SKKN năm 3/2010Nhằm mục tiêu củng cố, đào sâu kiến thức để phát triển tư duy cho học sinh HS, người giáo viên GV đứng lớp cần có nhiệm vụ làm cho HS hiểu rõ được sự cần thiết phải khai t
Trang 1SKKN năm 3/2010
Nhằm mục tiêu củng cố, đào sâu kiến thức để phát triển tư duy cho học sinh (HS), người giáo viên (GV) đứng lớp cần có nhiệm vụ làm cho HS hiểu
rõ được sự cần thiết phải khai thác từ một bài toán cơ bản ở sách giáo khoa (SGK) đã được giải quyết
Để giải quyết được một bài toán, nói chung, HS chỉ cần xác định ba vấn
đề sau:
- Thể loại bài toán
- Nội dung cần giải quyết của bài toán
- Phương pháp và phương tiện để giải quyết bài toán
Nhưng để giải quyết tốt bài toán đó (tức là khai thác triệt để nó) thì GV cần giúp
HS tìm hiểu thêm:
- Nguồn gốc xuất phát của bài toán
- Tính khái quát của bài toán (tức là mối liên quan giữa các yếu tố có tính chất quy luật trong bài toán)
- Tính ứng dụng của bài toán
Xuất phát từ yêu cầu đó, trong các giờ luyện tập, ôn tập tôi luôn cố gắng yêu cầu HS (nhất là đối tượng HS khá-giỏi) cần khai thác thêm bài bài toán dưới nhiều hình thức như: Bổ sung thêm hay thay đổi giả thiết (GT) và kết luận (KL) của bài toán, xác lập bài toán đảo, bài toán tương tự hay bài toán tổng quát; v.v
Tôi nghĩ, nếu làm tốt điều đó tức là đã góp phần thực hiện tốt mục tiêu dạy-học, thực hiện tốt mục tiêu đổi mới phương pháp dạy-học hiện nay là: Dạy
- học tích cực nhằm phát huy tính độc lập sáng tạo của HS
Nội dung đề tài này là một phần (Một bài toán đại số) trong tuyển tập các bài toán đã được khai thác từ SGK và SBT gồm ba phân môn : Hình học- Số Học và Đại số Xin được giới thiệu cùng đồng nghiệp các bài toán được khai thác từ Bµi to¸n 32 trang 50 - SGK to¸n 8 tËp 1- (tiết 28,29 PPCT 11/2007)
Trang 2
-B CƠ SỞ Lí LUẬN
Sẽ có hiệu quả tốt, nếu nh biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tơng tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, rèn luyện một phơng pháp chứng minh nào đó
Quan sát đặc điểm bài toán và tổng quát hóa bài toán đó là vô cùng quan trọng, song quan trọng hơn là sự khái quát hớng suy nghĩ và phơng pháp giải Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó Do đó hớng suy nghĩ và phơng pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa không kém Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát đợc hớng suy nghĩ và cách giải quyết vấn đề là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải quyết vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra
Tóm lại, sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác hớng suy nghĩ và cách giải; lật ngợc vấn đề hoặc tổng quát hóa bài toán đó (nếu có thể) Để khai thỏc triệt để một bài toỏn GV cũng cần giúp HS tìm ra các đặc điểm của bài toán, các quy luật logic của mối quan hệ giữa các yếu tồ trong bài toán đó
Trong thực tế HS chỉ “giải xong” một bài toỏn hoặc GV hướng dẫn cho
HS “giải xong” bài toỏn đú là xem như đó hoàn thành nhiệm vụ Nhưng cú những bài toỏn khụng thể “giải xong” được nếu GV khụng giỳp cỏc em tỡm ra quy luật để giải bài toỏn tổng quỏt hay tỡm ra phương phỏp giải cỏc dạng bài tập tương tự v.v
Hiện nay trong chương trỡnh sỏch giỏo khoa (SGK) mụn toỏn ở cấp THCS cú rất nhiều vấn đề kiến thức cần khai thỏc để khỏi quỏt hoỏ thành những bài toỏn tổng quỏt Tuy nhiờn chỳng ta cần suy nghĩ là nờn khai thỏc như thế nào cho hợp lý! Khai thỏc đến đõu, ở thời điểm nào, nhằm mục đớch nào và cần yờu cầu rừ cho từng đối tượng HS: HS trung bỡnh làm đến đõu và HS khỏ giỏi làm những gỡ ?
