SKKN Khai thac va phat trien bai toan.doc

Cơ sở lý luận: Môn toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng toán học cùng với phơng pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác , môn toán

viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn

Trờng THCS Cẩm Giàng

tổ khoa học tự nhiên

chuyên đề

Khai thác và phát triển

các bài toán

từ một bài toán đơn giản

Môn: Toán 6 Ngời thực hiện: Phạm Văn Đại

Năm học: 2006 – 2007 2007

A: lý do chọn đề tài

I Cơ sở lý luận:

Môn toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng toán học cùng với phơng pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác , môn toán là công cụ của nhiều ngành khoa học

Môn toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phơng pháp, phơng thức t duy và hoạt động nh toán học hoá tình huống thực

tế, thực hiện và xây dựng thuật toán ,phát hiện và giải quyết vấn đề Những kỹ năng này rất cần cho ngời lao động trong thời đại mới

Môn toán góp phần phát triển nhân cách con ngời , ngoài việc cung cấp những kiến thức , kỹ năng toán học, môn toán góp phần phát triển

năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát hoá

Ta thấy đợc môn toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong kỹ thuật Vì vậy ngời thầy phải có phơng pháp dạy học để phát huy đợc tính tích cực học tập của học sinh ,nhất là học sinh giỏi

Theo nh yêu cầu của bộ môn toán nói chung , môn toán 6 nói riêng ,mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai thác sâu bài tập và thực hành Trong mỗi bài tập , ngời thầy phải giúp hoc sinh phân tích từng khía cạnh của bài toán , rồi khai thác phát triển bài toán đó , thậm trí phải lật ngợc lại vấn đề Nếu làm đợc việc đó thì học sinh càng hiểu sâu sắc bài toán , dạng toán Từ đó sẽ kích thích

đ-ợc tính tò mò , khơi dậy cho học sinh tính sáng tạo, khai thác đđ-ợc tiềm năng về môn toán của học sinh

Trong kho tàng toán học có vô vàn những bài toán hay trong đó có hai bài toán tính tổng :

A=

100 99

1

3

.

2

1

2

.

1

1







A=1.2+2.3+ +99.100

Đợc áp dụng rộng rãi , nếu khai thác đợc bài toán này ta thấy đợc nhiều

điều thú vị

Với lý do đó tôi chọn viết chuyên đề “Khai thác và phát triển các bài toán từ một bài toán đơn giản”

II Cơ sở thực tiễn :

a Đối với học sinh :

Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi khi giải xong bài toán là đã bằng lòng với kết quả đó Chính vì lý do đó nếu thay đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng Cụ thể bài toán tính tổng :

100 99

1

3

.

2

1

2

.

1

1





 Nếu ta thay đổi 1.2=2;2.3=6; ;99.100=9900 Bài toán trở thành tính tổng A= .

9900

1

6

1 2

1







Thì học sinh lúng túng mặc dù đã biết cách giải bài toán trớc đó Trong thực tế nếu biết khai thác và phát triển bài toán này thì ta thấy bái toán rất hay

b Đối với bản thân :

Xuất phát từ việc giảng dạy hai bài toán tính tổng:

100 99

1

3

.

2

1

2

.

1

1





A=1.2+2.3+ +99.100

Là những bài toán đợc áp dụng rộng rãi trong toàn cấp học Mặt khác hai bài toán này còn có sự tơng đồng về cách khai thác và phát triển

Nếu càng khai thác ta càng thấy nhiều bài toán có nhiều cách giải độc

đáo ,các cách giải này lại có mối quan hệ dàng buộc lẫn nhau

b biện pháp thực hiện Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy và học cụ thể là đối với các bài toán này , một trong các biện pháp thực hiện tốt nhất là phải xây dựng

hệ thống các bài tập hợp lô gíc Ta phải khai thác bài toán theo từng mảng ,mỗi mảng ta lại chia thành từng phần ,sao cho mỗi phần có sự liên kết chặt chẽ với nhau về cấu trúc của bài toán cũng nh về phơng thức giải toán

Đối với mỗi bài toán sau khi giải đều có phần nhận xét về thể loại và hớng phát triển Để thấy đợc sự tơng tự trong các bài toán hoặc thêm một vài dữ kiện , hoặc lật ngợc vấn đề để có đợc bài toán mới có nội dung phong phú và phù hợp hơn

Biện pháp cụ thể:

a:bài toán I:

Tính tổng :

100 99

1

3

.

2

1

2

.

