Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Quảng Ninh Bảng B

Bài 1: a) Chứng minh rằng: b) Cho tam giác ABC có: . Hãy tính các góc của tam giác. Bài 2: Cho dãy số thực: với là hằng số cho trước. a) Chứng minh rằng: với b) Chứng minh minh dãy số trên có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của dãy. Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy M tùy ý. Gọi B’ và D’ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A tới MB và MD. Đặt AM = m. a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AB’D’) theo a, m b) Gọi O’ là điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng AB. Chứng minh rằng khi điểm M di động tên Ax, đường thẳng O’B luôn tiếp xúc mặt cầu đường kính AC. Bài 4: Xét số thực thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Hết SỞ GDĐT QUẢNG NINH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 20032004 Số BD: ………. Chữ ký GT số 1: ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN, BẢNG B Ngày thi: 3032004 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Chứng minh rằng: b) Giải hệ phương trình: Bài 2: Dãy số được cho như sau: với Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cố định, cho nửa đường tròn đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy một điểm C tùy ý (C khác A và B). Kẻ Ch vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi I là trung điểm của CH. Trên một nửa đường thẳng It vuông góc với mặt phẳng (P) tại I lấy điểm S sao cho AS vuông góc với SB. a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) với mặt phẳng (P). b) Chứng minh rằng khi điểm C chạy trên nửa đường tròn đã cho thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 4: Chứng minh rằng: với mọi . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hết SỞ GDĐT QUẢNG NINH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 20042005 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Số BD Chữ ký GT số 1: MÔN: TOÁN, BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Chứng minh rằng với mọi số phương trình: luôn có nghiệm. b) Giải hệ phương trình: Bài 2: Cho dãy số xác định như sau: với . Chứng minh dãy số trên có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của dãy số đó. Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C. Từ A dựng nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P). Trên Ax lấy một điểm S (S khác A). Gọi D và E tương ứng là hình chiếu của A lên SC và SB. Cho S chạy trên Ax. Chứng minh rằng: a) Tồn tại một điểm cố định cách đều A, B, C, D, E. b) Đường thẳng nối D, E luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4: Cho các số thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M

Trang 1

SỞ GD-ĐT QUẢNG NINH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

- @ - LỚP 11 NĂM HỌC 2002-2003

-ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN, BẢNG B

Thời gian làm bài: 180 phút

(không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 29/3/2003

Bài 1:

a) Chứng minh rằng: 2sinosin 2o4sin 4o6sin 6o  178sin178o108sin108o 90cot 1g o

b) Cho tam giác ABC có: sin sin cosC 3

a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AB’D’) theo a, m

b) Gọi O’ là điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng AB Chứng minh rằng khi điểm M diđộng tên Ax, đường thẳng O’B luôn tiếp xúc mặt cầu đường kính AC

Trang 2

- LỚP 11 NĂM HỌC 2003-2004

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN, BẢNG B Ngày thi: 30/3/2004 Thời gian làm bài: 180 phút

(không kể thời gian giao đề)

Bài 1:

a) Chứng minh rằng: 8sin 183 o 8sin 182 o 1

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) với mặt phẳng (P)

b) Chứng minh rằng khi điểm C chạy trên nửa đường tròn đã cho thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứdiện SABI chạy trên một đường thẳng cố định

Trang 3

- @ - LỚP 11 NĂM HỌC 2004-2005

-ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Bài 1:

a) Chứng minh rằng với mọi số , ,a b c phương trình: x3+ax2   luôn có nghiệm.bx c 0

b) Giải hệ phương trình: 2sin sin

a) Tồn tại một điểm cố định cách đều A, B, C, D, E

b) Đường thẳng nối D, E luôn đi qua một điểm cố định

Trang 4

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

- -ĐÈ THI CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN (BẢNG A) Ngày thi: 15/12/2004 Thời gian làm bài: 180 phút



 với  n N n, 1 b) Lập dãy số  y như sau: n 1 1; n 1 2

y x y  x x x với  n N n, 2 Tìm giới hạn của dãy số  y khi n � � n

Bài 3:

Cho tứ diện ABCD có AB a  , CD b  , các cạnh còn lại đều bằng c Gọi E, F lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB, CD Hãy tìm hệ thức liên hệ giưa , ,a b c để mặt cầu đường kính EF tiếp xúc

với các cạnh của tứ diện ABCD

Bài 4:

Cho đa thức P x( )  x3 x2 4x1

a) Chứng minh rằng ( )P x có ba nghiệm thực phân biệt.

b) Gọi x x x là các nghiệm của ( )1, ,2 3 P x

Trang 5

MÔN: TOÁN (BẢNG B) Ngày thi: 15/12/2004 Thời gian làm bài: 180 phút

��

Bài 3:

Cho tứ diện ABCD có AB a , CDb , các cạnh còn lại đều bằng c Gọi E, F lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB, CD

a) Chứng minh EF là đường vuông góc chung của AB và CD Tính độ dài EF theo , ,a b c

b) Giả sử a b 2c Chứng minh rằng mặt cầu đường kính EF tiếp xúc với tất cả các cạnh của

Trang 6

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

n

u u

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BC, AB vuông góc với BD, tam giác BCD không phải

là tam giác cân và có ba góc nhọn Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên AC và AD Tiếp tuyếnvới đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại B cắt DC tại K Chứng minh rằng: K, E, F thẳng hàng

Trang 7

cos

2005 1 5 20052) lim

1) Cho f x( )   với x3 3x 1 x R� Hãy tính số nghiệm của phương trình: f f x ( )  0

2) Tìm m để phương trình: x33x  2 m x(  có bốn nghiệm thực phân biệt.2)

Bài 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC, �BAD60o,SA=2BD, SA (ABCD) Kẻ AH  SB, AK  SD (H, K là chân đường vuông góc) Hãy tính gócgiữa hai mặt phẳng (AHK) và (ABCD)

Hết

-Số BDChữ ký GT số 1:

Trang 8

Trang 9

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2006-2007

(không kể thời gian giao đề)(Đề thi này có 01 trang)

Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = a ; DA = DB = DC Gọi M, N, K theo thứ tự là trung

điểm các cạnh DB, DC, BC Cho biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (DBC)

Hết

-Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:………

Chữ ký giám thị 1 Chữ lý giám thị 2

Trang 10

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

(không kể thời gian giao đề)(Đề thi này có 01 trang)

Bài 1:

Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số 2

1

x y x

1 Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên cạnh AD (M khác A) thì đường thẳng MH luôn

đi qua một điểm cố định

2 Giả sử AB < AD và AA’ = AB Tìm vị trí điểm M trên cạnh AD để H là trực tâm của tam giácA’MB

Trang 11

(Đề thi này có 01 trang)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O ,xy cho đường thẳng ( ) d có phương trình:

cosx sin2cos  1 0

Chứng minh rằng khi  thay đổi đường thẳng ( )d luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Bài 4:

Cho tứ diện đều ABCD Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của đoạn thẳng

HD Điểm M di động trên cạnh AB vad điểm N di động trên cạnh AC sao cho mặt phẳng (DMN)luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC)

1 Chứng minh rằng mặt phẳng (DMN) luôn đi qua điểm H

2 Chứng minh rằng IA, IB, IC đôi một vuông góc với nhau

Trang 12

-ĐÈ THI CHÍNH THỨC

(không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 01 trang)

2) Chứng minh rằng: f(2008)( )x  f(2009)( )x với mọi x24

(Trong đó f(n)( )x là đạo hàm cấp thứ n của hàm số ( ) f x )

Bài 3: Trong không gian cho tam giác vuông ABC cố định tại A; ABa 3; AC 3a Điểm S diđộng trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (ABC); (S �A) Các điểm M; N lần lượt thuộccạnh AB và AC sao cho AM 1AB

2

6

 ; P là hình chiếu vuông góc của M trên SC

1) Chứng minh rằng tam giác AMN là một tam giác vuông

2) Chứng minh rằng: Khi S di động trên d, thì 2 mặt phẳng (MNP) và (SBC) luôn vuông góc vớinhau và tích SC.CP không đổi

3) Với vị trí S thỏa mãn SA3a, gọi Q là giao điểm của SB với (MNP) Tính thể tích của khối

đa diện SAMNPQ theo a

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số thực x thỏa mãn 0

Trang 13

Bài 1: (4 điểm)

Chứng minh rằng: tan tan(60x ox).tan(60o x) tan 3x Áp dụng tính:

A tan 4 tan16 tan 24 tan 36 tan 44 tan 54 tan 56 tan 64 tan 76 tan84 o o o o o o o o o o

Bài 4: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD, M là một điểm tùy ý trong không gian nằm ngoài khối tứ diện.

a) Chứng minh rằng: Nếu tứ diện ABCD là đều thì tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứdiện không phụ thuộc vào vị trí điểm M

b) Tìm vị trí điểm M để tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện là lỡn nhất, nhỏ nhất

Bài 5: (3 điểm) Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b c  1 Chứng minh rằng:

a b 2c�4(1a)(1b)(1c)

Bài 6: (2 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm M nằm trên đường tròn và không trùng với

các đỉnh của ΔABC Các điểm E và F lần lượt đối xứng với M qua các đường thẳng AB và AC.Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên trên đường tròntâm O và không trùng với các đỉnh của ΔABC

- Hết -

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:………

Họ và tên, chữ

ký giám thị số 1:

………

Trang 14

1 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với H là tâm của đáy, I là trung điểm của đoạn SH Biết

khoảng cách từ đến mặt phẳng (SBC) bằng a và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) góc 