Nếu chỉ giới hạn trong một tiết luyện tập thỡ cũng khụng đủ thời gian khai thỏc triệt để một bài toỏn ở SGK Tuy nhiờn, nếu biết tận dụng thời gian trong cỏc chương trỡnh dạy chủ đề tự chọn, phụ đạo học sinh HS yếu, bồi dưỡng HS giỏi, bồi dưỡng HS thực hành giải toỏn nhanh trờn mỏy tớnh Casio hoặc ụn tập thi vào lớp 10, v.v thỡ việc khai thỏc triệt để một bài toỏn trong SGK là rất thuận lợi và cú nhiều ý nghĩa rất lớn Giỏo viờn cần vận dụng hợp lý để soạn – dạy cỏc chương trỡnh này nhằm giỳp HS phỏt huy trớ lực và phỏt triển tư duy toỏn học một cỏch tốt nhất
I Bài toán 1: Bài toán 32 trang 50 - SGK toán 8 tập 1:
Trang 3“Đố: Đố em tính nhanh đợc tổng sau:
) 6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 (
1 )
4 )(
3 (
1 )
3 )(
2 (
1 )
2 )(
1 (
1 )
1
(
1
x
Hớng dẫn: ( 1 1) 1 11
x x
( 1)(1 2) 11 12
x
( 5)(1 6) 15 16
x
Suy ra tổng S =
6
1 1
x
x = ( 6 6)
x x
II Hớng khai thác:
1 Không có thời gian và cũng không yêu cầu để giải quyết bài tập này trên lớp
Giáo viên có thể hớng dẫn các em HSKG về nhà giải bài này nhờ tham khảo:
Bài toán 1 -1: Bài tập 28 trang 21 SBT toán 8 tập 1
a) Chứng minh: 1 11 ( 1 1)
x x x
b) Đố em tính nhẩm đợc tổng sau:
) 5 )(
4 (
1 )
4 )(
3 (
1 )
3 )(
2 (
1 )
2 )(
1 (
1 )
1
(
1
x
x
2 Còn nếu để rèn thêm cho HS kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì
“bung” các mẫu ra:
Bài toán 1 -2: Rút gọn biểu thức
30 11
1 20
9
1 12
7
1 6
5
1 2
3
1
1
2 2
2 2
2
2
x
3 Nếu muốn giúp HS vận dụng bài toán 1 vào giải phơng trình thì thêm vế
phải vào chẳng hạng nh:
Bài toán 1 -3: Giải các phơng trình
a) ( 1 1) ( 1)(1 2) ( 2)(1 3) ( 3)(1 4) ( 4)(1 5)
x
5
1
x (1)
ĐK : x 0; - 1 ; -2; -3; - 4; -5 (*)
b)
3
1 12 7
1 6
5
1 2
3
1 1
2 2
2
Hớng giải:
a) Rút gọn vế trái nh bài toán 4 ta đợc VT =
5
1 1
x x
) 5 (
5 0 5
2 1
x x
x x
Vậy PT (1) có một nghiệm x = 5
b) Phơng trình (2) =>
3
1 4
1 1
x
x => (x-2)(x+6) = 0
Trang 4=> x1 = 2; x2 = -6 (Thỏa mãn ĐK (*) )
Vậy PT (2) có hai nghiệm x = 2; -6
4 Muốn dẫn HSG vào dạng toán cực trị hãy yêu cầu các em giải bài toán sau:
Bài toán 1 -4: Tìm GTLN của biểu thức
A = ( 1 1) ( 1)(1 2) ( 2)(1 3) ( 3)(1 4) ( 4)(1 5)
x
x
Hớng giải: Rút gọn A =
x
5 2
Vì x2 + 5x = (x +
2
5 )2 – 4
25 –
4
25 x Nên A 5 : (- 25/4) = - 4/5 Vậy Amax= - 4/5 tại x = -5/2
5 Tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở đây thì không có gì đáng nói Chúng ta sẽ tìm
“họ hàng thân thích” của bài toán 4 nếu chú ý đến đặc điểm và quy luật dới đây:
Xét đặc điểm của các mẫu ở mỗi phân thức: Mỗi mẫu thức là tích của hai nhân
tử “hơn kém nhau 1 đơn vị ”
Từ đặc điểm của mỗi phân thức trong tổng để tìm ra quy luật:
-Mỗi phân thức trong tổng bằng hiệu của hai phân thức đều có tử thức bằng
1 và mẫu thức chung là tích của hai mẫu thức thành phần (mẫu thức của phân
thức trừ và phân thức bị trừ)
-Phân thức trừ trong hiệu đứng trớc là phân thức đối của phân thức bị trừ trong hiệu liền sau
6 Với quy luật trên GV yêu cầu HS giỏi giải:
Bài toán 1 -5: Rút gọn biểu thức sau:
) 2010 )(
2009 (
1
) 3 )(
2 (
1 )
2 )(
1 (
1 )
1
(
1
x
x
7 áp dụng quy luật trên vào thực hành trên máy tính Casio để giải:
Bài toán 1 -6: Tính giá trị biểu thức S tại x =
2010 1
) 3 )(
2 (
1 )
2 )(
1 (
1 )
1
(
1
x
x
Kết quả: S =
2010
2010
x x
Tại x =
2010
1
thì S = 2009,999502
8 ứng dụng quy luật trên vào tính giá trị các biểu thức số:
Bài toán 1 -7: Tính tổng
S =
2010 2009
1
5 4
1 4 3
1 3
.
