Chương 1 - Đại số mệnh đề ppsx

Đại số mệnh đề Trần Thọ Châu Logic Toán.. Từ khoá: Logic toán, Đại số mệnh đề, Hàm đại số logic.. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học

Chương 1 Đại số mệnh đề

Trần Thọ Châu

Logic Toán NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007

Tr 7-38.

Từ khoá: Logic toán, Đại số mệnh đề, Hàm đại số logic.

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả

Chu.o.ng 1

Da.i sˆo´ mˆe.nh dˆe `

1.1 C´ ac ph´ ep to´ an v` a ba’ng chˆ an l´ y 8

1.1.1 Ph´ep phu’ di.nh (¬, not) 10

1.1.2 Ph´ep v`a (∧, and, hˆo i) 10

1.1.3 Ph´ep hay l`a (∨, or, tuyˆe’n) 10

1.1.4 Ph´ep k´eo theo (→) 11

1.1.5 Ph´ep tu.o.ng du.o.ng (↔ ↔ ↔) 12

1.2 Cˆ ong th´ u.c mˆ e.nh dˆe ` 12

1.3 Mˆ o.t sˆ o´ di.nh ngh˜ıa 16

1.3.1 H`am da.i sˆo´ logic 16

1.3.2 Su dˆo`ng nhˆa´t d´ung - dˆo`ng nhˆa´t sai 18

1.4 Mˆ o.t sˆo´ t´ınh chˆa´t 22

1.5 Da.ng chuˆa’n t˘a´c cu’a cˆong th´ u.c mˆ e.nh dˆe ` 23

1.5.1 Da.ng chuˆa’n t˘a´c tuyˆe’n v`a chuˆa’n t˘a´c hˆo.i 23

1.5.2 Da.ng chuˆa’n t˘a´c ho`an to`an 24

1.6 C´ ac hˆ e dˆa ` y du’ cu’a c´ ac ph´ ep to´ an 25

1.7 B` ai tˆ a.p chu o.ng 1 34

Thˆong thu.`o.ng ch´ung ta th`anh lˆa.p c´ac mˆe.nh dˆe` ph´u.c ho. p t`u c´ac mˆe.nh

dˆ` do.n gia’n Trong chu.o.ng n`e ay, ch´ung ta s˜e di sˆau nghiˆen c´u.u dˆ` y du’ ba’nachˆa´t cu’a da.i sˆo´ mˆe.nh dˆe` v`a tu duy suy diˆe˜n cu’a n´o mˆo.t c´ach ch˘a.t ch˜e, logicv`a mang t´ınh thu. c tiˆ˜n.e

1.1 C´ ac ph´ ep to´ an v` a ba’ng chˆ an l´ y

Ch´ung ta dˆ` u biˆe´t con ngu.`e o.i c´o kha’ n˘ang pha’n ´anh mˆo´i quan hˆe hiˆe.n thu c.gi˜u.a c´ac su. vˆa.t b˘a`ng nh˜u.ng mˆe.nh dˆe` C´ac mˆe.nh dˆe` d´o du.o c du.a ra du.´o.inhiˆ` u h`ınh th´e u.c kh´ac nhau, ch˘a’ng ha.n nhu mˆo.t l`o.i n´oi, mˆo.t cˆau v˘an, mˆo.t

cˆong th´u.c To´an, L´y, Ho´a, hay su. mˆo pho’ng cu’a mˆo.t b´u.c tranh v.v , nhu.ng

co ba’n trong d´o l`a c´ac mˆe.nh dˆe` n`ay c´o mang dˆ` y du’ ´a y ngh˜ıa nhˆa´t di.nh haykhˆong, ngh˜ıa l`a c´ac mˆe.nh dˆe` d´o c´o mang theo t´ınh chˆa´t hiˆe.n thu c du. ´o.i mˆo.th`ınh th´u.c nhˆa´t di.nh, ch´u khˆong pha’i l`a mˆo.t mˆe.nh dˆe` suˆong, vˆo ngh˜ıa, v`ac˜ung khˆong pha’i l`a nh˜u.ng l`o.i n´oi ch´u.a du. ng mˆo.t ´y ngh˜ı khˆong nghiˆem t´uc