1

1







Trong phần này có 9 bài toán đựơc khai thác từ bài toán I

b:bài toán ii :

Tính tổng :

A=1.2+2.3+ +99.100

Trong phần này cũng có 9 bài toán đợc khai thác từ bài toán II

Hai bài toán I và II đều thuộc dạng dẫy các phép toán viết theo quy luật Ta cũng có thể coi bài toán II là bài toán khai thác từ bài toán I vì

ta chỉ cần nghịch đảo mỗi số hạng của tổng A trong bài toán I là ta đợc bài toán II Hai bài toán này khi giải ta đều phải tách mỗi số hạng trong tổng thành hai số hạng có dấu khác nhau

Hai bài toán này ta thấy nhiều sự tơng đồng về cấu trúc ,cũng nh về cách khai thác

bài toán I Tính tổng

A=

100 99

1

3

2

1 2

.

1

1







Hớng dẫn:

Ta có:

2

1 1

1

2

.

1

1





3

1 2

1

3

.

2

1





100

1 99

1 100

.

99

1





Vậy

A=1-100

1 99

1

3

1 2

1 2

1











A=1-100

1

A=

100

99

Tổng quát :

B= ( 1 1) 1

3 2

1 2

.

1

1













n

n n

n

Nếu số hạng đẫu tiên của B không phải là

2 1

1

mà bắt đầu từ k(k11) Thì

C= ( 1 1)

) 1 (

1







 n n

k

C=n k(n k1)1

vớik  n

*Nhận xét :

Ta thấy:

1.2=2

2.3=6

3.4=12

99.100=9900

Vậy ta có bài toán :

Bài toán 1:

Hãy tính tổng :

D=

9900

1

12

1 6

1

2

1









Híng dÉn :

D=   

4 3

1 3 2

1 2

.

1

1

+

100 99 1

D=

100

99

* NhËn xÐt :

NÕu ta coi bµi to¸n I lµ bµi to¸n xu«i th× ta còng suy ra bµi to¸n

ng-äc

Bµi to¸n :2

T×m sè tù nhiªn a biÕt

1.2 2.3 3.4   a a.(  1) 100

Híng dÉn :

 

3

2

1

2

.

1

1

+ ( 1 1)  1

 a

a a

a

Nªn

100

99



a

a

VËy a=99

*NhËn xÐt:

Ta thÊy :

50

2.1 1 2 2.3

3 2 3.4

6 2

99.100 49 2









Vµ tÊt nhiªn cã bµi to¸n :

Bµi to¸n 3: TÝnh tæng :

1

3

1

1

1







Híng dÉn

F=

100 99

2

3 2

2 2

.

1

2







50

99

100

99

.

2

) 100 99

1

3 2

1 2 1

1 (

2













F

F

F

* Nhận xét :

Ta thấy

100

99

không là số nguyên từ đó có đợc bài toán

Bài toán 4 :Chứng minh rằng :

A=

100 99

1

3 2

1 2

.

1

1





Hớng dẫn :

Ta tính A=

100 99

Tổng quát :

B= ( 1 1)

3 2

1 2

.

1

1









n n

cũng không là số nguyên

* Nhận xét :

Ta thấy

1.2=2!

2.3=3!

3.4<4!

4.5<5!

99.100<100!

và đơng nhiên ta có bài toán

Bài toán 5: Chứng minh rằng :

! 100

1

! 4

1

! 3

1

!

2

1











Hớng dẫn :

Ta có :

G<

100 99

1

4 3

1 3 2

1 2

.

1

1









Vậy G<1

Tổng quát :

!

1

!

3

1

!

2

1









n

Cũng tơng tự ta có bài toán :

Bài toán 6: Chứng minh rằng :

100

1

3

1 2

1

2 2

2    



I

Hớng dẫn :

I<  

3 2

1 2

.

1

1

+

100

99 100 99

1



Vậy I<1

Tổng quát :

1 1

3

1

2

1

2 2

2    

n

* Nhận xét :

Khai thác bài toán này ta có :

10000

9999 100

1

1

9

8 3

1

1

4

3 2

1

1

2

2

2













100

1

3

1 2

1

2 2

2    

nên ta có bài toán :

Bài toán 7: Chứng minh rằng :

10000

9999

9

8

4

3









Hớng dẫn :

Ta có :

98 1 99 ) 100

1

3

1 2

1 (

99

100

1 1

3

1 1 2

1 1 1000

9999

9

8

4

3

2 2

2

2 2

2





































* Nhận xét :

100

1

3

1 2

1

2 2

2    



I

ta đợc bài toán :