2
1
2
.
1
1
Trang 5Kết quả: S =
1-2010
2009 2010
1
9 Tổng quát hóa bài toán 1-3 ta có:
Bài toán 1 - 8: Tính tổng
S =
1
1
5 4
1 4 3
1 3
.
2
1
2
.
1
1
n
n với n N*
Kết quả: S = 1 -
1 1
1
n n
10 Dùng phép tơng tự ta xét đặc điểm mẫu các phân thức: Mỗi phân thức có
tử thức bằng 1 và mẫu thức là tích của hai nhân tử “hơn kém nhau 2 đơn vị ”
Hoặc “hơn kém nhau 3; 4; 5; đơn vị ”để từ đó ta có các dạng bài toán khác:
Bài toán 1 - 9: Tính các tổng sau:
A =
2011 2009
1
7 5
1 5
.
3
1
3
.
1
1
B =
2 12 3
1
7 5
1 5
.
3
1
3
.
1
1
n
Hớng giải:
3
1
1
1
2
1
3
.
1
1
5
1 3
1
2
1
5
.
3
1
2011
1 2009
1 2
1 2011
.
2009
1
Suy ra A =
2011
1005 2011
1 1 2
1
B =
3 2
1 3
2
1 1 2
1
n
n n
Bài toán 1 - 10: Tính các tổng sau:
M =
3 23 5
1
11 8
1 8
5
1
5
.
2
1
n
HD: Khai triển tơng tự ta có kết quả: M =
) 5 3 ( 2
1 5
3
1 2
1 3
1
n
n n
11 Nếu tiếp tục biến đổi bằng cách thay tử của các bài toán 1-1 đến 1-5 thành những số khác 1 và tổng quát lên ta đợc những bài toán thú vị hơn
Bài toán 1 -11: Tính tổng sau:
S =
1 3
2 2
1 . b k.b k
a b
b
a b
b
a
với bk+1 - bk = b và a; b ; k N*
Trang 6HD: Ph©n tÝch t¬ng tù :
1 1
a b
b
a
và được kết quả
1 1
1 1
k
b b
b
a
1 1
1 1 k
k
b b
b b b a
12 Nếu thay đổi mẫu thức thành tích 3;4;5 nhân tử “cách đều nhau” hay lũy thừa các mẫu thức lên thì có đi quá đà không ? Nhờ quý thầy cô nhắc giúp nhé !
Bµi to¸n 1 - 12: (Đề thi HSG lớp 8 giải toán nhanh trên máy tính Casio của Sở
GD&ĐT Quảng Nam năm học 2008-2009)
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2007.2008.2009
Giải:
a) 2 M =
2009 2008 2007
2
4 3 2
2 3 2 1
2
=
2009 2008
1 2
1 2009 2008
1 2008
2007
1
4 3
1 3 2
1 3
.
2
1
2
.
1
1
=> M = 0,249999876 =
8068144 2017035
Bµi to¸n 1 - 13: Tính N = 1.21.3 2.31.4 ( 1)1( 1)
n n n
Hướng giải:
Chú ý rằng ( 1)2( 1) ( 11) ( 11)
n
) 1 (
1 2
1
2
1
n n
Bµi to¸n 1 - 14: TÝnh
E =
) 1 (
1 2
3 2
5 2
.