Mˆo.t mˆe.nh dˆe` pha’n ´anh mˆo.t su viˆ. e.c n`ao d´o theo mˆo.t c´ach th´u.c nhˆa´t di.nhv`a su. viˆe.c d´o pha’n ´anh t´ınh chˆan thu c theo c´. ach trˆen th`ı du.o. c go.i l`a mˆo.t

mˆ e.nh dˆe ` d´ ung; Tr´ai la.i mˆe.nh dˆe` d´o du.o. c go.i l`a mˆo.t mˆe.nh dˆe ` sai.

Thu. c chˆa´t vˆa´n dˆ` ch´e ung ta quan tˆam d˘a.c biˆe.t trong To´an ho.c l`a o’ chˆ. o˜:

“Mˆ o ˜i mˆo.t mˆe.nh dˆe ` ho˘ a c l` a d´ ung ho˘ a c l` a sai, v` a khˆ ong c´ o mˆ o t mˆ e.nh dˆe ` n` ao v` u.a d´ ung la i v` u.a sai” Dˆay ch´ınh l`a nˆo.i dung cu’a di.nh l´y 2 - gi´a tri

Bo.’ i vˆa.y, l´o.p tˆa´t ca’ c´ac mˆe.nh dˆe` du.o c chia th`anh hai l´o.p con: mˆo.t l´o.p

gˆo`m tˆa´t ca’ c´ac mˆe.nh dˆe` d´ung v`a mˆo.t l´o.p gˆo`m tˆa´t ca’ c´ac mˆe.nh dˆe` sai Mˆo˜i

mˆe.nh dˆe` thuˆo.c mˆo.t trong c´ac l´o.p d´o s˜e nhˆa.n mˆo.t gi´a tri chˆan l´y d´ung (True,

viˆe´t t˘a´t l`a T) ho˘a.c sai (False, viˆe´t t˘a´t l`a F).

Ta k´y hiˆe.u c´ac mˆe.nh dˆe` b˘a`ng c´ac ch˜u c´ai hoa A, B, C, c`on c´ac biˆe´n

mˆe.nh dˆe` b˘a`ng c´ac ch˜u c´ai A, B, C, v`a ch´ung c´o kha’ n˘ang nhˆa.n c´ac gi´a tri.

chˆ an l´ y {T, F } ho˘ a.c {1, 0}.

Th´ ı du 1.1.1

1.1 C´ ac ph´ ep to´ an v` a ba’ng chˆ an l´ y 9

1 “Trˆen m˘a.t tr˘ang khˆong c´o ngu.`o.i” (T)

2 “35 chia hˆe´t cho 6” (F)

3 “B´ac Hˆo` sinh ng`ay 19 th´ang 5 n˘am 1890” (T)

Ch´u ´y r˘a`ng trong di.nh l´y 2 - gi´a tri., ngu.`o.i ta chı’ ph´at biˆe’u r˘a`ng: mˆo˜i

mˆo.t mˆe.nh dˆe` ho˘a.c l`a d´ung, ho˘a.c l`a sai, nhu.ng khˆong kh˘a’ng di.nh du.o c r˘a`ng

mˆo˜i mˆo.t mˆe.nh dˆe` ta c´o thˆe’ quyˆe´t di.nh du.o c liˆe.u n´o d´ung hay khˆong, ch˘a’ngha.n di.nh l´y cuˆo´i c`ung cu’a Fermat [1], gia’ thuyˆe´t Continuum [5] Tˆa´t nhiˆen,

