Từ đó suy ra vị trí tương đối của d và S... Viết pt mặt cầu đường kính MN.
Trang 1Ôn tập mặt phẳng − đường thẳng − mặt cầu (1)
1 Cho A(2;−4;3) , B(5;1;1) ; C(2;0;−4)
a) Lập pt mặt phẳng (ABC)
b) Lập pt mặt cầu đường kính BC
c) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với BC
Giải : a) ABuuur=(3;5;−2) ; ACuuur=(0;4;−7)
ABC
nr =[ABuuur,ACuuur]=(−27;21;12)
+ Phương trình mp(ABC) : −27(x−2) +21(y+4)+12(z−3) =0
<=> −27x +21y+12z+102 =0 <=> −9x +7y +4z +34 =0
b) Gọi I là trung điểm BC => I(7/2;1/2 ; −3/2)
(5 ) (1 ) (1 )
2
+ Phương trình mặt cầu : (x−72)2 +(y−12 )2 +(z+3
2)2 = 35
4
c) + BCuuur=(−3;−1;−5)
+ Phương trình mpα qua A nhận BCuuur làm VTPT có pt :
−3(x−5)−1(y−1)−5(z−1) =0 <=> −3x−y−5z +21 =0
2 Cho mp(α): 3x −y −z +7=0 và M(5;−4;3)
a) Lập phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mp(α) b) Lập pt mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(α)
c) Lập pt mp β qua O; M và vuông góc với mp(α)
Giải : a) Vì (d) ⊥ mp(α) =>urd=nuurα =(3;−1;−1)
Đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(α) có pt:
x 5 3t
y 4 t
z 3 t
= +
= − −
= −
t ∈R b) Vì mặt cầu tâm M tiếp xúc vơi mp(α)
=> R= d(M;α) = 3.5 ( 4) 3 72 2 2
3 1 ( 1)
− − − +
11
Phương trình mặt cầu : (x−5)2 +(y+4)2+(z−3)2 =529
11
c) OMuuuur=(5;−4;3) ; nuurα =(3;−1;−1)
+Mặt phẳng β qua O, M và vuông góc với α
Trang 2=> nuurβ=[OMuuuur,nuurα ] =(7;14;7)
+ Phương trình mp(β) : 7(x−0)+14(y−0)+7(z−0) =0 <=> x+2y+z=0
3 Cho đường thẳng (d) :x 3 y 1 z 5
− = + = +
− − vàA(3;1;−2),B(5;4;1) a) Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trung điểm của AB và song song với (d)
b) Lập pt mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng (d)
c) Lập pt mặt phẳng (α) qua B và vuông góc với đường thẳng (d)
Giải : a) Gọi I là trung điểm AB => I(4;5/2;−1/2)
Vì ∆ // d => u∆
r
=uuurd =(2;−4;−3) + Phương trình ∆ : x 4 y 5/ 2 z 1/ 2
− = − = +
b)Vì mặt cầu tâm A , tiếp xúc với đường thẳng (d)
=> R= d(A;(d)) = 0 d
d
[AM , u ] u
uuuuur uur uur
Mà d qua M0(3;−1;−5) có VTCP uuurd =(2;−4;−3)
0
AM
uuuur
=(0;−2;−3) ; [AMuuuur0,uuurd ]= (−6;−6;4)
Suy ra : R= d(A;(d))=
( 6) ( 6) 4
2 ( 4) ( 3)
29
Phương trình mặt cầu : (x−3)2 +(y−1)2 +(z+2)2 = 8829
c) Vì mp(α) ⊥ đường thẳng (d) => nuurα =uuurd=(2;−4;−3)
+ Phương trình mp(α) qua B(5;4;1) nhận nuurα làm VTPT
2(x−5) −4(y−4)−3(z−1) =0 <=> 2x −4y −3z +9 =0
4 Cho (S) : x2 +y2 +z2 −4x+8y−6z −5=0 , A(4;2;−3)
a) Xác định tâm I và bán kính R
b) Lập phương trình đường thẳng AI
c) Cho (α): 4x −3y +z −1=0 Lập pt mặt phẳng β song song với α và β tiếp xúc mặt cầu (S)
Giải:a) Tâm I(2;−4;3) bán kính R= 22+ −( 4)2+ +32 5= 34
