Dạng 5 : Biết một đỉnh và một đờng trung tuyến và một đờng phân giác VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy.. Lập phơng trình đờng thẳng qua A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích
Trang 1Các bài tập hình học phẳng
Dạng 1 : Biết một đỉnh của tam giác và hai đờng cao.
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(3;1) hai đờng cao trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d1) : 3x + 2y - 18 = 0 ; (d2) : x 5y + 9 =–
0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(-1;5) hai đờng cao trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d1) : 2x + y - 7 = 0 ; (d2) : 3x 2y + 17 =–
0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD3: Lập phơng trình các cạnh ∆ABC nếu cho B(- 4; - 5) và hai đờng cao có phơng trình: (d1): 5x + 3y - 4 = 0 và (d2): 3x + 8y + 13 = 0
VD4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho ∆ABC có đỉnh A(1; 0) và hai đ-ờng thẳng lần lợt chứa các đđ-ờng cao vẽ từ B và C có phơng trình tơng ứng là:
x - 2y + 1 = 0 và 3x + y - 1 = 0 Tính diện tích ∆ABC.
Dạng 2: Biết một đỉnh và hai đờng trung tuyến
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(3;1) hai đờng trung tuyến trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d1) : 8x + 5y - 46 = 0 ; (d2) : x + 7y
- 27 = 0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(-1;5) hai đờng trung tuyến trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d1) : 3x +8y - 30 = 0 ; (d2) : y - 4 =
0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
Dạng 3 : Biết một đỉnh và một đờng trung tuyến và một đờng cao
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(3;1); đờng cao trong tam giác tại B có phơng trình là : (d1) : 3x + 2y - 18 = 0 ; đờng trung tuyến trong tam giác tại C có phơng trình là : (d2) : x + 7y - 27 = 0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(-1;5) ); đờng cao trong tam giác tại B có phơng trình là : (d1) : 2x + y - 7 = 0; đờng trung tuyến trong tam giác tại C có phơng trình là (d2) : y - 4 = 0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD3: Lập phơng trình các cạnh của ∆ABC biết đỉnh C(4; -1) đờng cao và đờng trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phơng trình tơng ứng là (d1): 2x - 3y + 12 = 0 và (d2): 2x + 3y = 0
Dạng 4 : Biết một đỉnh và hai đờng phân giác
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(0;0) ); hai đờng phân giác trong của tam giác ABC lần lợt có phơng trình (d1) : 3x + y 4 = 0 ; –
(d2) : x + 2y - 3=0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(2;-1) ); hai đờng phân giác trong của tam giác ABC lần lợt có phơng trình (d1) : x -2y + 1 = 0 ;
(d2) : x + y + 3=0 Lập phơng trình cạnh BC của tam giác ABC.
Đáp số : 4x y + 3 = 0.–
VD3: Cho ∆ABC biết A(2; -1) và hai đờng phân giác của góc B, C có phơng trình (dB): x - 2y + 1 = 0 và (dC): x + y + 3 = 0 Lập phơng trình cạnh BC.
Dạng 5 : Biết một đỉnh và một đờng trung tuyến và một đờng phân giác
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(3;0) ); đờng phân giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d1) : 3x + y 4 = 0 ; đ– ờng trung tuyến của tam giác ABC tại C có phơng trình (d2) : 4x -3y = 0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(2;-1) ; đờng phân giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d1) : y 1 = 0 ; đ– ờng trung tuyến của tam giác ABC tại C có phơng trình (d2) : 6x -5y +3 = 0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
Trang 2Dạng 6 : Biết một đỉnh và một đờng cao và một đờng phân giác
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(2;-1) ; đờng phân giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d1) : y 1 = 0 ; đ– ờng cao của tam giác ABC tại C có phơng trình (d2) : 5x -2y -4 = 0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với điểm A(3;0) ); đờng phân giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d1) : 3x + y 4 = 0 ; đ– ờng cao của tam giác ABC tại C có phơng trình (d2) : 3x -4y = 0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD3: Viết phơng trình các cạnh của ∆ABC biết đờng cao và phân giác trong qua
đỉnh A, C lần lợt là: (d1): 3x - 4y + 27 = 0 và (d2): x + 2y - 5 = 0
Dạng 7 : Biết hai cạnh và trực tâm của tam giác.