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E): 2 2 1

x  y  Giả sử đường thẳng Δ: y m cắt

đường elip (E) tại hai điểm M và N Xác định m để OM ON

Bài 4 (2 điểm) Kí hiệu C là tổ hợp chập k của n phần tử, tính tổng: n k

Trang 15

1 Tam giác ABC là tam giác vuông

2 Điểm S luôn cách O một khoảng không đổi

Bài 4 (3 điểm):

Kí hiệu C là tổ hợp chập k của n phần tử (0 n k � � , tính tổng sau:k n)

SC20100 2C20101 3C20102   2010C20102009 2011C20102010

Bài 5 (3 điểm):

Các số thực dương ,x y thỏa mãn điều kiện: x y  1 3xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M 3 3 12 12

Trang 16

Chứng minh: cotxtanx2cot 2x Áp dụng tính giá trị của biểu thức sau:

A= tan31 8 tan 4 tan 2 tan tan

Trang 17

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN

Ngày thi: 15/11/2010 Thời gian làm bài: 180 phút

b) Chứng minh dãy  x cũng có giới hạn hữu hạn n

16 sin sin sin sin  1 1 1 1 18

sin sin sin sin

Trang 18

Bài 1 (5 điểm):

1) Tìm trên đồ thị (C) của hàm số 1

2

x y

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa , yx để hai mặt phẳng (ACM) và (ACN) vuông góc với nhau

b) Chứng minh rằng khi , yx thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện nêu ở phần a), đoạn vuônggóc chung của AC và MN có độ dài không đổi

Trang 19

Bài 1 (4 điểm):

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y x m  cắt đồ thị của hàm số 2 1

1

x y x





 tại haiđiểm A và B sao cho AB 2 2

Bài 2 (3 điểm):

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Các điểm M và N lần lượt thuộc các cạnh AD và CD

của hình vuông sao cho sao cho �MBN 45  o Đặt AM x  , CN y và diện tích tam giác MBN là S.Chứng minh rằng: S12a x y  

………

Trang 20

QUẢNG NINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

Bài 1 (6 điểm):

1 Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị (C), gọi I là giao của hai tiệm cận Viết phương trình tiếp tuyếnvới đồ thị (C) biết tiếp tuyến ấy cắt hai đường tiệm cận của đồ thị tại hai điểm A và B sao cho bánkính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất

2 Tính giới hạn sau:  2  7

0

2012 1 2 2012lim

………

Trang 21

Cho tam giác ABC có �C,�B với    , trung tuyến AM Gọi  là góc nhọn tạo bởi AM

và cạnh BC, chứng minh rằng: 2cotcot cot 

Bài 3 (4 điểm):

Giải bất phương trình: x2 x 6 x 2 18

Bài 4 (6 điểm):

Cho tam giác đều ABC cạnh a , đường thẳng (d) qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) Trên

(d) lấy điểm M Gọi I là trực tâm tam giác MBC, H là trực tâm tam giác ABC, giao điểm của haiđường thẳng HI với (d) là N

1 Chứng minh rằng khi tứ diện MNBC có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau

2 Chứng minh rằng khi M di chuyển trên (d) thì tích AM.AN không đổi

………

Trang 22

Bài 1 (4 điểm):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2

1

x y x





 , biết tiếp tuyến đó cắt các đường tiệmcận của đồ thị hàm số lần lượt tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất (I là giao hai tiệmcận của đồ thị nói trên)

Bài 2 (3 điểm): Giải phương trình sau:

Cho tam giác ABC với BC a  , AC b  , AB c và các góc trong tam giác là A, B, C

a) Chứng minh rằng b2 a2 khi và chỉ khi B = 2A.ac

b) Tìm tam giác ABC có B = 2A và ba cạnh có số đo là ba số nguyên liên tiếp

Bài 6 (2 điểm):

Cho ba số thực , ,a b c thỏa mãn điều kiện a22b24c2  và 0 a b c12 � � � Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức: Pab2 4bc2ca2abc b 2 3b

Hết

………

Trang 23

Bài 1 (3 điểm): Cho hàm số 2 3

1

x y x

Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A, �ABC= Tính tỉ số R r theo  (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó) Xác định  để tỉ số đó đạt giá

trị nhỏ nhất

Bài 5 (5 điểm): Cho hình vuông ABCB cạnh a , tâm H Các nửa đường thẳng Bm, Dn vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng (ABCD) Lấy M thuộc Bm và N

thuộc Dn Đặt BM x  , DN y , K là trung điểm của MN

1 Tính thể tích tứ diện ACMN theo , ,a x y

2 Tìm hệ thức liên hệ giữa ,x y để các mp (ACM) và (ACN) vuông góc với nhau, khi đó hãy

xác định vị trí điểm M và N sao cho độ dài HK ngắn nhất

Bài 6 (3 điểm): Cho các số thưc , ,a b c thỏa mãn a b c  3và 0 a b c� � �

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P abc a b c 1

- -Họ và tên, chữ

………

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	846,5 KB