d Xét tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số đối với hàm bậc 3, trùng phơng • Tính đạo hàm cấp 2.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: Bài 2... • Xác định dấu củ
Trang 1Đề cơng ôn tập học kỳ i
I Khảo sát hàm số và một số bài toán về ứng dụng của đạo hàm.
Dạng 1 Khảo sát các hàm số cơ bản.
1 Cơ sở lí thuyết.
+) Các bớc khảo sát hàm sô:
1 Tìm tập xác định của hàm số
2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số
a) Xét chiều biến thiên của hàm số
• Tính đạo hàm
• Tìm các điểm tới hạn
• Xét dấu của đạo hàm
• Suy ra chiều biến thiên của hàm số trên các khoảng
b) Tìm cực trị
c) Tìm các giới hạn của hàm số
• Khi x dần tới vô cực (−∞ +∞, )
• Khi x dần tới bên trái, bên phải giá trị làm cho hàm số không xác định
• Tìm các tiệm cận (nếu có)
d) Xét tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số (đối với hàm bậc 3, trùng phơng)
• Tính đạo hàm cấp 2
• Xét dấu đạo hàm cấp 2
• Suy ra tính lồi, lõm và điểm uốn
e) Lập bảng biến thiên
3 Vẽ đồ thị
• Chính xác hóa đồ thị
• Vẽ đồ thị
2 Bài tập.
Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) 1 4 2 3
3
Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) 3 2
2
x y
x
+
=
3 1
x y x
+
= +
Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1
y x
x
= −
2 3 1
y x
+
=
1
x x y
x
+ +
=
+
Trang 2Dạng 2 Tính đơn điệu của hàm số.
1.Cơ sở lí thuyết.
+) Cho hàm số y = f x( ) có đạo hàm trên khoảng (a; b) Khi đó
• Nếu ( ) 0,f x′ ≥ ∀ ∈x ( ; )a b và đẳng thức chỉ xảy tại hữu hạn điểm trên (a; b) thì
( )
y = f x đồng biến trên khoảng đó.
• Nếu ( ) 0,f x′ ≤ ∀ ∈x ( ; )a b và đẳng thức chỉ xảy tại hữu hạn điểm trên (a; b) thì
( )
y = f x nghịch biến trên khoảng đó
+) Các bớc xét tính đơn điệu của hàm số y = f x( ):
• Tính đạo hàm y'
• Tìm các điểm tới hạn (làm cho ( )f x′ bằng 0 hoặc không xác định).
• Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn
• Từ kêt quả tìm đợc kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng
Chú ý: Dấu của y' không đổi trong khoảng xác định bởi 2 điểm tới hạn kề nhau.
2 Bài tập.
3
y= − x + m− x + m+ x− Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó
Bài 2 Cho hàm số
2 2 3 2
2
y
=
−
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
b) Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1;+∞)
Dạng 3 Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số.
1 Cơ sở lí thuyết.
a) Điều kiện để hàm số có cực trị
+) Điều kiện cần: Nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x và đạt cực trị tại đó thì 0
0
( ) 0
f x′ =
+) Điều kiện đủ: Hàm số y = f x( ) đạt cực trị tại x nếu ( )0 f x′ đổi dấu khi x đi qua x 0
b) Qui tắc tìm cực trị
+) Qui tắc 1: i) Tìm ( )f x′
ii) Tìm các điểm tới hạn (làm cho ( )f x′ bằng 0 hoặc không xác định) iii) Xét dấu của đạo hàm
iv) Từ biến thiên suy ra các điểm cực trị
+) Qui tắc 2: i) Tìm ( )f x′ Giải phơng trình ( )f x′ = 0, gọi x là các nghiệm i
ii) Tính f x′′( ). iii) Từ dấu của f x′′( )i suy ra tính chất cực trị của điểm x i
c) Một số chú ý khi giải toán cực trị
+) Nếu hàm số y = f x( ) có đạo hàm f x′( )=ax2 +bx c a+ ( ≠0) thì y= f x( ) có cực trị khi
b ac
Trang 3+) Cho hàm số y = f(x), nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thỡ f(x0) gọi là giỏ trị cực trị của hàm số và M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số
+) Đối với hàm bậc ba: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cú 2 điểm cực trị x1; x2 Để tớnh giỏ trị cực trị của hàm số ta cú thể thực hiện theo cỏch sau:
• Thực hiện phộp chia đa thức f(x) cho f’(x)
• f(x) = f’(x) (mx + n) + Ax + B (trong đú mx + n là thương của phộp chia và Ax + B là số
dư của phộp chia)
• Vỡ f’(x1) = f’(x2) = 0 nờn
- f(x1) = Ax1 + B
- f(x2) = Ax2 + B
Khi đó đờng thẳng đi qua các điểm cực trị có phơng trình là y Ax B= +
+) Đối với hàm hữu tỉ y = u(x)
v(x) Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 với v’(x0) ≠ 0 thỡ:
u(x ) u'(x ) y'(x ) = 0 u'(x )v(x ) - u(x )v'(x ) = 0
v(x ) v '(x )
Vậy giỏ trị cực trị của hàm số là 0 0
0
u(x ) u'(x ) y(x )
v(x ) v '(x )
