Chương 5. Logic mờ doc

Lotfi Zadel dã tr`ınh bày lý thuyê´t logic da tri.. Zadel dã vâ.n du.ng thuâ.t ng˜u.. Kosko gia’ thuyê´t r˘a`ng các nguyên lý cu’alogic mò.. Biêń ngôn ng˜u.. thuô.c cu’a

Trang 2

Logic m` o.

5.1 Mo ’ dˆ ` u a 167

5.2 C´ ac kh´ ai niˆ e.m co ba’n 169

5.3 Mˆ o .t sˆ o ´ ch´ u ´ y vˆ ` biˆ e e ´n ngˆ on ng˜ u 172

5.4 C´ ac ph´ ep to´ an trˆ en tˆ a.p m`o 176

5.5 C´ ac t´ınh chˆ a´t trˆ en tˆ a.p m`o 177

5.6 Quan hˆ e m`o 179

5.6.1 Các phép toán trên quan hê mò 180

5.6.2 Mô.t sô´ t´ınh châ´t trên quan hê mò 180

5.7 Logic m` o 180

5.7.1 Mo.’ dˆ` u 180a 5.7.2 Các phép kê´t nôí 181

5.7.3 Ph´ep tuyˆe’n (OR-disjunction) 183

5.7.4 Ph´ep k´eo theo (Implication [Zadeh 1973]) 183

5.8 Su . dô`ng nhâ´t dúng mò (Fuzzy Tautologies) 185

5.9 C´ ac ph´ ep to´an t − norm T v` a t − conorm S 185

5.10 Ph´ ep ho . p th`anh (Composition) 187

Trang 3

5.1 Mo ’ dˆ ` u a 167

5.11 Phu.o.ng tr`ınh quan hˆ e m`o 187

5.12 Lˆ a p luˆ a.n m` o (Fuzzy Reasoning) 189

5.12.1 Thuâ.t toán mò 190

5.12.2 Lâ.p luâ.n mò 192

5.12.3 Mô.t sô´ phép suy diêñ mò khác 192

5.13 C´ ac luˆ a.t ho .p thành cu’a suy diêñ 194

5.14 ´ U . ng du ng 198

5.15 B` ai tˆ a.p chu o.ng 5 199

T` ai liˆ e.u tham kha’o 203

5.1 Mo ’ dˆ ` u a Su. phát triê’n cu’a khoa ho.c và k˜y thuâ.t dã dem la.i n˘ang suâ´t lao dô.ng mó.i và su. phát triê’n cu’a nó dã dâñ dêń kha’ n˘ang “kéo dài” n˘ang lu. c tu duy, su suy luâ.n cu’a con ngu.ò.i Thê´ gió.i hiê.n thu c và tri thú.c khoa ho.c câ`n khám phá là vô ha.n và cu c k`. y phú.c ta.p nhu.ng ngôn ng˜u mà n˘ang lu c tu duy và tri thú.c cu’a con ngu.ò.i su.’ du.ng làm phu.o.ng tiê.n nhâ.n thú.c và biê’u diêñ chı’ là h˜u.u ha.n Và nh`ın chung con ngu.ò.i luôn o.’ trong bôí ca’nh thu c tê´ là không thê’ có thông tin dˆ` y du’ và a ch´ınh xác cho các hoa.t dô.ng dê’ du.a ra quyê´t di.nh cu’a m`ınh và c˜ung khó hy vo.ng du.a ra nh˜u.ng quyê´t di.nh dúng d˘ań và ch´ınh xác tuyê.t dôí, nhiê` u hay ´ıt dê` u hàm chú.a nh˜u.ng yêú tô´ có ba’n châ´t không dˆ` y du’, khâ ong ch˘ać ch˘ań T´ınh không ch˘ać ch˘ań có thê’ là dâú ˆ

ań dê’ di dêń nguyên lý cu’a Heisenberg, ngu.ò.i dã thiê´t lâ.p nên logic da tri vào n˘am 1920 Mô.t thò.i gian sau, vào n˘am 1930 nhà Toán ho.c Max Black dã vâ.n du.ng logic liên tu.c cho tâ.p ho p c´. ac phˆ` n tu.a ’ và ký hiê.u, và nó du.o c d˘a.t tên là t´ınh không ch˘ać ch˘ań Các bu.ó.c phát triê’n tiê´p theo cho phép

dâñ dêń khái niê.m bâ.c cu’a t´ınh không ch˘ać ch˘ań, trong dó giá tri dúng và sai du.o. c xem là cu. c tri cu’a phô’ liên tu.c vê` t´ınh không ch˘ać ch˘ań Vào n˘am

1965, trong buô’i thuyê´t tr`ınh Xê-mi-na cu’a m`ınh vó.i tiêu dˆ` “C´e ac tˆ a p m` o.”

