuật giải – tức là cái “bất biến” vào để giải một lớp các bài toán với các giả thiết khác nhau – tức là cái “vạn biến” giúp cho học sinh hình thành tư duy sáng tạo, linh hoạt trong từng tình huống cụ thể; tập luyện cho học sinh khả năng ứng biến và vận dụng khéo léo các tính chất, các định lí cơ bản của véc tơ trong không gian vào để giải quyết các bài toán hình học

IV BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

1 Thuật giải trong các bài toán liên quan đến điều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ

a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:

Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng

Bước 2: Biểu diễn các véc tơ theo a , b , c

Bước 3: Sử dụng điều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng

của ba véc tơ để lập một hệ phương trình đại số

b) Một số định lí cơ bản của véc tơ trong không gian:

Định lí 1.1 Cho hai véc tơ a và b (a 0 ) Khi đó hai véc tơ a và b cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho b k.a

Định lí 1.2 Trong không gian, cho a và b là hai véc tơ không cùng phương và

véc tơ c Khi đó ba véc tơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực

m, n sao cho cmanb Hơn nữa các số m, n là duy nhất

Định lí 1.3 Trong không gian, cho ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng Khi đó

với véc tơ d tùy ý, tồn tại các số thực m, n, p sao cho dmanbpc Hơn nữa các số m, n, p là duy nhất

c) Bài tập minh họa:

Bài 1.1 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB1 và A1C1 sao cho MN//BD1 Tính tỉ số

1

AM

AB

Lời giải Bài 1.1

Bài 1.2 Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các

cạnh BC, BD, AC sao cho BC4BM, BD2BN, AC3AP Mặt phẳng (MNP)

cắt đường thẳng AD tại Q Tính tỉ số AQ

AD

Lời giải Bài 1.2

+) Chọn hệ véc tơ a AB,b AC,c AD  

Bài 1.3 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của BD và AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN lấy điểm Q sao cho PQ//CM Tính độ dài PQ

Lời giải Bài 1.3

+) Chọn hệ véc tơ a AB,b AC,c AD  

xx

32

+) Khi đó

2 2

CA biết đường thẳng MK song song với mp (PDC1)

b) Gọi E và F lần lượt là các điểm thỏa mãn AEmAP, CFnCI sao cho O, E,

tại các số x, y sao cho:

So sánh (1) và (2) ta có hệ  

17x

2 2

d) Nhận xét: 1.1 Điểm mấu chốt của cả 4 bài toán trên là sử dụng định lí về sự

biểu diễn tuyến tính duy nhất của một véc tơ tùy ý trong không gian theo ba véc

tơ không đồng phẳng (Định lí 1.3), từ đó dẫn đến việc giải một hệ phương trình

3 ẩn Việc làm này được lặp lại ở 4 bài với giả thiết và yêu cầu khác nhau đã thể hiện rõ tính thuật giải, tính ưu điểm lớn của phương pháp véc tơ

1.2 Việc chọn hệ ba véc tơ không đồng phẳng (hệ cơ sở) một cách khéo léo để

có thể biễu diễn các véc tơ khác theo chúng một cách thuận lợi nhất đã thể hiện được tính sáng tạo trong quá trình vận dụng phương pháp véc tơ vào giải toán hình học

2 Thuật giải trong các bài toán tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 Giả sử d1 có véc tơ chỉ phương u , đi 1

qua A; d2 có véc tơ chỉ phương u , đi qua B 2

a) Thuật giải:

Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng Cần chọn a , b , c

khéo léo để có thể tính các giá trị a , b , c , a.b , b.c , c.a

Bước 2: Biểu diễn các véc tơ u và 1 u theo a , b , c 2

* Để tính góc giữa d 1 và d 2 ta tiếp tục thực hiện theo hai bước sau:

u u

* Để tính khoảng giữa d 1 và d 2 ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 5: Gọi EF là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (E d ,F d 1  2) Giả sử

AEx.u , BFy.u Biểu diễn véc tơ EF theo a , b , c (phụ thuộc vào x, y)

Bước 6: Giải hệ phương trình đại số 1

2

EF.u 0EF.u 0

d d ,d EF EF      .a b c

b) Bài tập minh họa:

Bài 2.1 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, có độ dài các đường

chéo AC4a, BD2a, SO2 2a và SO(ABCD) Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

Lời giải Bài 2.1

+) Chọn hệ véc tơ

aCA,bDB,cOS Khi đó: a 4a, b 2a, c 2 2a

+) Tính khoảng cách d SA,BM : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của SA và  

BM (ESA, FBM) Giả sử EAx.SA,BFy.BM Khi đó ta có:

Lời giải Bài 2.2

A F.DE 10

+) Tính khoảng cách d A F,DE : Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của A 1  1F và

DE (IA F,J1 DE) Giả sử JEx.DE, A I1 y.A F1 Khi đó ta có:

Lời giải Bài 2.3

+) Tính khoảng cách d MN,AC : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của MN và  

AC (EMN, FAC) Giả sử MEx.MN,AFy.AC Khi đó ta có:

2 2 2 x 2 2 1 41 25EF.MN 0 x a y x b c a b c 0 x 4y

2

aa.b b.c c.a

đo góc tam diện đỉnh A và độ dài các cạnh của hình hộp, chẳng hạn đối với Bài 2.4 ta có thể điều chỉnh giả thiết : 0

BAD60 , DAA190 ,A AB 1200 1  0,

ABa, AD2a, AA1 3a để có thêm nhiều nội dung luyện tập cho học sinh 2.2 Có thể kết luận: với thuật giải như trên thì có thể tính được góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau tùy ý trong không gian (với điều kiện là có thể chọn được một hệ véc tơ cơ sở a , b , c và có thể tính được các giá trị

a , b , c , a.b , b.c , c.a ) Đây chính là một điểm mạnh nữa của phương pháp véc

tơ so với các phương pháp khác

Bài 3.2 Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1 Trên đường thẳng

BC1 lấy điểm M sao cho các véc tơ D M, DA , AB1 1 1 đồng phẳng Hãy tính tỉ số

1

BM

MC và diện tích tam giác MAB1 ( Đáp số: 3 và 19

4 )

Bài 3.3 Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1 Trên các cạnh BC

và DD1 lấy các điểm M và N sao cho BM  DN  x 0   x 1 Chứng minh rằng

MN vuông góc với AC1 Tìm x để độ dài MN ngắn nhất (Đáp số: x 1

2

 và

MNmin= 6

2 )

Bài 3.4 Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều với AB  4 2a,

SC(ABC) và SC  2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AB Tính góc

và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CN.( Đáp số: 0

45 và 2 3a

3 )

Bài 3.5 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, cạnh

bên SA vuông góc với đáy và SA a 3,AB a,BC 2a   Biết góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 300

Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách

giữa SM và CD ( Đáp số: 30a

10 )

Bài 3.6 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông với AB  2a, SA  a,

SB  a 3, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng

SM và DN (Hướng dẫn:Kẻ đường cao SH của SAB thì SH(ABCD) và

Bài 3.7 Cho hình hộp đứng ABCDA1B1C1D1 có đáy là hình thoi cạnh bằng a,

góc BAD  với cos 3

4

  Gọi M là điểm thỏa mãn DM  kDA và N là trung điểm của A1B1 Tìm k để C1M D1N Khi đó hãy tính góc và khoảng cách giữa

V KIỂM NGHIỆM THỰC TẾ

1 Phương pháp kiểm nghiệm:

Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm nghiệm theo các bước sau:

Bước 1: Đánh giá và so sánh năng lực học tập của lớp đối chứng và lớp thực

* Với lớp thực nghiệm 11G7: Cũng trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013 tôi tiến hành dạy 2 buổi lý thuyết và các ví dụ minh họa bằng phương pháp véc

tơ, 1 buổi thảo luận bài tập với các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Các ví dụ minh họa là các bài có lời giải chi tiết nêu trong Phần III của SKKN, còn bài tập thảo luận cũng là các bài tập được nêu trong SKKN

Bước 3: Đánh giá và so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau

khi tác động

2 Kết quả kiểm nghiệm:

a) Trước tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra viết môn Toán (90 phút) do tổ

chuyên môn ra đề dùng khảo sát chất lượng học kì I, được tổ chức kiểm tra tập

trung cho toàn khối, tổ chuyên môn chấm bài theo đáp án đã xây dựng:

Bảng 1: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra trước khi tác động

Bảng 2: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra trước khi tác động

Nội dung so sánh Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm

Như thông tin trong các Bảng 1 và Bảng 2 đã chứng minh rằng, sự chênh lệch điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước tác động là không đáng kể, hai lớp được coi là tương đương và không cần thực hiện phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của các nhóm trước khi tác động

b) Sau tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra viết môn hình học không gian

(với thời gian làm bài 90 phút), do tổ trưởng chuyên môn ra đề Lớp đối chứng

và lớp thực nghiệm được kiểm tra vào cùng một thời gian, cùng một đề Để đảm bảo tính khách quan, việc coi và chấm bài kiểm tra hoàn toàn do giáo viên trong

tổ chuyên môn thực hiện

Bảng 3: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra sau khi tác động

Bảng 4: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra sau khi tác động

Nội dung so sánh Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm

quả bài kiểm tra của lớp đối chứng 11G2 là điểm trung bình = 5.2 Độ chênh lệch điểm số giữa hai lớp là 1.7 Điều đó cho thấy điểm trung bình của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm trung bình cao hơn lớp đối chứng

Theo bảng tiêu chí Cohen về tính chênh lệch giá trị trung bình chuẩn (SMD):

Trung bìnhthực nghiệm - Trung bình đối chứng SMD = -

Độ lệch chuẩnđối chứng

Từ công thức trên ta có: SMD = 0.86 Kết quả về SMD nằm trong khoảng

từ 0.80 đến 1.00 cho thấy mức độ ảnh hưởng của phương pháp véc tơ đến kết quả học tập môn HHKG lớp 11 của lớp thực nghiệm tại Trường trung học phổ thông Triệu Sơn 3 là lớn