2 Bài tập rốn luyện.
Bài 1 Cho hàm số y x= 3 −3mx2+3(2m−1)x+1
a) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b) Xác định m để hàm số có cực trị
Bài 2 Cho hàm số
x mx y
x m
=
+ Tỡm m để hàm số đạt cực đại tại x = -1.
Bài 3 Cho hàm số = + + + + +
+
y
điểm cực trị và khoảng cỏch 2 điểm cực trị khụng đổi
Bài 4 Cho hàm số = 1 3 − 2 − + +
Chứng minh rằng với mọi m hàm số luụn cú cực đại, cực tiểu Hóy xỏc định m sao cho khoảng cỏch giữa 2 điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất
Bài 5 Cho hàm số
=
−
y
x 1 a) Xỏc định m để hàm số cú cực trị
b) Tỡm m để tớch cỏc giỏ trị cực đại và cực tiểu đạt giỏ trị nhỏ nhất
Bài 6 Cho hàm số y x= 4 −4(m−1)x2+2m−1 có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3
điểm cực trị
Trang 4Dạng 4 Các bài tốn liên quan đến tiếp tuyến.
1 Cơ sở lí thuyết.
+) Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường cong.
Cho hàm số y= f x( ) cĩ đạo hàm tại x0 Khi đĩ, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
0 0
( ; )
M x y cĩ phương trình là: y y− 0 = f x′( )(0 x x− 0), trong đĩ y0 = f x( )0
+) Tiếp tuyến với hệ số gĩc cho trước.
Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f x( ), biết tiếp tuyến đĩ cĩ hệ
số gĩc k cho trước ta cĩ thể làm như sau:
Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( ) 0 0 ∈ C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : '
0
( )
f x =k, từ đó suy ra y0 = f x( ) 0 =?
Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ta sẽ được pttt cần
tìm
+) Tiếp tuyến đi qua một điểm bất kì (khơng thuộc đồ thị).
• Đường thẳng d đi qua điểm M x y1( ; )1 1 và cĩ hệ số gĩc k cĩ phương trình là:
y y− =k x x− ⇔ =y k x x− + y
• Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) thì hệ phương trình sau phải cĩ
nghiệm:
( )
f x k x x y
f x k
+) Hoặc đường thẳng d: y ax b= + tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đồ thị hàm số y= f x( ) khi
và chỉ khi phương trình ax b+ = f x( ) cĩ nghiệm kép.
2 Bài tập.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số y x 2x 3x
3
điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 2: Cho đường cong (C): = 2 ++2−1
x
x x
y Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ∆ ) :y =x− 2
Bài 3: Cho hàm số y=13x3 +m2 x2 +13 (Cm) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0
Bài 4: Cho đường cong (C): y=x3 − 3x2 + 2
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7)
Bài 5 Cho hàm số 1 4 2
2
y = x − x + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết
nĩ đi qua điểm A(0; 2)
Bài 6 Cho hàm số y x= −4 8x2 +7 Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng y mx= −9
tiếp xúc với đồ thị hàm số
Dạng 5 Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.