mˆo˜i mˆo.t mˆe.nh dˆe` n`ay ho˘a.c l`a d´ung, ho˘a.c l`a sai

Di.nh l´y cuˆo´i c`ung cu’a Fermat d˜a tˆo`n ta.i trˆen 350 n˘am, v`a m˜ai cho dˆe´nn˘am 1986, G Faltings [1], mˆo.t nh`a To´an ho.c tre’ 26 tuˆo’i ngu.`o.i D´u.c d˜adu.o. c nhˆa.n gia’i thu.o.’ng Fields vˆe` mˆo.t cˆong tr`ınh trong h`ınh ho.c da.i sˆo´ Gia’ithu.o.’ ng Fields l`a gia’i thu.o.’ ng d`anh cho c´ac nh`a To´an ho.c tre’ tuˆo’i du.´o.i 40tuˆo’i, 4 n˘am m´o.i cˆa´p mˆo.t lˆa` n v`a mˆo˜i lˆa` n khˆong qu´a 4 ngu.`o.i Nhu ch´ung

ta d˜a biˆe´t gia’i thu.o.’ ng Nobel khˆong gi`anh cho c´ac nh`a To´an ho.c, nˆen gia’ithu.o.’ ng Fields du.o. c xem nhu l`a gia’i “Nobel” cho To´an ho.c v`a gia’i thu.o.’ngdu.o. c coi l`a mˆo.t trong nh˜u.ng vinh du l´o.n nhˆa´t dˆo´i v´o.i mˆo.t ngu.`o.i l`am To´anho.c Ngo`ai ra G Falting c`on du.a ra nh˜u.ng ´y tu.o.’ng co ba’n vˆe` ch´u.ng minh

di.nh l´y cuˆo´i c`ung cu’a Fermat v`ao th´ang 9 n˘am 1994 (xem Gerd Falting the

Proof of Fermat’s Last Theorem by R Taylor and A Wiles Notices of the AMS, July 1995, p 743 - 746), nhu.ng v`ao n˘am 1997, nh`a To´an ho.c ngu.`o.iAnh l`a A Weil sinh n˘am 1953 d˜a ch´u.ng minh tro.n ve.n di.nh l´y n`ay b˘a`ng

mˆo.t phu.o.ng ph´ap kh´ac v`a ˆong du.o c nhˆa.n gia’i thu.o.’ng rˆa´t d˘a.c biˆe.t, n˘am ˆa´yˆ

ong d˜a ngo`ai 40 tuˆo’i nˆen khˆong thˆe’ trao gia’i thu.o.’ ng Fields C`on gia’ thuyˆe´tContinuum d˜a du.o. c nh`a To´an ho.c M˜y l`a P.J Cohen [5] gia’i quyˆe´t v`ao n˘am

1966 v`a ˆong d˜a du.o. c nhˆa.n gia’i thu.o.’ng Fields

Mˆo.t diˆe` u rˆa´t hiˆe’n nhiˆen l`a ch´ung ta c´o thˆe’ di t`u mˆo.t sˆo´ mˆe.nh dˆe` d˜a cho

dˆe´n mˆo.t mˆe.nh dˆe` m´o.i nh`o mˆo.t sˆo´ t`u nˆo´i, ch˘a’ng ha.n dˆo´i v´o.i mˆe.nh dˆe` A,

ch´ung ta c´o thˆe’ lˆa´y phu’ di.nh cu’a n´o “khˆong A” (viˆe´t t˘a´t l`a ¬A), ho˘a.c dˆo´i

v´o.i hai mˆe.nh dˆe` d˜a cho A v` a B, ta c´o thˆe’ nˆo´i c´ac mˆe.nh dˆe` d´o v´o.i nhau “A

v` a B” (viˆe´t t˘a´t l`a A ∧ B), “A hay l` a B” (viˆe´t t˘a´t l`a A ∨ B), “Nˆe´u A th`ı B”

(viˆe´t t˘a´t l`a A → B), v`a “A khi v` a chı’ khi B” (viˆe´t t˘a´t l`a A ↔ B) C´ac k´yhiˆe.u ¬, ∧, ∨, →, ↔ du o c go.i l`a c´ac ph´ep to´an logic C´ac ph´ep to´an n`ay du.o c

x´ac di.nh du a theo c´. ac ba’ng chˆan l´y du.´o.i dˆay.