1
3
n n
n
với n = 1;2;3
Híng gi¶i:
Chú ý rằng
1
1 1 1
1 2
n n n
n n
Thì E = 1 - 2 12
2 1
1
n n n
13 Nếu áp dụng phương pháp của Bài toán 4-8 vào giải phương trình ta có
Bµi to¸n 1 -15: Gi¶i ph¬ng tr×nh Èn x sau ®©y:
Trang 7 2011
2009 2
1
1
10
1
6
1
3
1
x
x (1) ĐK : x 0 và x -1 (*) Híng gi¶i :
Ph¬ng tr×nh (1) <=>
2011
2009 1
2
5 4
2 4 3
2 3 2
2
x x
=> 2
2011
2009 1
1 2
1
x =>
1-2011
2009 1
2
x =>
2011
2 1
2
x
=> x = 2010 (Tháa m·n §K (*) )
14 Bài toán 1 có liên quan gì đến bất đẳng thức hay không ?
- Nếu tính tổng nhiều quá dễ nhàm chán thì thay đổi sơ kết luận của bài toán 1 –
8 để quay về bất đẳng thức cũng được
Bài toán 1 – 8/1: So sánh tæng S với 1
S =
1
1
5 4
1 4 3
1 3
.
2
1
2
.
1
1
n
n víi n N*
KÕt qu¶: S = 1 -
1 1
1
n
n => S < 1
- Hoặc khai thác thêm bài toán 1-13 ta được một bài toán cũng thường làm cho
ta đau đầu nếu chủ quan không chuẩn bị trước khi lên lớp bồi dưỡng:
Bài toán 1 – 16a: Chứng minh rằng
) 1 2 ( ) 1 2 (
1
7 5 3
1 5
.
3
.
2
1
3
.
1
.
1
1
n n
3
2 víi n N*
Hướng giải:
Vì (2 1)1(2 1) (2 1)(12 1)
=>S= (2 1)1(2 1)
7 5 3
1 5 3 2
1 3
.
1
.
1
1
n n
) 1 2 )(
1 2 (
1
7 5
1
5
.
3
1
3
.
1
1
n
1 2
1 1 ) 1 2 )(
1 2 (
2
7 5
2 5 3
2 3
.
1
2
n n
n
=> S <
3
2
(đpcm)
- Còn nếu chú ý rằng n > 1 thì (2n-1)n(2n+1) > n(n+1)(n+2)
=> 2 1 12 1 11 2
n và kết hợp với bài toán 1 – 13 ta được:
Bài toán 1 – 16b: Chứng minh rằng
) 1 2 ( ) 1 2 (
1
7 5 3
1 5
.
3
.
2
1
3
.
1
.
1
1
n n
n < 125 víi n N*, n >1
Trang 8Hướng giải:
Vỡ (2 1)1(2 1) ( 11)( 2)
=>S = (2 1)1(2 1)
7 5 3
1 5 3 2
1 3
.
1
.
1
1
n n n
< ( 11)( 2)
5 4 3
1 4 3 2
1 3
.
2
.
1
1
n n
Mà P = 21 12 11 241
n
n nờn S < 125 (đpcm)
1II BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài toỏn 1 – 17:
Cho biểu thức A =
1
1 1
x x
a) Tỡm ĐKXĐ của A
b) Tớnh giỏ trị của A tại x = 1; 2; 3 ;4
c) Tỡm x biết A = 301
d) Cho M =
1
x
b x
a
Tỡm a và b khi M = 1 1
x x
Bài toỏn 1 – 18:
Cho cỏc biểu thức:
P =
3
1 6 5
1 2
3
1 1
2 2
2
x
Q = ( 2 2) ( 2)(2 4) ( 4)(2 6) 16
x
x
a) Rút gọn P và Q
b) Với giá trị nào của x thì P = Q
c) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên
Tỡm cỏch giải tổng quỏt cho cỏc bài toỏn sau:
Bài toỏn 1 – 19:
!
1
! 4
1
! 3
1
! 2
1
n
Bài toỏn 1 – 20: Tớnh tổng
2
1
5 3
4 4 2
3 3
.
1
n n n
với n = 1; 2; 3;
Trang 9b) P = 2 112 11
9 7
5 3 7 5
4 2 5
.
3
3
.