Trang 51 Cơ sở lí thuyết.
Cơ sở của phương pháp:
Xét phương trình f(x) = g(x) (1)
Nghiệm x 0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C 1 ):y=f(x) và (C 2 ):y=g(x)
Dạng 1 : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = m (*)
Phương pháp:
Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
( ) : ( ) : (C) là đồ thị cố định ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox và cắt Oy tại M(0;m)
C y f x
y m
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)
Minh họa :
y
x
) ( :
) (C y = f x
)
; 0
( m
1
m
2
m
m
y =
∆
O
y
x
0
x
) (C1
) (C2
Trang 6Daùng 2: Baống ủoà thũ haừy bieọn luaọn theo m soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh : f(x) = g(m) (* *)
Phửụng phaựp: ẹaởt k=g(m)
Bửụực 1: Xem (**) laứ phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa hai ủoà thũ:
( ) : ( ) : (C) laứ ủoà thũ coỏ ủũnh ( ) : : ( ) laứ ủửụứng thaỳng di ủoọng cuứng phửụng Ox vaứ caột Oy taùi M(0;k)
C y f x
y k
Tửứ ủoự keỏt luaọn veà soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (**).
Minh hoùa:
2 Bài tập.
Bài 1 1) Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ haứm soỏ y= 2x3 − 9x2 + 12x− 4
2) Bieọn luaọn theo m soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh: 2x3 − 9x2 + 12x− 4 −m= 0
3) Tỡm m ủeồ phửụng trỡnh sau coự 6 nghieọm phaõn bieọt: 2x3 − 9x2 + 12x =m
Bài 2
a) Khảo sỏt SBT và vẽ đồ thị của hàm số
f x = x − x +
b) Tỡm m để phương trỡnh sau cú 4 nghiệm phõn biệt
4 6 2 3
x − x + =m
Baứi 3: Tỡm k ủeồ phửụng trỡnh sau coự ba nghieọm phaõn bieọt:
3 3 2 3 3 2 0
Dạng 6 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số.
*) Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn ta vận dụng qui tắc tìm
GTLN, GTNN của hàm số trên môt đoạn Nếu đầu bài đã chỉ rõ đoạn cần tìm GTLN, GTNN thì ta tìm trên đoạn đó, nếu đầu bài không chỉ rõ đoạn thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên TXĐ của hàm số đó Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng đó và căn cứ vào BBT để kết luận
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau
x y
)
; 0
( k
K
1
M O
2
K
Trang 7a) f x( )=x3+3x2 −9x +1 trên đoạn [-4; 4]
b) f x( )=x4 −8x2 +16 trên đoạn [-1; 3]
c) ( ) 2 1
1
f x x
x
= + +
− trên khoảng (1; +∞)
d) f x( )=x 1−x2
e) f x( )= −x 4−x2
g) f x( ) cos= 3x−6 cos2x+9 cosx+5
II Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Lí thuyết.
1 Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỷ, số mũ thực
2 Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực
3 Định nghĩa và tính chất của lôgarit
4 Kết quả khảo sát hàm số luỹ thừa (TXĐ, Chiều biến thiên ) và đặc điểm về đồ thị của hàm số luỹ thừa
5 Kết quả khảo sát hàm số mũ, hàm số lôgarit (TXĐ, Chiều biến thiên ) và đặc điểm về đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit
Bài tập.
Dạng 1 Tính giá trị biểu thức có chứa luỹ thừa và lôgarit
Bài 1 Tính các giá trị sau
a)
4 0,75
3
−
−
−
+
3 2 1 2 4 2
4 + 2 − 2− − d)
1
2
27 ( 2) 3
8
−
Bài 2 Tính các giá trị sau
1log 4 2
1
9
ữ
3 log5
2
3log (log 16) log 2+ d) 2 2
1 log 24 log 72
2 1 log 18 log 72
3
−
Dạng 2 Rút gon biểu thức có chứa luỹ thừa và lôgarit.