1.1.1 Ph´ ep phu’ di.nh (¬, not)

Nhu vˆa.y ngh˜ıa l`a khi A nhˆa.n gi´a tri T th`ı ¬A nhˆa.n gi´a tri F, v`a khi A nhˆa.n

gi´a tri F th`ı ¬A nhˆa.n gi´a tri T.

Vˆa.y mˆe.nh dˆe` A → B nhˆ a.n gi´a tri F, khi v`a chı’ khi A (gia’ thiˆe´t) nhˆa.n

gi´a tri T v`a B (kˆe´t luˆa.n) nhˆa.n gi´a tri F.

Trong mˆo.t v`ai tru.`o.ng ho p, mˆe.nh dˆe` “Nˆe´u A th`ı B” du.o c su.’ du.ng nhu.ng

khˆong quan tˆam dˆe´n c´ac gi´a tri chˆan l´y cu’a c´ac mˆe.nh dˆe` mˆo.t c´ach dˆa` y du’,ch˘a’ng ha.n nhu c´ac mˆe.nh dˆe` sau:

1 Nˆe´u 1+1=2 th`ı Paris l`a Thu’ dˆo cu’a nu.´o.c Ph´ap

2 Nˆe´u 1+16=2 th`ı Paris l`a Thu’ dˆo cu’a nu.´o.c Ph´ap

3 Nˆe´u 1+16=2 th`ı Rome l`a Thu’ dˆo cu’a nu.´o.c Ph´ap

Ta dˆ˜ d`ang nhˆa.n thˆa´y ca’ 3 mˆe.nh dˆee ` trˆen dˆe` u nhˆa.n gi´a tri chˆan l´y l`a T,nhu.ng mˆo´i liˆen hˆe gi˜u.a gia’ thiˆe´t A v`a kˆe´t luˆa.n B khˆong ˘an kh´o.p v´o.i nhau.

Do d´o dˆe’ da’m ba’o t´ınh logic v`a ch˘a.t ch˜e cua’ mˆo.t mˆe.ng dˆe` , ch´ung ta pha’i

su.’ du.ng mˆo´i quan hˆe d´o sao cho gi˜u.a gia’ thiˆe´t A v`a kˆe´t luˆa.n B pha’i c´o mˆo´i

quan hˆe x´ac di.nh, thu.`o.ng l`a nguyˆen nhˆan

Ngo`ai ra, n´oi riˆeng trong thu. c tˆe´, ngu.`o.i ta hay d`ung mˆe.nh dˆe` “Nˆ e´u A th`ı B” du.´o.i mˆo.t h`ınh th´u.c kh´ac, khˆong mˆau thuˆa˜n v`a hay du.o c su.’ du.ng rˆo.ngr˜ai, ch˘a’ng ha.n:

“Nˆ e´u ba n c´ o th` o.i gian th`ı ba n dˆ e´n th˘ am tˆ oi”, c˜ung du.o. c hiˆe’u theo ngh˜ıal`

“Nˆ e´u ba n khˆ ong dˆ e´n th˘ am tˆ oi th`ı ba n khˆ ong c´ o th` o.i gian” Diˆ` u n`e ay luˆonluˆon d´ung v`ı theo luˆa.t logic sau dˆay:

Mˆe.nh dˆe` :“A → B” tu.o.ng du.o.ng v´ o.i “¬B → ¬A”

1.2 Cˆ ong th´ u.c mˆ e.nh dˆe `

Di.nh ngh˜ıa 1.2.1 Cˆong th´u c mˆe.nh dˆe` l`a mˆe.nh dˆe` du.o c lˆa.p nˆen t`u c´ac ch˜u.

c´ai La-tinh A, B, C, v`a kˆe’ ca’ c´ac ch˜u c´ai La-tinh c´o chı’ sˆo´ A1, B1, C1, nh`o c´ac ph´ep to´an logic

Mˆo.t c´ach ch´ınh x´ac ho.n, ch´ung ta di.nh ngh˜ıa cˆong th´u.c mˆe.nh dˆe` b˘a`ng

c´ach dˆe quy nhu sau:

(1) Tˆa´t ca’ c´ac ch˜u c´ai La-tinh , kˆe’ ca’ c´ac ch˜u c´ai La-tinh c´o chı’ sˆo´ dˆ` u l`e a

1.2 Cˆ ong th´ u.c mˆ e.nh dˆe ` 13

Th´ ı du 1.2.1 Cho cˆong th´u.c A = (((¬A) ∨ B) → C) T`ım h`am da.i sˆo´ logictu.o.ng ´u.ng cu’a cˆong th´u.c A?