Bài toán 8: Chứng minh rằng :

2 2 2

100

1

3

1 2

1









I không phải là số nguyên

Tổng quát :

2 2 12

3

1

2

1

n







không phải là số nguyên

* Nhận xét :

Ta thấy với 100 số tự nhiên lớn hơn 1 khác nhau a1 ,a2 , ,a100

100

2

2

2

1

3

1 2

1 1

1

1















a a

a

giúp ta tìm ra bài toán

Bài toán 9:

Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác nhau a1 ,a2 , ,a100sao cho :

1 1 12 1

100

2

2

2

1









a a

a

Hớng dẫn :

Ta có :

1

3

1 2

1 1

1 1

100 2

2 2

1



















a a

a

vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn điều kiện của đầu bài *Nhận xét :

Nếu ta nghịch đảo mỗi số hạng của bài toán I ta đợc bài toán mới.

bài toán II Tính tổng :

A=1.2+2.3+3.4+ +99.100

Hớng dẫn :

3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+ +99.100.3

3A=1.2.3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ +99.100(101-98)

3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101- 98.99.100 3A=99.100.101

A=99.100.101:3

A=333300

Tổng quát :

1.2+2.3+3.4+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2):3

Nếu tổng B có số hạng đầu tiên không phải là 1.2mà là k.(k+1) ta

có :

C=k(k+1)+(k+1)(k+2)+ +n(n+1)(n+2) =[n(n+1)(n+2)- k(k+1) (k+2)]:3

với nk

*Nhận xét :

Ta thấy :

1.2= 2

2.3=6

3.4=12

99.100=9900

Vậy ta có đợc bài toán khó hơn

Bài toán 1:

Tính tổng :

D=2+6+12+ +9900

Hớng dẫn :

D=1.2+2.3+3.4+ +99.100

D=333300

Nhận xét :

Ta coi bài toán II là bài toán thuận thì ta cũng suy ra bài toán đảo

Bài toán 2:

Tìm số nguyên a biết :

1.2+2.3+ +a(a+1)=333300

Hớng dẫn :

Ta có : 1.2+2.3+ +a(a+1) = a(a+1)(a+2):3

nên a(a+1)(a+2):3=333300

a(a a(a1)(a1)(a2)2)99990033330099.3.100.101.

Vậy a=99

*Nhân xét :

Ta thấy:

4950 2

100

.

99

6

2

4

.

3

3

2

3

.

2

1

2

2

.

1









Vậy ta đợc bài toán :

Bài toán 3: Tính tổng :

E=1+3+6+ +4950

Hớng dẫn :

166650

333300 2

1

) 100 99

4 3 3 2 2 1

(

2

1

2

100 99

2

4 3 2

3 2 2

2

.

1



























E

E

E

E

*Nhận xét :

Ta thấy :

2

100 99 100

3

2

1

2

4 3 3

2

1

2

3 2

2

1

2

2

.

1

1























VËy ta ph¸t triÓn tõ bµi to¸n trªn thµnh bµi to¸n

Bµi to¸n 4: TÝnh tæng :

100 99

4 3 3 2 2 1

) 100

3 2 1 (

) 3 2 1 ( )

2

1

(

1

































F

Híng dÉn :

2

1

100 99

3 2 2

.

1

2

100 99

2

3 2 2

2

.

1

















F

F

*NhËn xÐt :

Do:

1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+3+ +100)

=1.100+2.99+3.98+ +99.2+100.1

Ta l¹i ph¸t triÓn bµi to¸n thµnh bµi to¸n kh¸c

Bµi to¸n 5:

Chøng minh r»ng:

100 99

3 2 2 1

1 100

97 3 99 2 100

.

1

















G

cã gi¸ trÞ b»ng 1

C¸ch gi¶i t¬ng tù

* Nh©n xÐt :

H¬n n÷a :

2.99=2(100-1)=2.100-1.2

3.98=3(100-2)=3.100-2.3

100.1=100(100-99)

VËy ta h×nh thµnh nªn bµi to¸n

Bµi to¸n 6:

TÝnh tæng :

I=1.100+2.99+3.98+ +100.1

Híng dÉn:

I=1.100+2.99+3.98+ +100.1

=1.100+2.100-1.2+3.100-2.3+ +100.100-99.100 =100(1+2+3+ +100)-(1.2+2.3+3.4+ +99.100)

171700 333300 505000 333300 2 100 101 100      * Nhận xét :

