b Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình phơng của tổng hai chữ số của nó.. Gọi AE và BF là hai đờng cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI cấp tỉnh LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010
Mụn Toỏn
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Đề thi cú 01 trang
Câu 1 (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên lẻ thì A=n3 + 1 không thể là số chính phơng b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình phơng của tổng hai chữ số của nó
Câu 2 (5 điểm)
a) Giải phơng trình
2008 2010
b) Giải hệ phơng trình
2 2 2
2 2 2
= −
= −
= −
Câu 3 (3 điểm)
Cho ba số x, y, z thoả mãn: xy 1 yz 1 zx 1
+ = + = +
Chứng minh rằng: x = y = z hoặc xyz = 1
Câu 4 (6 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động trên cung lớn AB Gọi AE và BF là hai đờng cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H Đờng tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB lần lợt tại P và Q Chứng minh rằng khi C thay đổi
a) CH có giá trị không đổi
b) CO ⊥ EF
c) Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện: a2+b2 + b2+ +c2 c2+a2 =2010 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P a2 b2 c2
b c c a a b
Họ và tờn thớ sinh SBD
Chỳ ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
đề dự bị
Trang 2NĂM HỌC 2009-2010
MễN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi đề dự bị có 4 trang)
I Một số chỳ ý khi chấm bài
• Hướng dẫn chấm thi dưới đõy dựa vào lời giải sơ lược của một cỏch, khi chấm thi giỏm khảo cần bỏm sỏt yờu cầu trỡnh bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic
• Thớ sinh làm bài cỏch khỏc với Hướng dẫn chấm mà đỳng thỡ tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm
• Điểm bài thi là tổng cỏc điểm thành phần khụng làm trũn số.
II Đáp án và biểu điểm Câu 1 (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên lẻ thì A=n3 + 1 không thể là số chính phơng b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình
ph-ơng của tổng hai chữ số của nó
Ta có A n= + = − + = −3 1 n3 1 2 (n 1) (n+1) (n2+1) 0,5 điểm
Thay n=2k+1 (k∈N) ta có
Ta thấy A chia cho 4 d 2 ,mà không số chính phơng chia cho 4 d 2
Gọi số phải tìm có dạng ab (( ,a b N∈ ;0< <a 10;0< <b 10) 0,5 điểm
10a b ab+ + = +(a b) ⇔b +b a( − =1) a(10−a) 0,5 điểm
Ta có
2 10
2
a − ≤a + − =
0,5 điểm
Câu 2 (5 điểm)
a) Giải phơng trình
2008 2010
b) Giải hệ phơng trình
2 2 2
2 2 2
= −
= −
= −
Trang 3a) Ta thấy x1=2009; x2=2010 là 2 nghiệm của phơng trình 0,5 điểm
x− > x− > nên VT > 1, PT (*) vô
x− > x− > nên VT > 1, PT (*) vô nghiệm 0,5 điểm Xét 2009 < x< 2010 thì 0< −x 2009 1;0< < −x 2010 1< 0,5 điểm
x− < −x = −x ; 2008
x− < −x = −x
VT < 1, PT (*) vô nghiệm
Vậy PT(*) có 2 nghiệm x1=2009;x2=2010
0,5 điểm
b)
2
= − ⇔ − = −
= − − = −
0,5 điểm
− = − ⇔ ⇔
0,5 điểm
1
= = =
= = =
Hệ có hai nghiệm (x; y; z)=(0; 0; 0);(1; 1; 1)
1,0 điểm
Câu 3 (3 điểm)
Cho ba số x, y, z thoả mãn: xy 1 yz 1 zx 1
+ = + = + Chứng minh rằng: x = y = z hoặc xyz = 1
Điều kiện x; y; z dơng
⇔
(1)
(2)
(3)
yz
xy
xz
− =
− =
− =
Nếu x; y; z đôi một khác nhau, nhân vế với vế của (1); (2); (3) ta có xyz = 1
Câu 4 (4 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động trên cung lớn
AB Gọi AE và BF là hai đờng cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H Đờng tròn tâm
H bán kính HC cắt CA, CB lần lợt tại P và Q Chứng minh rằng khi C thay đổi
Trang 4b) CO ⊥ EF
c) Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định
x
I
D
K
Q
P
H F
E
O
C
a) Kẻ đường kính BD ta cú CH ⊥ AB;DA⊥ AB ⇒AD//HC (1)
Mặt khácDC⊥CB HA CB; ⊥ ⇒DC/ /HA(2)
Gọi K là trung điểm AB xột tam giỏc ADB cú OK là đường trung bỡnh nờn
Qua C kẻ tiếp tuyến Cx với (O) ta cú ∠xCA=∠CBA
Mà tứ giỏc AFEB nội tiếp nờn ∠CFE= ∠CBA nờn ∠xCA= ∠CFE 1,0 điểm
suy ra Cx//EF
c) Gọi đường thẳng kẻ từ H vuụng gúc PQ cắt OK tại I
Vậy EF // PQ, mà HI ⊥PQ//EF⇒ HI//OC
Mặt khác CH//OI nờn tứ giỏc OCHI là hỡnh bỡnh hành suy ra OI = CH (khụng
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 2
2010
a +b + b + +c c +a = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
Trang 5P a2 b2 c2
b c c a a b
Đặt x= b2 +c2;y= c2 +a2;z= b2 +a2 ⇒x+ y+z =2010 0,5 điểm
Ta cã x2 = +b2 c2 , y2 = +c2 a2, z2 =a2+b2 nªn
Mặt khác 2(a2 +b2)≥(a+b)2 ⇒ 2z≥a+b;
Tương tự 2y≥a+c; 2x≥b+c;(2)
0,5 điểm
Từ (1) & (2) ta có
2
2
1
2
2
1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ +
−
+ + +
+
=
+ − + + − + + −
≥
z y x z
y x z y x
z
z x y y
y z x x
x z y
P
Ta có 3(x2 + y2 +z2)≥(x+ y+z)2nªn tõ (3) suy ra
0,5 điểm
x y z
x y z
≥ + + + + + + ÷− ≥ − ÷=
Giá trị nhỏ nhất của
2
2 1005
=
P khi x = y = z suy ra a = b = c =
3
2
Hết
5
Trang 66