Tru.´o.c hˆe´t ta lˆa.p ba’ng chˆan l´y dˆa` y du’ cu’a A.

Mˆo˜i d`ong l`a mˆo.t bˆo phˆan bˆo´ c´ac gi´a tri chˆan l´y cu’a c´ac biˆe´n A, B, C v`a

tu.o.ng ´u.ng l`a mˆo.t gi´a cu’a cˆong th´u.c A.

Vˆa.y ch´ung ta dˆe˜ d`ang x´ac di.nh du.o c mˆo.t h`am da.i sˆo´ logic 3 biˆe´n f :

{T, F}3 → {T, F} du. a v`ao ba’ng chˆan l´y cu’a A nhu sau:

1 Nˆ e´u cˆ ong th´ u.c mˆ e.nh dˆe ` c´ o ch´ u.a n biˆ e´n mˆ e.nh dˆe ` th`ı ba’ng chˆ an l´ y cu’a

cˆ ong th´ u.c d˜ a cho pha’i ch´ u.a 2 n bˆ o phˆ an bˆ o´ c´ ac gi´ a tri chˆan l´y cu’a n biˆ e´n d´ o L` am thˆ e´ n` ao dˆ e’ c´ o thˆ e’ viˆ e´t dˆ ` y du’ 2 a n bˆ o phˆ an bˆ o´ n` ay? Ch´ ung ta chı’ cˆ ` n thu a c hiˆ e.n “thuˆ a t chia dˆ oi” du.o. c dˆ a ˜n ra theo c´ ach quy na p cu’a biˆ e´n n:

• n = 2: Khi d´ o 22 = 4 v` a chia 2 cho kˆ e´t qua’ l` a 2 Ta lˆ a p ba’ng nhu . sau:

• n = 3: Khi d´ o 23 = 8 v` a chia 2 cho kˆ e´t qua’ l` a 4 Ta lˆ a p ba’ng nhu . sau:

• Mˆ o t c´ ach tu.o.ng tu khi ch´ ung ta t˘ ang bˆ a c cu’a hˆ e sˆo´ n lˆen v`a thu c . chˆ a´t khi lˆ a p ba’ng ch´ ung ta viˆ e´t cˆ o t dˆ ` u tiˆ a en mˆ o t nu ’ a trˆ . en l` a T v` a mˆ o t

nu ’ a du.´ o.i l` a F (ho˘ a c ngu o c la.i theo mˆo.t nguyˆen t˘a´c), rˆo`i dˆe´n c´ac cˆo.t tiˆ e´p theo nhu.ng ch´ ung ta chı’ lˆ a p mˆ o t nu ’ a ba’ng trˆ . en theo thuˆ a t chia

dˆ oi c´ o bˆ a c gia’m dˆ ` n, cuˆ a o´i c` ung th`ı thu c hiˆ e.n copy nu ’ a trˆ . en xuˆ o´ng nu ’ a du.´ o.i l` a ho` an th` anh du’ 2 n bˆ o phˆ an bˆ o´ c´ ac gi´ a tri chˆan l´y cu’a n biˆe´n c´o m˘ a t trong cˆ ong th´ u.c d˜ a cho.