99 100 99 ) 1 100 ( 99 99 99 99

2 2 1 ) 1 3 ( 2 2 2 2 1 2 1 ) 1 2 ( 1 1 1 1 2 2 2                Vâỵ ta lập đơc bài toán mới thông qua bài toán II Bài toán 7: Tính tổng: H =1 2  2 2  3 2   99 2 Hớng dẫn: H =1.(2-1)+2.(3-1)+ +99(100-1) =1.2-1+2.3-2+ +99.100-99 = 1.2+2.3+ +99.100- (1+2+3+ +99)

=333300 -

2 100 99 = 333300-4950 =328350

*Nhận xét :

Ta đã thấy :

H  1 2  2 2   99 2  328350

Vậy K  2 2  4 2  6 2   198 2bằng bao nhiêu ?

Bài toán 8: Tính tổng :

K   22 42  198  2

Hớng dẫn :

2 2 ( 1 2 2 2 99 2 )









K

K=4.328350

K=1313400

* Nhận xét :

Ta chia H cho 4 đợc

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

) 5 , 45 (

1 ) 5 ,

0

(

) 2

99 (

) 2

2 ( ) 2

1

(

2

99

2

2 2

1

























M

M

M

Bài toán 9:

Hãy tính :

M  ( 0 5 ) 2  1 2   ( 45 , 5 ) 2

Đáp số=328350:4=8285,5

G điều kiện áp dụng Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những điều kiện sau:

+Đối với học sinh :

Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các bài toán khác

Phải có lòng say mê học tập không ngại khó không ngại khổ ,đợc đầu

t thời gian , thờng xuyên đọc các tài liệu tham khảo

+Đối với giáo viên :

Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tha khảođểnghiên cứu và áp dụng vào các bài toán dạng toán cụ thể

Phải có trìng độ chuyên môn vững vàng để không những có nhữnh lời giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành những bài toán hay hơn ,đa dạng hơn

kết luận Trên đây là toàn bộ kinh nghiệm của tôi đó là những ý kiến nhỏ đợc rút ra từ việc học hỏi và giảng dạy Với thời gian nghiên cứu có hạn nên mức độ nghiên cứu cha sâu nên bản kinh nghiệm này còn nhiều hạn chế Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bản kinh nghiệm đợc hoàn thiện và áp dụng có kết quả tốt

C Nhận xét – góp ý

dù giê minh ho¹

rút kinh nghiệm thực hiện chuyên đề

Bµi to¸n 1: H·y tÝnh tæng :

D=

9900

1

12

1 6

1

2

1









Bµi to¸n : 2 T×m sè tù nhiªn a biÕt

1.2 2.3 3.4   a.(a 1 ) 100

Bµi to¸n 3: TÝnh tæng :

1

3

1

1

1







Bµi to¸n 4 :Chøng minh r»ng :

B= ( 1 1)

3 2

1 2 1

1









n

n kh«ng lµ sè nguyªn

Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng :

! 100

1

! 4

1

! 3

1

!

2

1











Bµi to¸n 6: Chøng minh r»ng :

100

1

3

1 2

1

2 2

2    



I

Bµi to¸n 7: Chøng minh r»ng :

10000

9999

9

8

4

3









Bµi to¸n 8: Chøng minh r»ng :

2 2

2

1

3

1

2

1

n





 kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn

Bµi to¸n 9:

T×m c¸c sè tù nhiªn lín h¬n1 kh¸c nhau a1 ,a2 , ,a100 sao cho

1 1 12 1

100

2

2

2

1









a a

a

Bµi to¸n 1:

TÝnh tæng :

D=2+6+12+ +9900

Bµi to¸n 2:

T×m sè nguyªn a biÕt :

1.2+2.3+ +a(a+1)=333300

Bµi to¸n 3: TÝnh tæng :

E=1+3+6+ +4950

Bµi to¸n 4: TÝnh tæng :

100 99

4 3 3 2 2 1

) 100 3 2 1 (

) 3 2 1 ( )

2

1

(

1

































F

Bµi to¸n 5:

Chøng minh r»ng:

100 99

3 2 2 1

1 100

97 3 99 2 100

.

1

















G

cã gi¸ trÞ b»ng 1

Bµi to¸n 6: TÝnh tæng :

I=1.100+2.99+3.98+ +100.1

Bµi to¸n 7:

TÝnh tæng:

H =1 2  2 2  3 2   99 2

Bµi to¸n 8: TÝnh tæng :

K   22 42   1982

Bµi to¸n 9: H·y tÝnh :

M  ( 0 5 ) 2  1 2   ( 45 , 5 ) 2