1
n n
n n
với n = 2; 3; 4;
Gơị ý:
a)
2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
1 2 2
1 2
n n n
n n
n
n n n
n
n
1 2
1 1 2
1 8
3 4
1 1 2 1
2
1 1
n n
n n
n n
Trong quá trình giảng dạy, luyện tập hay ôn tập cho HS thì việc khai thác một số bài toán trong SGK hoặc hướng dẫn cho các em khai thác các bài toán
đó sẽ tạo được nguồn cảm hứng sâu sắc khi học toán Đối với diện HS đại trà thì hơi khó khăn nhưng đối với HSKG thì rất bổ ích Từ một bài toán đã biết cách giải các em có thể giải quyết hàng loạt các bài toán khác cùng “họ hàng” ! Việc khai thác một bài toán nói chung và bài toán trong SGK nói riêng cũng là việc cần làm đối với GV toán và cũng như đối với bản thân tôi Bởi nó giúp cho ta nguồn tư liệu phong phú trong việc soạn giảng các chủ đề tự chọn; chương trình phụ đạo HS yếu kém cũng như bồi dưỡng HS giỏi, v,v
Việc tìm ra quy luật hay phương pháp giải một dạng toán nào đó cũng giúp
HS và GV phát hiện cách giải các dạng toán cùng “họ” một cách nhanh chóng gọn gàng và chính xác Hấp dẫn hơn là tập cho HSG khai thác bài toán Thầy – Trò cùng khai thác bằng cách thay đổi GT và KL của bài toán, tìm bài toán tương tự, bài toán tổng quát, v,v tất cả những điều đó không những gây cho
HS niềm đam mê học toán mà còn khiến bản thân tôi càng say mê nghiên cứu
bộ môn toán nhiều hơn
Đề tài này đã được cung cấp cho HS trong quá trình ôn tập phụ đạo-bồi dưỡng những năm qua, làm chuyên đề báo cáo trước tổ chuyên môn ở những năm trước, được bổ sung trong các năm gần đây và được sự thống nhất cao của đồng nghiệp trong đơn vị
Để khai thác một nội dung kiến thức nào đó được triệt để đòi hỏi người GV phải có sự chuẩn bị chu đáo và kỹ càng, đồng thời phải có nguồn tư liệu đồi dào phong phú Việc khai thác một bài toán phải xác định nhiều hướng khác nhau, nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng phải đảm bảo tính logich, tính khoa học và tính chính xác, tránh lung tung xa rời thực tế Cung cấp kiến thức cho đúng đối tượng HS mới phát huy được trí lực và phát triển được tính tự giác tích cực học tập của các em
Trang 10Tuy nhiên chắc vẫn chưa hoàn thiện như mong muốn và cũng không tránh
khỏi sai sót Kính mong quý thầy cô lãnh đạo cùng đồng nghiệp góp ý chân thành để bổ sung cho đề tài này được phong phú hơn, hoàn thiện hơn
Bản thân tôi rất mong được học tập các đề tài SKKN loại A cấp huyện hay cấp tỉnh của các tác giả được HĐKH cấp ngành chấm chọn hằng năm Mục đích là để áp dụng các đề tài đó trong quá trình dạy-học ở trường Hơn nữa đề tài được áp dụng rộng rãi trong đồng nghiệp thì giá trị của đề tài càng cao Có thể đưa lên Website của phòng GD& ĐT Thăng Bình cũng tốt hoặc photo gởi về các trường lại càng tốt Kính mong lãnh đạo ngành quan tâm
để mọi GV trong ngành được học hỏi thêm Xin cảm ơn !
1.Sách giáo khoa và sách bài tập môn toán lớp 8
2.Toán nâng cao THCS
3 Báo toán học và tuổi trẻ
4.Tập san “Thế giới trong ta”
5.Tập san “Toán tuổi thơ 2”
6 Đề thi chọn HSG các tỉnh thành phố
7 Đề thi vào các trường PTTH chuyên các tỉnh – thành phố
Trang
A Đặt vấn đề .3
B Cơ sở lý luận 4
C Cơ sở thực tiển 4
D Nội dung nghiên cứu 5
I Bài toán gốc 5
II Hướng khai thác bài toán gốc 5
III Bài tập áp dụng 11
E Kết quả nghiên cứu 12
F Kết luận 12
G Đề nghị .12
H Tài liệu tham khảo .13
I Mục lục .13