Trang 4

Lotfi Zadel dã tr`ınh bày lý thuyê´t logic da tri là lý thuyê´t du.o c ông dùngthuâ.t ng˜u Lý thuyê´t tâ.p mò Zadel dã vâ.n du.ng thuâ.t ng˜u Logic mò và

thiê´t lâ.p nên nê` n ta’ng cu’a mô.t l˜ınh vu c m´. o.i trong khoa ho.c mà nó du.o ctiê´p tu.c phát triê’n cho dêń tâ.n ngày nay Dâ` u tiên nhiê` u ngu.ò.i dã phê phánlý thuyê´t cu’a Zadel, chı’ tr´ıch r˘a`ng logic mò không pha’i là cái g`ı khác mà làlý thuyê´t xác suâ´t trá h`ınh Zadeh dã phát triê’n lý thuyê´t cu’a m`ınh thành

L´ y thuyˆ e´t kha’ n˘ ang L´y thuyê´t này khác biê.t mô.t cách có ý ngh˜ıa so vó.i lýthuyê´t xác suâ´t D˘a.c biê.t ta.i Nhâ.t Ba’n, lý thuyê´t logic mò dã du.o c hu.o.’ng

´

u.ng mô.t cách nhanh chóng dêń tâ.n mo.i miê` n ú.ng du.ng, mà o’ d´. o nó mangla.i nh˜u.ng món lo i nhuâ.n kêćh sù Kosko gia’ thuyê´t r˘a`ng các nguyên lý cu’alogic mò g˘ań ch˘a.t nhiê` u ho.n vó.i khái niê.m logic cu’a ngu.ò.i phu.o.ng Dông sovó.i logic cu’a Aristote g˘ań ch˘a.t vó.i ngu.ò.i phu.o.ng Tây, và v`ı vâ.y dây ch´ınhlà lý do dê’ hiê’u r˘a`ng ta.i sao ngu.ò.i Nhâ.t tiê´p câ.n nhiê` u ho.n vê` logic mò

Lý thuyê´t logic mò thiê´t lâ.p nê` n ta’ng co ba’n cho viê.c biê’u diêñ tri thú.cvà phát triê’n t´ınh co ho.c chu’ yêú dê’ di dêń nh˜u.ng quyê´t di.nh trên các hành

dô.ng dang chiê´m gi˜u mà nó câ`n pha’i thu c hiê.n viê.c diêù khiê’n mô.t thiê´t

bi nào dó Tù sau n˘am 1970, Logic mò dã t`ım thâý nh˜u.ng ú.ng du.ng ló.nho.n trong các quá tr`ınh sa’n xuâ´t công nghiê.p, các hê thôńg diê` u khiê’n giaothông và du.ò.ng s˘a´t, và d˘a.c biê.t ngày nay trong các máy móc phu.c vu.cho gia d`ınh và cuô.c sôńg

Nh˜u.ng nhân tô´ co ba’n nhâ´t cu’a logic mò cˆ` n du.o.a c hiê’u là các k˜y thuâ.tdiˆ` u khiê’n mè o Ngày nay không chı’ các nu.ó.c phát triê’n mà ca’ các nu.ó.cdang phát triê’n c˜ung quan tâm nghiên cú.u và phát triê’n ú.ng du.ng cu’a l˜ınh

vu. c “khoa ho c m` o.” nhu Trung Quôć, Singapor, Brazil, Iran Diˆ` u nè aychú.ng minh thêm ý ngh˜ıa thu. c tiˆñ cu’a l˜ınh vu.e c “khoa ho c m` o.”

