HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Phương pháp: Cách 1: Chứng minh một trong hai đường thẳng ấy vuông góc với mp chứa đường thẳng còn lại.. Cách 2: Nếu hai đường thẳng đồng phẳng ta có thể dùng c
Trang 1A – ĐẠI SỐ.
Chương IV: GIỚI HẠN.
I – Giới hạn dãy số.
Lý thuyết:
1) Các giới hạn đặc biệt.
1) lim
2) lim k ;
C C
C
k Z n
3) lim 0; 1 4) lim ; 1 5) lim ;
n
n
k
n k Z
2) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn : 1 ; 1
1
u
q
Với S u 1u2u3 u n
3) Định lý:
lim
lim
lim
n
n n
n n
n
n n n
a
u a
u
b v
v
u
v a
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
2
2
4
lim
4 5
n n
n n
b) limn 1
n
c) lim 2 1
2 3
n n
2 5
n n
e) lim(n3 6n 5) f) lim 2 5 4
4 5
n
n n
2 5
) lim
2 2009
n n g
n n
3 2
2 10 ) lim
2 2009
n n h
n
k n n n (HD: nhân với lượng liên hợp)
l n n n (HD: Đặt n làm nhân tử chung)
m) lim1 4
1 4
n
n
1 3 4
(HD: chia cả tử và mẫu cho 4 n áp dụng: lim q n 0; q 1)
Bài 2: Tính tổng:
a) 9 3 1 13
3n
S b) 1 1 1 11
2 4 2n
S c) 1 1 12 ( 1)1
n n
S Bài 3: Một cấp số nhân có 1 3
1 1;
16
u u Tính S u 1u2 u n ?
Trang 24) lim k
(k là số chẵn).
2) Giới hạn một bên:
Nếu 0 0
lim ( ) lim ( )
lim ( )
Nếu 0 0
lim ( ) lim ( )
lim ( )
x x f x
3) Một vài quy tắc về giới hạn vô cực.
0
lim ( )
x x f x
lim ( )0
x x g x
lim ( ) ( )0
x x f x g x
0
lim ( )
x x f x
lim ( )0
x x g x
Dấu của
( ) lim ( )
x x
f x
g x
L>0
0
Trang 3Bài 1: Tính các giới hạn sau:
10
0
1
2
2
2
2
1
2
1
3
1.lim( 2009)
2 1
2.lim
2
3 2
3.lim
2
2 3
4.lim
8 3
5.lim
2 3
2 1
6
1
7 lim
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
lim
x
x x
x x
4
2
3
2
2
0 10
8 lim
9 lim
10 lim
2 2
3 2
11 lim
3 1
3 2
12 lim
3 1 1 13.lim 2
14 lim ( 2009)
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x 2
x 2
10
x 0
1
1 2
2
2 7 15
2
2 7 16
2
1 1 17
3 3
18 lim
1
3 3
19 lim
1
20 lim ( 3 2 )
21 lim ( 3 2 )
lim lim lim
x
x
x
x
x x x x
x x x x x x
Bài 2: Cho hàm số:
2 1 , 1 ( )
5 3, 1
x x
f x x
x x
Tính: xlim ( ); lim ( );lim ( )1 f x x1 f x x1 f x (nếu có)
Bài 3: Cho f(x) = |x – 2| + 1 Tính: xlim ( ); lim ( );lim ( )2 f x x2 f x x2 f x ( nếu có)
III – Hàm số liên tục.
Phương pháp:
* Hàm số f(x) liên tục tại xo xlim f (x) f (x )xo o
* Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b).
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 0:
2 2
, 0 ( )
5 2, 0
x x
x
x x
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 0: ( ) 2 2 , 0
1, 0
x a x
f x
x x x
Bài 3: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x0 = 1:
2 1 , 1
, 1
x x
f x x
x a x
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm thuộc (-1; 1): x4x3 3x2 x 1 0
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1): 4x42x2 x 3 0
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x5 5x3 4x 1 0
Trang 4Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong.
Phương pháp: Phương trình tiếp tyến có dạng: y- y0 = f’(x0)(x – x0)
Bài 1: Cho đường cong (C): y = x3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
a) Tại M(-1; -1)
b) Tại điểm có hoành độ bằng 1
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
d) Tại giao điểm của (C) với trục hoành
Bài 2: Cho đường cong (C): 2
2
x y x
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
Dạng 2: Tính đạo hàm dựa vào quy tắc.
Lý thuyết:
1) Quy tắc tính đạo hàm:
'
2
'
2
' ' '
( ) ' '
( ) ' ' '
u v w u v w
ku ku
uv u v uv
u u v uv
v
v v
y y u
2) Bảng đạo hàm:
1
'
2
'
( ) '
1 2
x nx
x
x
1
'
2
'
( ) ' '
' 2
u nu u
u
u u
u
2
2
(sin ) ' cos
(cos ) ' sin
1 (tan ) '
cos 1 (cot ) '
sin
x
x x
x
2
2
(sin ) ' 'cos (cos ) ' 'sin
' (tan ) '
cos ' (cot ) '
sin
u u
u u u
u
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Trang 51
4
3 ( 1)( 2)
4 ( 1) (( 2)
1
5
6 5
y x x
y x x
y
x
2
2
2
2
1 6
3 4
2 3 7
2 1 8
2 1
2 1 9
2
y
x x x y x x y x
x x y
x
2
2
2
1 12
1 1 13
1 14
x y x y
y
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sau:
1 2sin 3cos
sin cos
2
sin cos
3 cos 2 cos3
y
2
3
2
4 (1 cot )
5 cot 2
4
6 2 tan
2
7 3sin 2sin
8 1 cos
2
x y
y y ax
( a là hằng số)
Dạng 3: Đạo hàm cấp hai.