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy
Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : x -5y + 22 = 0;
phơng trình cạnh AC : 4x y – - 7 = 0 Trực tâm (3 23; )
19 19
H Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
* Đáp số : A(3;5) ; B( -7;3) ; C(1; -3)
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy
Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : 5x -2y + 10 = 0;
phơng trình cạnh AC : 5x +3y - 15 = 0 Trực tâm (0; )6
5
H Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
Dạng 8 : Biết hai cạnh và trọng tâm của tam giác.
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy
Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : x -5y + 22 = 0;
phơng trình cạnh AC : 4x y – - 7 = 0 Trọng tâm ( 1; )5
3
G − Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy
Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : 5x -2y + 10 = 0;
phơng trình cạnh AC : 5x +3y - 15 = 0 Trọng tâm ( ; )1 5
3 3
G Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
* Đáp số : A(0;5) ; B( -2;0) ; C(3; 0)
Dạng 9: Biết hai cạnh và tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác.
VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy
Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : y -1 = 0;
phơng trình cạnh AC : x - 1 = 0 Tâm đờng tròn ngoại tiếp (3; )5
2
I Lập phơng trình cạnh BC của tam giác ABC.
• Đáp số : A(1;1) ; B( 5;1) ; C(1; 4)
VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy
Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : 3x y− + = 4 0 ;
phơng trình cạnh AC : 3x y+ − = 4 0 Tâm đờng tròn ngoại tiếp O(0;0) Lập phơng trình cạnh BC của tam giác ABC.
Dạng 10 : Biết trực tâm, trọng tâm của tam giác và phơng trình một cạnh Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác.
Vd1 Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : 3x y− + = 4 0 ;
Trang 3Trực tâm H(2 2 3; 2 2 3) − + ; trọng tâm (2 2 3 2 2 3; )
G − + Lập phơng trình cạnh
BC, CA của tam giác ABC.
VD2: Cho ∆ABC có A(-1; 5) và phơng trình đờng thẳng BC: x - 2y - 5 = 0 (xB < xC) biết I(0 ; 1) là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC.
1) Viết phơng trình các cạnh AB và AC.
2) Gọi A1, B1, C1 lần lợt là chân đờng cao vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác Tìm toạ độ các điểm A1, B1, C1
3) Gọi E là tâm đờng tròn nội tiếp ∆A1B1C1 Tìm toạ độ điểm E
Dạng 11 : Biết một cạnh, biết trọng tâm thuộc đờng thẳng (d) và diện tích tam giác Tìm toạ độ các đỉnh còn lại
VD1 Cho tam giác ABC có A(-2;-1); C(-1; 2)
trọng tâm G thuộc đờng thẳng 12x -3y - 4=0 Diện tích tam giác ABC là 9
Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C
• ĐS: A(-2;-1) ; B( 4;-1) ; C(-1; 2)
VD2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho ∆ABC có đỉnh A(2; -3) , B(3; -2) và diện tích ∆ABC bằng
2
3
Biết trọng tâm G của ∆ABC thuộc đờng thẳng d: 3x
- y - 8 = 0 Tìm toạ độ điểm C
Dạng 12: Dạng khác
VD1 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy Xét ∆ABC vuông tại A, phơng trình đờng thẳng BC là: 3x−y− 3=0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành
và bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 2 Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC.
VD2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy cho ∆ABC có: AB = AC,
= 90 0 Biết M(1; -1) là trung điểm cạnh BC và G 0
3
2; là trọng tâm ∆ABC Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C
VD3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho điểm A(0; 2) và B(− 3;−1) Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆OAB.
VD4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho ∆ABC có các đỉnh A(-1; 0); B(4; 0); C(0; m) với m ≠ 0 Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC theo m Xác định m để
∆GAB vuông tại G.
VD5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho ∆ABC và điểm M(-1; 1) là trung điểm của AB Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai đờng:
2x + y - 2 = 0 và x + 3y - 3 = 0
1) Xác định tọa độ ba đỉnh A, B, C của tam giác và viết phơng trình đờng cao CH.
2) Tính diện tích ∆ABC
VD6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho điểm A(8; 6).
a Lập phơng trình đờng thẳng qua A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12.
b Lập phơng trình đờng thẳng qua A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.
c Lập phơng trình đờng thẳng qua ∆ đi qua A; ∆cắt trục hoành tại B và∆cắt trục tung tại C sao cho A là trung điểm của BC.
Trang 4VD7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho hai điểm A(-1; 3), B(1; 1)
và đờng thẳng (d): y = 2x.
a) Xác định điểm C trên (d) sao cho ∆ABC là một tam giác đều
b) Xác định điểm C trên (d) sao cho ∆ABC là một tam giác cân.
VD8/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(2; 2) và các đờng thẳng:
d1: x + y - 2 = 0 d2: x + y - 8 = 0
Tìm toạ độ các điểm B và C lần lợt thuộc d1 và d2 sao cho ∆ABC vuông cân tại A
II Các bài tập liên quan đến hình bình hành, hình
chữ nhât, hình thoi, hình vuông
Dạng 1 : Biết tâm hình bình hành, biết hai điểm nằm trên hai cạnh đối và phơng trình một cạnh mà hai điểm không nằm trên.
VD1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho hai đờng thẳng: x + y - 1 = 0
và
3x - y + 5 = 0 Hãy tìm diện tích hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đờng thẳng đã cho, một đỉnh là giao điểm của hai đờng đó và giao điểm của hai đờng chéo
là I(3; 3).
VD2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy Cho hình bình hành ABCD, ( ; )7 3
2 2
I
là tâm của hình bình hành; E(1;3) thuộc đờng thẳng BC; F(2;0) thuộc đờng thẳng AD; phơng trình cạnh AB là : 3x - y - 3 =0 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D.
Dạng 2 : Biết tâm của hình vuông, biết hai điểm nằm trên hai cạnh đối.
VD1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy Cho hình vuông ABCD, với tâm của hình vuông là I(3;2) ; E(0;4) thuộc đờng thẳng BC; F(2;0) thuộc đờng thẳng AD Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D.
Dạng 3: Biết tâm của hình chữ nhật và hai điểm nằm trên hai cạnh đối, biết tỉ lệ giữa hai cạnh.
VD1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 0
2
1
; , phơng trình đờng thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm
Dạng 4: Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông biết hai đỉnh đối diện thuộc d1 và hai đỉnh còn lại thuộc d2 và d3
VD1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đờng thẳng
d1: x - y = 0 và d2: 2x + y - 1 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành
Dạng 5: Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông biết bốn điểm nằm trên bốn cạnh của hình vuông
VD1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho các điểm A(2; 1) B(0; 1) C(3; 5) D(-3; -1) Tính toạ độ các đỉnh hình vuông có hai cạnh song song đi qua A và C, hai cạnh song song còn lại đi qua B và D, biết rằng tọa độ các đỉnh hình vuông đều dơng.
III dựng hình vuông nội tiếp tam giác cho trớc
VD1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho các điểm A(-2; 0) B(4; 0) C(0; 6) Tìm M,N thuộc đoạn thẳng AB ; P thuộc đoạn thẳng BC và Q thuộc
đoạn thẳng AC sao cho MNPQ là hình vuông.