Trang 5

5.2 C´ ac kh´ ai niˆ e.m co ba’n 169

5.2 C´ ac kh´ ai niˆ e.m co ba’n

Di.nh ngh˜ıa 5.2.1 Gia’ su’ X l`. a mô.t tâ.p nê` n v`a A ⊂ X Khi d´ o h` am d˘ a c tru.ng χ A cu’a tâ.p ho p A du. o c di.nh ngh˜ıa nhu sau:

χ A (x) =

(

1, v´o.i x ∈ A

0, v´o.i x / ∈ A

H` ınh 1 H`am d˘a.c tru.ng cu’a tâ.p Boole cô’ diê’n

T´ınh m` o c´o thê’ du.a vào trong lý thuyê´t tâ.p ho p, nˆ. eú hàm d˘a.c tru.ng cu’anó du.o. c mo’ rˆ. o.ng trên tâ.p vô ha.n các giá tri n˘a`m gi˜u.a 0 và 1

Di.nh ngh˜ıa 5.2.2 Gia’ su’ X l`. a mô.t tâ.p nê` n Mô.t tâ.p ho p A. ∼ du.o. c go.i là

mˆo.t tâ.p mò cu’a tâ.p nê`n X, nêú tâ.p dó du.o c d˘a.c tru.ng bo.’i hàm thuô.c µ A

∼

(x)

là ánh xa cu’a tâ.p nê` n X v` ao doa.n [0, 1] (ngh˜ıa là µ A

∼(x) l`a dˆo thuˆo.c cu’aphˆ` n tu.a ’ x sao cho x ∈ A

Trang 6

Chú ý r˘a`ng hai ký hiê.u P

và Rdu.o. c dùng trong tâ.p mò là không liênquan g`ı dêń tô’ng và t´ınh t´ıch phân o.’ dây

Th´ ı du 5.2.1 Cho tˆa.p nê` n X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Mô.t tâ.p mò A

∼ du.o. c x´acdi.nh nhu sau:

∼ là 0.3, cu’a 2 là 0.8, cu’a 3 là0.65, cu’a 5 là 0.72, còn các phˆ` n tu.a ’ 4 và 6 có dô thuô.c là 0

Di.nh ngh˜ıa 5.2.3 Mô.t biêń mò là mô.t biêń mà giá tri cu’a nó du.o c xét

dêń là các nhãn (label) cu’a tâ.p mò

Th´ ı du 5.2.2 “Nhiˆ e.t dô.” có thê’ xem là mô.t biêń mò mà nó có kha’ n˘angnhâ.n các giá tri ngôn ng˜u nhu “Thâ´p”, “Trung b`ınh”, “B`ınh thu.ò.ng”, “Cao”,

v`a “Rˆ a´t cao”

Nói chung bâ´t k`y biêń mò nào c˜ung có thê’ du.o. c biê’u diˆñ b˘a`ng thuâ.teng˜u cu’a các câu, và các câu này là tô’ ho. p cu’a các biêń mò., các diêñ ta’ ngônng˜u và các tù nhâń (hedges) ch˘a’ng ha.n các giá tri cu’a biêń mò “Nhiê.t dô.”

có thê’ du.o. c mô ta’ nhu sau:

“Cao”, “Khˆ ong cao”, “Qu´ a cao”, “Khˆ ong rˆ a´t - Cao”, “Cu c cao”, “To` an cao”, trong d´o nhãn l`a “Cao”, phu’ di.nh là không (NOT), và tù nhâń là

“cu c”, “qu´ a”, “to` an”,

H`ınh 2 du.ó.i dây cho ta h`ınh dung bú.c tranh vˆ` “Nhiˆe e.t dô.”:

Trang 7

5.2 C´ ac kh´ ai niˆ e.m co ba’n 171

H`ınh 2 Biˆeń ngôn ng˜u “Nhiê.t dô.” và mô.t sô´ giá tri cu’a nó

Su. phu thuô.c cu’a mô.t biêń ngôn ng˜u vào mô.t biêń khác du.o c diêñ ta’thông qua mˆo.t câu lê.nh mò có diê ` u kiˆ e.n du.ó.i da.ng sau dây:

R : IF S1 THEN S2

ho˘a.c b˘a`ng k´y hiˆe.u:

S1 → S2 (hay c`on go.i luˆa.t m`o )

trong d´o S1 v`a S2 là các câu lê.nh mò có diê` u kiê.n du.o c cho du.ó.i da.ng co.ba’n sau dây:

S : x l`a A

∼

Th´ ı du 5.2.3 Ta n´oi “Ho` ang c´ o tuˆ o’i trung niˆ en” Ta cho.n x là biêń ngôn

ng˜u “Tuˆ o’i”, tˆa.p nê` n là thò.i gian sˆońg: X = [0, 130] (tuˆ o’i) A

∼ là tâ.p mò.

