Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. a Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạn
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo thanh thuỷ
đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs
Năm học 2009 2010–
Môn: Toán
(Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề.)
(Đề thi có: 01 trang )
Câu 1 (2 điểm)
Cho biờ̉u thức P = x 2x 1 2 xx 2 ( x 22 5 x)( x 2)
a)Tìm điờ̀u kiợ̀n của x đờ̉ biờ̉u thức P có giá trị xác định rụ̀i rút gọn biờ̉u thức P
b)Tìm x đờ̉ P = 2
Câu 2 (2 điểm): Tính :
a) A = ( )( ) ( )2
2− 2 −5 2 + 3 2 5−
b) B = 6 2 5+ + 6 2 5−
Câu 3 (2 điểm) : Giải phơng trình sau đây :
a) x2 − 4016 x + 20082 = 2
+ + + − + + = +
Câu 4(3 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng
c) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
+ .
Câu 5 (1 điểm) : Cho a,b,c,d là các số dơng có tích abcd = 1 Chứng minh rằng :
a + + + b c d + ab cd + ≥
-
Hết -Họ và tên :……… SBD : …………
Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm !
Đề chính thức
Trang 2Phòng giáo dục & đào tạo thanh thuỷ Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 vòng 1
Môn: Toán
Năm học 2009 2010–
Câu 1 (2 điểm)
Cho biờ̉u thức P = x 2x 1 2 xx 2 ( x 22 5 x)( x 2)
a)Tìm điờ̀u kiợ̀n của x đờ̉ biờ̉u thức P có giá trị xác định rụ̀i rút gọn biờ̉u thức P b)Tìm x đờ̉ P = 2
a)( 1,5 điểm) :
P có giá trị xác định ⇔ ≥x 0 và x 4≠ . 0,25đ
Ta có P = ( )( )
= x 3 x 2 2x 4 x 2 5 x( x 2)( x 2) ( x 23x 6 x)( x 2)
= ( )
x 2
−
= +
− + ( với x 0≥ và x 4≠ ) 0,25đ
b) ( 0,5 điểm)
Với x 0≥ và x 4≠ , ta có P = 2 3 x 2
x 2
⇔3 x 2 x 4= + ⇔ x 4= ⇔ =x 16( thỏa mãn )
Câu 2 (2 điểm): Tính :
a) A = ( )( ) ( )2
2− 2 −5 2 + 3 2 5−
b) B = A = 6 2 5+ + 6 2 5−
a) (1 điểm):
( ) ( ) ( )2
2 2 5 2 3 2 5
10 2 10 18 30 2 25
40 2 53
= − +
A
0.5 đ 0.5 đ b)(1 điểm):
Trang 3B = 6 2 5+ + 6 2 5−
= ( ) (2 )2
5 1+ + 5 1−
= 5 1+ + 5 1 2 5− =
0, 5đ
0, 5đ
Câu 3 (2 điểm) : Giải các phơng trình sau đây :
a) x2 − 4016x+ 2008 2 = 2
+ + + − + + = +
a) (1 điểm) :
( )2
2008 2 2008 2
+ Nếu x− 2008 = − ⇒ = 2 x 2006
+ Nếu x− 2008 2 = ⇒ =x 2010 Vậy x= 2006 & x= 2010 là nghiệm PT
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b)(1 điểm) :
( )
2
+ + + − + + = +
Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x≠ 0
⇔ + ữ + + ữ + ữ − + ữ= +
( ) ( )
2
2 2
⇔ = = − và x≠ 0
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x= − 8
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
Trang 4Câu 4 (3 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng
c) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
0.25 đ
a) + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc àC chung
CE =CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ
b)Từ phần a suy ra : ãADC BEC= ã ,
Mà theo giả thiết ∆AHD vuông cân tại H nênãADH = 45 0 Suy ra
ãADC BEC= ã = 135 0
Từ các điều trên suy ra ∆ABE vuông cân tại A ⇒BE = AB 2
BC = ìBC = ìAC (do ∆BEC: ∆ADC)
mà AD AH= 2 (Tam giác AHD vuông vân tại H)
BC = ìAC = ì AC = AB = BE (do ∆ABH : ∆CBA)
Do đó ∆BHM : ∆BEC (c.g.c)
0.25 đ 0.5 đ
0.25 đ 0.25 đ
c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC
Suy ra: GB AB
0.25 đ 0.25 đ
Do đó:
=
0.25 đ 0.25 đ
Trang 5Câu 5 (1 điểm) : Cho a,b,c,d là các số dơng có tích abcd = 1 Chứng minh rằng :
a + + + b c d + ab cd + ≥
+ áp dụng bất đẳng thức : m2+n2 ≥2mn ta đợc :
a2 + + +b2 c2 d2 +ab cd+ ≥ 2ab+ 2cd ab cd+ + = 3(ab cd+ ) (1)
+ Lại có abcd 1 cd 1
ab
= ⇒ = nên ab cd ab 1 2
ab
+ = + ≥ (2) + Từ (1) & (2) suy ra a2 + + +b2 c2 d2+ab cd+ ≥6
+ Dấu “=” xảy ra khi ;
1
a b c d
a b c d
ab abcd
= =
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
Hết.