IV Vị trí tơng đối của hai điểm đối với đờng
thẳng
VD1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy Cho ( ) : ∆ x y− + = 2 0 và điểm
Trang 5A(-3;3); B(-5;1); C(-1;3)
a Tìm M thuộc đờng thẳng ∆ sao cho ( MA + MB ) là nhỏ nhất
b Tìm N thuộc đờng thẳng ∆sao cho NA NB− là lớn nhất
VD2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy Cho ( ) : ∆ x y− + = 2 0 và điểm A(-5;3); B(-3;1); C(-1;3) Tìm M thuộc đờng thẳng sao cho MAuuur+ 2MBuuur+ 3MCuuuur là nhỏ nhất
tam giác.
VD1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy Cho tam giác ABC với A(-1;2) ; B(3;5); C(7;-4) Lập phơng trình đờng phân giác trong góc A của tam giác trên.
Bài tập góc và khoảng cách :
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đ-ờng thẳng y = x - 2y - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đđ-ờng thẳng AB bằng 6.
2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các đờng thẳng:
d1: x + y + 3 = 0 d2: x - y - 4 = 0 d3: x - 2y = 0.
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đờng thẳng d2
3) Lập phơng trình đờng thẳng qua P(2; -1) sao cho đờng thẳng đó cùng với hai đờng thẳng (d1): 2x - y + 5 = 0 và (d2): 3x + 6y - 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2).
Đờng tròn :
1) Trên mặt phẳng toạ độ cho A(1, 0); B(0, 2); O(0, 0) và đờng tròn (C) có phơng trình:
(x - 1) 2 + 2
2
1
−y = 1 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua các giao điểm của đờng thẳng (C)
và đờng tròn ngoại tiếp ∆OAB.
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực Đêcác vuông góc Oxy cho đờng tròn:
(C): (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 4 và đờng thẳng d: x - y - 1 = 0
Viết phơng trình đờng tròn (C') đối xứng với đờng tròn (C) qua đờng thẳng d Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C').
3)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(2; 0) và B(6; 4) Viết phơng trình đờng tròn (C)
tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
4) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): x 2 + y 2 -2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(-3; 1) Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phơng trình đờng thẳng T1T2
5) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): x 2 + y 2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đờng thẳng d: x - y + 3 = 0 Tìm toạ độ điểm M nằm trên d sao cho đờng tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đờng tròn (C) tiếp xúc ngoại với đờng tròn (C)
6) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ∆ABC có A(0; 2) B(-2 -2) và C(4; -2) Gọi H là chân đờng cao kẻ từ B; M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và
BC Viết phơng trình đờng tròn đi qua các điểm H, M, N
7) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 và đờng thẳng d: 3x - 4y + m = 0 Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ đ ợc hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho ∆PAB đều
8) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hai đờng tròn:
(C1): x 2 + y 2 - 10x = 0, (C2): x 2 + y 2 + 4x - 2y - 20 = 0
a) Viết phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm nằm trên
đờng thẳng x + 6y - 6 = 0.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung của các đờng tròn (C1) và (C2)
Trang 69) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho hai đờng tròn:
(C1): x 2 + y 2 - 4y - 5 = 0 và (C2): x 2 + y 2 - 6x + 8y + 16 = 0
Viết phơng trình các tiếp tuyến chung hai đờng tròn (C1) và (C2)
10) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho đờng thẳng d: x - y + 1 = 0 và đờng tròn
(C): x 2 + y 2 + 2x - 4y = 0 Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng d mà qua đó ta kẻ đợc hai đ-ờng thẳng tiếp xúc với đđ-ờng tròn (C) tại A và B sao cho góc AMB bằng 60 0
11) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho đờng thẳng d: x - 7y + 10 = 0 Viết phơng
trình đờng tròn có tâm thuộc đờng thẳng ∆: 2x + y = 0 và tiếp xúc với đờng thẳng d tại điểm A(4; 2).
12) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy
Cho đờng tròn (S) có phơng trình: x 2 + y 2 - 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(2 ; 4)
a) Chứng minh rằng điểm M nằm trong đờng tròn.
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M, cắt đờng tròn tại hai điểm A và B sao cho M
là trung điểm của AB.
c) Viết phơng trình đờng tròn đối xứng với đờng tròn đã cho qua đờng thẳng AB.