2 Phu.o.ng ph´ ap lˆ a.p ba’ng chˆ an l´ y thu go n

Tru.´ o.c hˆ e´t viˆ e´t cˆ ong th´ u.c d˜ a cho th` anh mˆ o t d` ong cu’a ba’ng, tiˆ e´p dˆ e´n l` a c´ ac d` ong du.o c t´ınh lˆ ` n lu.o a t theo gi´ a tri phˆan bˆo´ cu’a c´ac biˆe´n c´o m˘a.t trong cˆ ong th´ u.c v` a tu.o.ng ´ u.ng l` a c´ ac gi´ a tri cu’a t`u ng th`anh phˆa ` n lˆ a p

nˆ en cˆ ong th´ u.c, v` a cuˆ o´i c` ung l` a gi´ a tri cu’a cˆong th´u c du.o c t´ınh theo t` u.ng th` anh phˆ ` n trˆ a en du a theo ph´ ep to´ an cuˆ o´i c` ung cu’a cˆ ong th´ u.c.

1.2 Cˆ ong th´ u.c mˆ e.nh dˆe ` 15

Th´ ı du 1.2.2 Lˆa.p ba’ng chˆan l´y thu go.n cu’a cˆong th´u.c

Phu.o.ng ph´ap lˆa.p ba’ng chˆan l´y thu go.n du a v`. ao vi tr´ı cu’a c´ac biˆe´n

mˆe.nh dˆe` v`a c´ac ph´ep to´an c´o m˘a.t trong cˆong th´u.c l`am c´ac cˆo.t tu.o.ng

´

u.ng, nˆen vˆ` m˘e a.t t´ınh to´an du.o c tiˆe´t kiˆe.m th`o.i gian nhiˆe`u ho.n v`a ba’ng

lˆa.p do.n gia’n ho.n

3 T´ınh u.u tiˆ en cu’a c´ ac ph´ ep to´ an

Ta d˜ a biˆ e´t trong sˆ o´ ho c dˆ e’ gia’m thiˆ e’u viˆ e.c viˆe´t dˆa´u ngo˘a.c cho mˆo.t biˆe’u th´ u.c sˆ o´ ho c thˆ ong thu.` o.ng l` a nhˆ an, chia tru.´ o.c v` a cˆ o ng, tr` u sau, v` a c´ ac ph´ ep to´ an c´ o c` ung m´ u.c u.u tiˆ en du.o c thu c hiˆ . e.n t`u tr´ai qua pha’i Trong c´ ac ph´ ep to´ an logic c˜ ung tu.o.ng tu , ngu `o.i ta d˜a du.a ra mˆo.t quy u.´ o.c viˆ e´t dˆ a´u ngo˘ a c theo th´ u tu u u tiˆen sau dˆay:

trong d´ o ch´ u ´ y hai ph´ ep to´ an cuˆ o´i c` ung →, ↔ xuˆ a´t hiˆ e.n nhiˆe ` u lˆ ` n liˆ a en tiˆ e´p th`ı lˆ a p ngo˘ a c t` u tr´ ai qua pha’i, ch˘ a’ng ha n: A → B → C th`ı pha’i

lˆ a p ngo˘ a c d´ ung l` a ((A → B) → C).

Th´ ı du 1.2.3 Ch´ung ta lˆa.p ngo˘a.c cho cˆong th´u.c

A = A ∨ ¬B → C ↔ A theo c´ac bu.´o.c sau dˆay:

A ∨ (¬B) → C ↔ A

(A ∨ (¬B)) → C ↔ A ((A ∨ (¬B)) → C) ↔ A (((A ∨ (¬B)) → C) ↔ A)

1.3 Mˆ o.t sˆo´ di.nh ngh˜ıa

1.3.1 H` am da.i sˆ o´ logic

bˆo phˆan bˆo´ c´ac gi´a tri chˆan l´y {T, F} v`a mˆo˜i mˆo.t

bˆo nhu vˆa.y tu.o.ng ´u.ng v´o.i mˆo.t gi´a tri {T, F}, nˆen sˆo´ h`am tu.o.ng ´u.ng v´o.i n

biˆe´n pha’i l`a 22n

1.3 Mˆ o.t sˆo´ di.nh ngh˜ıa 17

2 X´et l´o.p h`am P P2 hai biˆe´n gˆo`m c´o tˆa´t ca’ l`a: 222= 16 h`am du.o. c cho theoba’ng sau dˆay:

Th´u hai l`a nˆe´u mˆo.t cˆong th´u.c mˆe.nh dˆe` n`ao d´o c´o ch´u.a c´ac biˆe´n i1, i2, , i n