Trang 3b) Đường thẳng AI có VTCP AIuur=(−2;−6;6)
Đường thẳng AI :
x 4 2t
y 2 6t
z 3 6t
= −
= −
= − +
c) β // (α) => phương trình β: 4x−3y+z +D=0 ( D ≠ −1)
+ β tiếp xúc với mặt cầu (S) <=> d(I;β)= R
<=> 4.2 3( 4) 3 D2 2 2
4 ( 3) 1
− − + +
+ − + = 34<=> D 23+ = 884
<=> D 23 884
D 23 884
+ =
D 23 884
D 23 884
= − +
= − −
Vậy có hai pt mặt phẳng thỏa điều kiện đề bài :
• 4x−3y+z −23+ 884=0 ; • 4x−3y+z −23− 884=0
5 Cho (S) x2 +y2 +z2 +6x−8y−2z +1=0 và (d) x 1 y 2 z 1
+ = − = − a) Xác định tâm I và bán kính của mặt cầu (S)
b) Lập pt mp(α) vuông góc với (d) và tiếp xúc mặt cầu (S)
c) Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) Từ đó suy ra
vị trí tương đối của (d) và (S)
Giải :a) Tâm I(−3;4;1) , bán kính R= ( 3)− 2+ + −42 12 1=5
b) Vì mp(α) ⊥ (d) =>nuurα =urd=(3;4;5)
+ Phương trình mp(α) : 3x+4y +5z +D=0
+ α tiếp xúc với mặt cầu (S) <=> d(I;α)= R
<=> 3.( 3) 4.4 5 D2 2 2
3 4 5
+ + =5<=> D 12+ =5<=> D 12 25 2
D 12 25 2
+ =
+ = −
<=> D 12 25 2
D 12 25 2
= − +
= − −
Vậy có hai pt mặt phẳng thỏa điều kiện đề bài :
• 3x+4y+5z −12+25 2=0 ; •3x+4y+5z −12−25 2=0
c) Đường thẳng (d) qua M0(−1;2;1) ,urd=(3;4;5)
Trang 4+ IMuuuur0=(2;−2;0) ; [IMuuuur0,urd] = (−10;−10;14)
Khoảng cách d(I;(d)) = 0 d
d
[IM , u ] u
uuuur uur uur = ( 10)22 ( 10)2 22 142
3 4 5
50 <5
=> đường thẳng (d) cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt
6 Cho (d1) x 2 y 1 z 4
+ = + = −
+ = − = +
− a) Chứng tỏ (d1) và (d2) chéo nhau
b) Viết phương trình mp(α) chứa (d1) và song song với (d2)
c) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2) Viết pt mặt cầu đường kính MN
Giải :a) (d1) qua M1(−2;−1;4) và uuur1=(−2;3;2)
(d2) qua M2(−1;3;−5) và uuur2=(1;−2;3)
1 2
M M
uuuuuur
=(1;4;−9); [uuur1,uuur2]=(13;8;1)
[uuur1,uuur2].M Muuuuuur1 2=1.13+4.8−9.1 =36 ≠ 0
=> (d1) và (d2) chéo nhau
b) Mặt phẳng α chứa (d1) qua M1 có VTCP uuur1
Mặt phẳng α song song với (d2) có VTCP uuur2
=> nuurα =[uuur1,uuur2 ]=(13;8;1)
Phương trình mp(α) : 13(x+2)+8(y+1)+1(z−4) =0
<=> 13x+8y +z +30=0
c) Gọi MN là đoạn vuông góc chung
M ∈ (d1) => M(−2−2t1;−1+3t1;4+2t1)
N ∈ (d2) => N(−1+ t2;3−2t2;−5+3t2)
MN
uuuur
=(1+2t1+t2; 4−3t1−2t2 ; −9−2t1+3t2)
2
MN.u 0
MN.u 0
=
uuuur uur
uuuur uur <=> 1 2 1 2 1 2
2(1 2t t ) 3(4 3t 2t ) 2( 9 2t 3t ) 0 1(1 2t t ) 2(4 3t 2t ) 3( 9 2t 3t ) 0
<=> 1 2
17t 2t 8
2t 14t 34
2
t 10 /13
t 33/13
= −
=
Suy ra : M(−6/13; −43/13 ; 32/13) ; N(20/13; −27/13; 34/13)
Trang 5+ Gọi I là trung điểm của MN => I(7/13; −35/13; 33/13)
13 13 13 13 13 13
13
Phương trình đường tròn đường kính MN là :
(x−7/13)2 +(y+35/13)2 +(z−33/13)2 = 18
13