“Trung niˆ en” tu.o.ng ´u.ng v´o.i h`am thuˆo.c µ A

∼ : X → [0, 1].

Khi dó có su. kiˆe.n “có thê’ tuô’i cu’a Hoàng là 40” d˜ı nhiên không ch˘ać

ch˘ań và khá ho. p lý, nêú diêñ da.t theo lý thuyê´t kha’ n˘ang cu’a Zadeh là:Kha’ n˘ang (Tuˆ o’i cu’a Ho` ang l` a 40)=Poss (x = 40) cho biˆe´t du.o. c dô thuô.ccu’a sô´ tuô’i 40 vào tâ.p mò A

∼(40)

Mê.nh dê` m`o “Ho` ang c´ o tuˆ o’i trung niˆ en” du.o. c diêñ da.t thành mê.nh dê` :

P ={ biˆ eń x nhˆa.n giá tri mò cu’a A

∼ trˆen nˆ` n X}={x l`e a A

∼

}

Th´ ı du 5.2.4 Ta cho.n biˆe´n ngˆon ng˜u

x=”g´ oc tay quay” trˆen tˆa.p nˆe` n

X=[0, 3600], và tâ.p mò.

A

∼ l`a “g´ oc l´ o.n” tu.o.ng ´u.ng v´o.i h`am thuˆo.c µ A

∼ : X → [0, 1].

Tu.o.ng tu. , biêń ngôn ng˜u y=“tˆ oć dˆ o xe” trˆen tâ.p nê` n Y = [0, 150]

(km/giò.), và tâ.p mò B

∼ l`a “xe di nhanh” tu.o.ng ´u.ng vó.i hàm thuô.c

µ B

∼ : Y → [0, 1].

Trang 8

Khi dó ta ký hiê.u mê.nh dê` :

S1 = “g´ oc tay quay l´ o.n” = {x l` a A

th`ı mê.nh dê` diê` u kiê.n mò có da.ng S1 → S2 du.o. c diêñ da.t nhu sau:

IF “g´ oc tay quay l´ o.n” THEN “xe di nhanh”.

5.3 Mˆ o.t sˆo´ ch´ u ´ y vˆ ` biˆ e e´n ngˆ on ng˜ u.

Nhu dã dùng o.’ dây, mô.t biêń ngôn ng˜u có thê’ nhâ.n các giá tri là các mê.nh

dˆ` cu’a ngê on ng˜u tu. nhiên (ho˘a.c ngôn ng˜u nhân ta.o)

Nói chung giá tri cu’a mô.t biêń ngôn ng˜u du.o c d˘a.c ta’ thông qua các thuâ.tng˜u sau:

• C´ac thuâ.t ng˜u so câ´p là các nhãn cu’a tâ.p mò., ch˘a’ng ha.n nhu “Cao”

, “Thˆ a´p” , “Nho’” , “Trung b`ınh” , “B˘ a `ng khˆ ong”.

• Phu’ di.nh NOT và các liên kê´t AND và OR.

• C´ac tù nhâń, ch˘a’ng ha.n nhu “râ´t” , “gâ ` n” , “hˆ ` u hˆ a e´t”.

• C´ac diˆe’m ghi ch´u (markers), ch˘a’ng ha.n nhu d´ong mo.’ ngo˘a.c ()

Trang 9

5.3 Mˆ o.t sô´ chú ý vê ` biêń ngˆ on ng˜ u. 173

H`ınh 3 Th´ı du vê` các hàm thuô.c du.o c dùng trong

diˆ` u khiˆe’n m`e o cu’a F.L Smidth

Các hàm so câ´p có thê’ ho˘a.c là hàm thuô.c liên tu.c, ho˘a.c là hàm thuô.c rò.ira.c Các hàm thuô.c liên tu.c thông thu.ò.ng du.o c xác di.nh bo.’i các hàm gia’it´ıch Công ty Dan Ma.ch cu’a F L Smitdth trong khi thiê´t kê´ bô diê` u khiê’ncho công nghiê.p sa’n suâ´t xi-m˘ang dã su’ du.ng hàm thuô.c phân bô´ Gauss có.da.ng sau dây:

O’ dây bô ba (α, β, γ) du.o c dùng dê’ xác di.nh tâ.p mò cu’a F.L.Smidth.

du. a trên ba’ng dã du.o. c thiê´t lâ.p sau dây (h`ınh 4)

Biêń ngôn ng˜u Viê´t t˘a´t α β γ

H` ınh 4 Ba’ng d˜u liˆe.u α, β, γ cu’a F L Smidth

B˘a`ng cách xác di.nh luân phiên hai hàm thuô.c d˘a.c chu’ng, ký hiê.u là S và

Π, du.o. c chı’ ra sau dˆay:

Trang 10

Hàm thú nhˆa´t S l`a mô.t hàm do.n diê.u và du.o c xác di.nh nhu sau (H5.)

Trang 11

5.3 Mˆ o.t sô´ chú ý vê ` biêń ngˆ on ng˜ u. 175

so cˆa´p (Small, Medium v` a Large), v`a các tâ.p mò tu.o.ng ú.ng du.o c xác di.nhcó su.’ du.ng 4 tham biêń: hai diê’m trong b và c, hai diê’m mép trái - pha’i avà d

H` ınh 7 H`am thuˆo.c h`ınh thang

Các tâ.p mò tu.o.ng ú.ng vó.i các biêń ngôn ng˜u (small, medium và large)

Trang 12

H`ınh 8 C´ac th´ı du vê` hàm thuô.c rò.i ra.c

Ch´ u ´ y: Ta c´o thê’ kiê’m tra mô.t sô´ hàm thuô.c trong MATLAB/Fuzzy box

Tool-5.4 C´ ac ph´ ep to´ an trˆ en tˆ a.p m`o .

1 Mô.t tâ.p mò A

∼ trˆen X du.o. c go.i l`a tˆ a p rˆ o ñg, nêú hàm thuô.c cu’a nó

b˘a`ng 0 ta.i mo.i no.i, t´u.c l`a:

A

∼ = φ, nˆ e´u µ A

∼(x) = 0 ∀x ∈ X.

2 Phˆ` n b`a u A

∼ cu’a mô.t tâ.p mò A

∼ du.o. c x´ac di.nh do.n gia’n:

Trang 13

5.5 C´ ac t´ınh chˆ a´t trˆ en tˆ a.p m`o . 177

d) Minh ho.a ch´u th´ıch 4 e) Minh ho.a ch´u th´ıch 4

5.5 C´ ac t´ınh chˆ a´t trˆ en tˆ a.p m`o .

1 Giao ho´an:

Trang 15

anh xa cu’a t´ıch Des Carte X × Y vào doa.n [0, 1], trong dó hàm thuô.c cu’a

quan hˆe k´y hiˆe.u µ R

∼(x, y), v`a du.o. c t´ınh b˘a`ng cˆong th´u.c:

Gia’i: Dˆe’ dê˜ dàng t´ınh toán, ta viê´t tâ.p mò A

∼ du.ó.i da.ng ma trâ.n cô.t nhu.

∼ là ma trâ.n cõ 3 × 2 sau dây du.o c t´ınh tu.o.ng tu

nhu nhˆan hai ma trˆa.n:

Trang 16

5.6.2 Mˆ o t sˆ o´ t´ınh chˆ a´t trˆ en quan hˆ e m` o.

Tu.o.ng tu. nhu trên tâ.p mò.: giao hoán, kê´t ho p, phân phôí hai bên, lu˜yd˘a’ng và dô`ng nhâ´t, các luâ.t De Morgan c˜ung dúng trên quan hê mò Ngoài

ra ta còn chú ý thêm:

R

∼ 6= E R

Trang 17

5.7 Logic m` o. 181

Vâń dˆ` ha.n chê´ cu’a logic mê.nh dêe ` cô’ diê’n là o.’ chô˜ “Logic hai giá tri.”,

và dã ta.o nên nhiê` u nghi.ch lý thú vi qua nhiê` u thò.i da.i, ch˘a’ng ha.n ngu.ò.itho. ca.o cu’a xú Seville là mô.t nghi.ch lý, và nó thu.ò.ng du.o c go.i là “Russell’

s barber”: o.’ mô.t thành phô´ nho’ cu’a Tây Ban Nha thuô.c xú Seville có tô`nta.i tù lâu dò.i mô.t luâ.t nhu sau: “Tâ´t ca’ và chı’ có nh˜u.ng ngu.ò.i dàn ông,

ho khˆ ong tu ca o rˆ au th`ı du.o c ca o rˆ au bo ’ i ˆ ong tho ca o Ho’i r˘ a `ng ai ca.o rˆau ˆ

ong tho ca o”.