(i1 < i2 < < i n) trong tˆa.p kˆe’ du.o c o.’ trˆen th`ı khi d´o tu.o.ng ´u.ng ta c´o thˆe’

lˆa.p du.o c mˆo.t h`am da.i sˆo´ logic v´o.i c´ac biˆe´n x i1, x i2, , x in

Th´ ı du 1.3.2 V´o.i cˆong th´u.c A → B th`ı h`am da.i sˆo´ logic tu.o.ng ´u.ng l`a:

1.3.2 Su dˆ o`ng nhˆ a´t d´ ung - dˆ o`ng nhˆ a´t sai

Di.nh ngh˜ıa 1.3.2 Mˆo.t cˆong th´u.c mˆe.nh dˆe` du.o c go.i l`a dˆo`ng nhˆa´t d´ung (hay

h˘ a `ng d´ ung), nˆe´u n´o nhˆa.n gi´a tri d´ung dˆo´i v´o.i mo.i ph´ep thˆe´ c´ac gi´a tri chˆanl´y cu’a c´ac biˆe´n c´o m˘a.t trong cˆong th´u.c

Vˆa.y ch´ung ta c´o thˆe’ n´oi r˘a`ng mˆo.t cˆong th´u.c mˆe.nh dˆe` l`a dˆo`ng nhˆa´t d´ung,

khi v`a chı’ khi h`am da.i sˆo´ logic tu.o.ng ´u.ng cu’a n´o nhˆa.n to`an gi´a tri d´ung,ho˘a.c c´o thˆe’ n´oi nˆe´u cˆo.t cuˆo´i c`ung cu’a ba’ng chˆan l´y cu’a cˆong th´u.c d˜a chochı’ gˆo`m to`an gi´a tri d´ung

Th´ ı du 1.3.3

a) Cˆong th´u.c A = A ∨ (¬A) l`a dˆo`ng nhˆa´t d´ung (hiˆe’n nhiˆen)

b) Cˆong th´u.c A = A ∧ B → A l`a dˆo`ng nhˆa´t d´ung

Ta ch´u.ng minh b˘a`ng pha’n ch´u.ng nhu sau: Gia’ su.’ ngu.o. c la.i, A khˆong

dˆo`ng nhˆa´t d´ung, ngh˜ıa l`a tˆo`n ta.i mˆo.t bˆo phˆan bˆo´ I0 c´ac gi´a tri chˆan l´y cu’ac´ac biˆe´n c´o m˘a.t trong A sao cho A(I0) = False, t´u.c l`a:

1.3 Mˆ o.t sˆo´ di.nh ngh˜ıa 19

Thay (2) v`ao (1) ta c´o: A ∧ B = F (3)

So s´anh (1) v`a (3) suy ra mˆau thuˆa˜n Vˆa.y A l`a dˆo`ng nhˆa´t d´ung.



Di.nh ngh˜ıa 1.3.3 Nˆe´u cˆong th´u.c (A → B) l`a dˆo`ng nhˆa´t d´ung th`ı khi d´o

A du.o. c go.i l`a logic k´ eo theo B ho˘ a.c B l`a logic k´eo theo t`u A.

Th´ ı du 1.3.4 Cˆong th´u.c A ∧ (A → B) logic k´eo theo B

Thˆa.t vˆa.y, ta chı’ cˆa` n ch´u.ng minh r˘a`ng cˆong th´u.c

Di.nh ngh˜ıa 1.3.4 Hai cˆong th´u.c A v`a B du.o c go.i l`a logic tu.o.ng du.o.ng,

nˆe´u cˆong th´u.c (A ↔ B) l`a dˆo`ng nhˆa´t d´ung

Th´ ı du 1.3.5 A → B v` a (¬A) ∨ B l`a hai cˆong th´u.c logic tu.o.ng du.o.ng,ngh˜ıa l`a ta chı’ cˆ` n chı’ ra r˘a a`ng cˆong th´u.c