Bài 3 Rút gọn biểu thức sau
a)
a a a
−
−
+ +
b)
a b b a
+
1 1
3 3 : 2 3 a 3 b
a b
Bài 4 Rút gọn biểu thức sau
a) (loga b+logb a+2 log) ( a b−logab b)logb a−1
Trang 8b) 2 ( ) log (log 2 1) 2 4
1
2
Dạng 3 So sánh hai lũy thừa, lôgarit.
So sánh các số sau
a) 3 và 3 5 b) log 2 và 3 log 32 c) log36
5 và 3
5 log 6 d) 2 1
2
2 log 5 log 9
2 + và 8
Dạng 4 Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa và hàm số lôgarit.
Tìm TXĐ của các hàm số sau
a) y=3(x−1)3 b) y=(x2 + −x 6)13 c) 2
3
log ( 2 )
y= x + x
d) log (40,2 −x2)
Dạng 5 Tính đạo hàm của hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) ( 2 ) 2
4 3
y= x − x+ − b) y=(x3 −3x2 +2x)14 c) 2
8
log ( 3 4)
y= x − x+
3
log (3x 9)
y= − − e) y=2 x e2x −ln(2x+1)
Dạng 6 Giải phơng trình mũ.
*) Phơng pháp đa về cùng cơ số
Giải các phơng trình sau
a)
2 2 3
1
1
7 7
x x
x
− −
+
ữ
b) ( )16 1010 0,125.8 155
x x
x x
+ +
−
− = c) 2x−1− =3x 3x−1 −2x+2 d) 73x +9.52x =52x +9.73x e) ( )3 1 ( )5 8
2+ 3 x+ = −2 3 x+ f) 2 4x+ 1 3 2x− 1.83 −x =2 2.0,125 g) 9x 2x+32 2x+12 32x+1
*) Phơng pháp lôgarit hoá
a) 3x− 1 =18 2 32x 2x x+ 1 b) 3 8 2 6
x
x
x x+ =
*) Phơng pháp đặt ẩn phụ
a) 3x+ 2 +9x+ 1 =4 b) 4x+ 3 +2x+ 7− =17 0
c) 5 x −53 − x −20 0= d) 491x −351x =251x
2.49x −9.14x +7.4x =0 f) 32x+ 4 +45.6x −9.22x+ 2 =0
g) (2− 3) (x + +2 3)x =14 h) ( 5 1+ ) (x − 5 1− )x =2x+ 1
i) 3.25x−2 +(3x−10).5x−2 + − =3 x 0 k) 9x +2(x−2).3x +2x− =5 0
Dạng 7 Giải phơng trình lôgarit.
*) Phơng pháp đa về cùng cơ số
a) log ( 1) log ( 1) log (7 ) 1.
2
1 2
1 2
3
Trang 9c) log ( 1) log ( 1)
2 1
2
2 x − = x− d) log log log 3.log 225.
9 5 3
5x+ x= e) log log 3 log3(3 4) 3
3 1
3 x+ x + x = f) log ( 8) log ( 26) 2 0
3
9 x+ − x+ + = .
*) Phơng pháp đặt ẩn phụ
a) −log3x+2 log2 x= −2 logx b) 1
lg 1
2 lg
5
+
+
c) log (3 2 x− 1).log (2.3 2 x− = 2) 2 d) log 5 log 2 1
5
5 + x=
x
x
6
7 log 2
) 3 (
2 ) 2 3 ( − x x − x+ + −x x − x+ − =
*) Phơng pháp mũ hóa
a) log (4.33 x−1− = 1) 2 x − 1 b) log log (log ) 2[ 3 2x ]= 1
Dạng 8 Bất phơng trình mũ và lôgarit.
*) Bất phơng trình mũ
a) (0,3) 2 4 6 2+ + + + x > (0,3) ; 72 x Z∈ + b) 2x2− −x 6 >1
c)
2
4 15 13
3 4
1
4 4
x
− +
−
ữ
2
2
1 8 8
x x
−
−
e) ( )3
2 x +(4 2)x ≥2.8x
*) Bất phơng trình lôgarit
a) log ( 2 16) log2(4 11)
3 2
4 log
3
1 3
x
x
−
<
− +
c) log (33 x −1).log(3x+2 − > −9) 3 d) 2 4
7 log− x +log x >4