Nghi.ch lý này du.o c chı’ ra nhò khái niê.m tâ.p ho p: gia’ su.’ S là mô.t mê.nh

dˆ` thê’ hiê.n ngu.ò.i tho ca.o tu ca.o râu, và S là mê.nh dêe ` thê’ hiê.n ngu.ò.i tho

ca.o không làm Khi dó v`ı S → S và S → S là hai mê.nh dê` logic tu.o.ng

du.o.ng: S ↔ S Do d´o hai mê.nh dê` nhâ.n cùng giá tri chân lý, ngh˜ıa là:

T (S) = T (S) = 1 − T (S), suy ra T (S) = 1

2

O’ dây ta ký hiê.u T(S) là giá tri chân lý cu’a mê.nh dê` S Vâ.y ta nh`ın thâý.

nghi.ch lý dâñ dêń giá tri mô.t nu’ a mˆ. o.t cách hoàn toàn Toán ho.c Trong logic

mê.nh dê` cô’ diê’n nh˜u.ng diˆ` u nhu vê a.y là không cho phép, mà chı’ có giá tri

T (S) = 1 ho˘ a.c T (S) = 0.

Mô.t mê.nh dê` logic m`o P

∼ là mô.t câu chı’ ra mô.t khái niê.m nào dó khôngrõ ràng du.o. c xác di.nh nhiê` u gi´o.i ha.n Giá tri chân lý cu’a P

∼ có thê’ là mô.tgiá tri nào dó trong doa.n [0, 1], tú.c là:

∼

Trang 18

Các phép kê´t nôí thông thu.ò.ng bao gˆo`m phu’ di.nh (NOT), hô.i (AND),

tuyˆ e’n (OR), v` a k´ eo theo (→, Implication).

5.7.2.1 Ph´ ep phu’ di.nh (NOT)

Phu’ di.nh (Negation) là mô.t trong nh˜u.ng phép toán logic co ba’n:

Trang 19

5.7 Logic m` o. 183

Ph´ ep tuyˆ e’n l`a mô.t trong nh˜u.ng phép toán co ba’n và du.o c xác di.nh nhu.sau:

Ph´ ep k´ eo theo l`a mô.t da.ng luâ.t (rule) du.o c xác di.nh nhu sau:

Trang 20

Th´ ı du 5.7.1 Dˆe’ dánh giá mô.t phát minh mó.i nh˘a`m xác di.nh kha’ n˘angthu.o.ng ma.i cu’a nó, ngu.ò.i ta dùng dô do là “The uniqueness” (t´ınh duy

nhâ´t) thông qua tâ.p nê` n X = {1, 2, 3, 4} v` a “The market size” (pha.m vi

thu.o.ng ma.i) thông qua tâ.p nê` n Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Trong ca’ hai tâ.p nê` nnh˜u.ng con sˆo´ hy vo.ng nhâ´t là “the hightest uniqueness” (t´ınh duy nhâ´t cao)

v`a “the largest market” (thi tru ò.ng rô.ng nhâ´t) Ngu.ò.i ta go.i A∼ là tâ.p mò.

“medium uniqueness” (t´ınh duy nhˆa´t trung b`ınh) v`a B

∼ là tâ.p mò “medium

market” (thi tru.`o.ng trung b`ınh)

Trong th´ı du này, ngu.ò.i ta muôń xác di.nh phép kéo theo IF A

∼ THEN B

∼

xa’y ra nhu thˆe´ n`ao

Gia’ su.’ tˆa.p m`o A

Tiêu đề	Chương 5. Logic mờ
Tác giả	Trần Thọ Chõu
Trường học	Đại học Quốc gia Hà Nội
Chuyên ngành	Logic Toản
Thể loại	Tài liệu giảng dạy
Năm xuất bản	2007
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	428,94 KB