A = (A → B) ↔ ((¬A) ∨ B)

l`a dˆo`ng nhˆa´t d´ung

Lˆa.p ba’ng chˆan l´y thu go.n sau dˆay

Ba’ng cˆ ong th´ u.c tu.o.ng du.o.ng

1 A ∧ B ≡ B ∧ A (giao ho´ an)

7 ¬(¬A) ≡ A (luˆ a t phu’ di.nh k´ ep)

8 (A ∧ A) ≡ A (luˆ a t lu˜ y d˘ a’ng)

(A ∨ A) ≡ A

9 A ∧ (A ∨ B) ≡ A (luˆ a t hˆ a´p thu )

A ∨ (A ∧ B) ≡ A

Di.nh ngh˜ıa 1.3.5 Mˆo.t cˆong th´u.c du.o c go.i l`a dˆo`ng nhˆa´t sai (hay h˘a`ng sai),

nˆe´u n´o nhˆa.n gi´a tri sai dˆo´i v´o.i mo.i ph´ep thˆe´ c´ac gi´a tri chˆan l´y cu’a c´ac biˆe´nc´o m˘a.t trong cˆong th´u.c d´o

Bo.’ i vˆa.y trong ba’ng chˆan l´y cu’a cˆong th´u.c n`ay, cˆo.t cuˆo´i c`ung cu’a ba’ngchˆan l´y chı’ gˆo`m to`an gi´a tri sai

1.3 Mˆ o.t sˆo´ di.nh ngh˜ıa 21

Th´ ı du 1.3.6

a) Cˆong th´u.c A = A ↔ (¬A) - dˆo`ng nhˆa´t sai

Ta lˆa.p ba’ng chˆan l´y thu go.n cu’a A:

bo.’ i c`ung mˆo.t mˆe.nh dˆe` th`ı mˆe.nh dˆe` d´o du.o. c go.i l`a logic d´ ung.

Th´ ı du 1.3.7 Cho cˆong th´u.c dˆo`ng nhˆa´t d´ung A = ((A ∨ B) ∧ (¬B) → A).

Ta c´o mˆe.nh dˆe` sau dˆay l`a logic d´ung:

“Nˆ e´u tr` o.i mu.a ho˘ a c tuyˆ e´t ro.i, v` a tuyˆ e´t khˆ ong ro.i th`ı tr` o.i mu.a”.

Di.nh ngh˜ıa 1.3.7 Mˆo.t mˆe.nh dˆe` nhˆa.n du.o c t`u mˆo.t cˆong th´u.c dˆo`ng nhˆa´tsai b˘a`ng c´ach thˆe´ c´ac biˆe´n bo.’ i c´ac mˆe.nh dˆe` sao cho c`ung mˆo.t biˆe´n du.o c thˆe´

bo.’ i c`ung mˆo.t mˆe.nh dˆe` th`ı mˆe.nh dˆe` d´o du.o. c go.i l`a logic sai.

Th´ ı du 1.3.8 Ta x´et cˆong th´u.c dˆo`ng nhˆa´t sai A = A ∧ (¬A) Khi d´o nˆe´u

ta thay A b˘a`ng mˆe.nh dˆe` “Tˆ oi di ho c” th`ı mˆe.nh dˆe` sau dˆay l`a logic sai:

“Tˆ oi di ho c v` a tˆ oi khˆ ong di ho c”.

Di.nh ngh˜ıa 1.3.8 Mˆo.t cˆong th´u.c A du.o c go.i l`a thu c hiˆe.n du.o c (hay thoa’

du.o c), nˆe´u tˆo`n ta.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t bˆo phˆan bˆo´ c´ac gi´a tri chˆan l´y cu’a c´ac biˆe´nc´o m˘a.t trong cˆong th´u.c A sao cho A nhˆa.n gi´a tri d´ung dˆo´i v´o.i bˆo phˆan bˆo´

n`ay