Phương pháp: y(n) = (yn – 1)’
Bài 1: cho hàm số: y = acosx + bsinx (a; b là các hàng số tùy ý) Chứng minh: y” + y = 0
Bài 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
2
2
1
2
1
3 3 3
3
y x x
x
y
x
x x
y
x
2
4
5
6 .sin 2
y ax bx c
y ax bx cx d
y x x
7 sin 2
8 cos 1 9
y x
Bài 3: Chứng tỏ rằng mỗi hàm số sau đây thõa mãn một hệ thức tương ứng:
1.y 2x x y y ; " 1 0 3 2
2 ; 2( ') ".( 1)
4
x
x
B – HÌNH HỌC.
Bài 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Phương pháp:
1) Các quy tắc về vecto:
a ) Quy tắc 3 điểm: AB BC AC AB OB OA ;
.
Trang 6 Ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mp.
( cặp (m; n) là duy nhất).
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Chứng minh rằng: SASCSBSD
Bài 2: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM 3MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho NB 3NC Chứng minh rằng ba vectơ AB,DC,MN đồng phẳng
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông
ABCD và A’B’C’D”
a Hãy biểu diễn các vectơ AO , AO' theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đó
b Chứng minh rằng: ADD'C' D'A' AB
Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Trên các cạnh AC và
BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho k( k 0 )
BD
BN AC
AM
Chứng minh răng ba vectơ PQ,PM,PN
đồng phẳng
Bài 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp:
Cách 1: Chứng minh một trong hai đường thẳng ấy vuông góc với mp chứa đường thẳng còn lại.
Cách 2: Nếu hai đường thẳng đồng phẳng ta có thể dùng các phương pháp trong hình học phẳng.
Cách 3: dùng định lý ba đường vông góc.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều.
a Chứng minh rằng AB và CD vuông góc với nhau
b Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA Chứng minh răng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh rằng
đường thẳng AO vuông góc với đường thẳng CD
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DA’
b Chứng minh BD AC’
Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Bài 5: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, BC, AD và có MN =
PQ Chứng minh rằng AB CD
Bài 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 a Tính góc giữa hai vectơ AB và SC
b Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC
Bài 7: Cho tứ diện ABCD trong đó AB AC, AB BD Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD
Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau
Bài 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp: Chứng minh đường thảng a vuông góc với mp(P)?
Cách 1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b//(P).
Cách 3: Chứng minh a vuông góc với (Q)//(P).
Trang 7Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA (ABCD) Gọi H, I và K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên cạnh SB, SC và SD
a Chứng minh: BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC)
b Chứng minh: SC (AHK) và điểm I thuộc (AHK)
c Chứng minh: HK (SAC), từ đó suy ra HK AI
Bài 2: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD.
a Chứng minh SO (ABCD)
b Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC Chứng minh rằng IK (SBD) và IK (SD)
Bài 3: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Kẻ OH vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại H Chứng minh:
a OA BC, OB CA, OC AB
b H là trực tâm của tam giác ABC
c 12 12 12 12
OC OB
OA
Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA (ABC) Gọi
D là điểm đối xứng với điểm B qua trung điểm O của cạnh AC Chứng minh rằng: CD CA và CD (SCA)
Bài 5: Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khac nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ
diện ABCD Gọi I là trung điểm của cạnh BC
a Chứng minh: BC AD
b Gọi AH là đường cao của tam giác ADI Chứng minh AH (BCD)
Bài 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp:
Cách 1: Chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.
Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mp bằng 900.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB (BCD) Trong tam giácBCD vẽ các đường cao BE; DF cắt nhau tại O
Trong (ADC) vẽ DK vuông góc với AC tại K Chứng minh:
a) (ADC) (ABE)
b) (ADC) DFK)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a M; N là hai điểm nằm trên cạnhBC; DC sao cho
3
;
BM DN Chứng minh rằng: (SAM) (SMN)
Bài 5: KHOẢNG CÁCH
Phương pháp:
Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d: Kẻ MHd (Hd) Khi đó MH chính là khảng cách cần tìm.
Dạng 2: Tính Khoảng cách từ điểm M đến mp(P): Kẻ MH(P) với H(P) Tính MH.
Dạng 3: Tính khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó
Cách 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
Trang 8Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a O là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh: SO (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a Gọi I là trung diểm của
BC Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng:
a) OA và BC
b) AI và OC
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA (ABCD) và SA = a Tính khoảng
cách giữa các cặp dường thẳng:
a) SB và CD
b) SC và BD
c) SC và AB