Elip
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có phơng trình:
1
9
16
2
2
=
+y
x Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho
đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với (E) Xác định toạ độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
2) Trên mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip có phơng trình:
4x 2 + 3y 2 - 12 = 0 Tìm điểm trên elip sao cho tiếp tuyến của elip tại điểm đó cùng với các trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích nhỏ nhất.
3) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; 0) và Elip (E): 2 2 1
+ = Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng A, B đối xứng với nhau qua trục hoành va ∆ABC là tam giác
đều.
4) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy
Cho elip (E): 1
4 9
2 2
= + y
x và đờng thẳng dm: mx - y - 1 = 0
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng dm luôn cắt elíp (E) tại hai điểm phân biệt.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1; -3)
Các bài tập về phơng pháp toạ độ trong không gian mẫu mực Bài tập 1 :
Trong không gian cho 4 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0); D(5; 6 ; 4)
a Tìm M sao cho MA +2MB +3MC = 0
b Tìm I thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho IA + 2IB + 3IC nhỏ nhất
c Tìm K thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho KD−KB lớn nhất
d Tìm E thuộc mặt phẳng (Oxz) sao cho KD−KC lớn nhất
Bài tập 2 :
Trong không gian cho 4 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0); D(1; 3 ; 4) Cho mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0
a Tìm M sao cho MA +2MB +3MC = 0
b Tìm I thuộc mặt phẳng (P) sao cho IA + 2IB + 3IC nhỏ nhất
c Tìm H thuộc mặt phẳng (P) sao cho HB + HD là nhỏ nhất
Trang 7d Tìm K thuộc mặt phẳng (P) sao cho KD− KB lớn nhất
e Tìm E thuộc mặt phẳng (P) sao cho KD−KC lớn nhất
Bài tập 3:
Trong không gian cho 3 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0);
a Tìm M sao cho MA +2MB +3MC = 0
b Tìm I thuộc trục Ox sao cho IA + 2IB + 3IC nhỏ nhất
Bài tập 4:
Trong không gian cho 3 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0);
Cho đờng thẳng ( ∆ )có phơng trình :
1 2
1 1
2
−
=
−
=
x
a Tìm M sao cho MA +2MB +3MC = 0
b Tìm I thuộc đờng thẳng ( ∆ ) sao cho IA + 2IB + 3IC nhỏ nhất
Bài tập 5:
Trong không gian cho điểm A(4; -1; -2); B( 0; - 9; -14) và đờng thẳng ( ∆ ) có
ph-ơng trình :
3
3 2
2 1
2 = − = −
x Tìm M thuộc ( ∆ ) sao cho MA + MB nhỏ nhất
Bài tập 6:
Trong không gian cho tứ diện ABCD với A(3; 5; -1); B(7; 5; 3); C( 9; - 1; 5); D(5; 3;-3)
a Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm B ; C và điểm A; D cách đều mặt phẳng (P)
b Lập phơng trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó
c Lập phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
d Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD
e Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC
f Lập phơng trình trục đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài tập 7:
Lập phơng trình mặt phẳng đi qua Mo ( 1;1;1) cắt các tia Ox Oy, Oz lần lợt tại A,
B, C sao cho thể tích của OABC là nhỏ nhất
Bài tập 8:
Xác định k, m để ba mặt phẳng sau cùng đi qua một đờng thẳng :
(P) : 5x + ky + 4z + m =0
(Q) : 3x - 7y + z - 3 = 0
(R) : x - 9y - 2z + 5 = 0
Bài tập 9 :
Cho đờng thẳng (d) :
1
1 1
2 2
3
−
+
=
+
=
x và mặt phẳng ( P ) : x + y + z = 2 Gọi M
là giao điểm của (d) và (P) Viết phơng trình đờng thẳng ( )∆ nằm trong mặt phẳng (P) sao cho ( )∆ vuông góc với d và khoảng cách từ M đến ( )∆ là 42
Bài tập 10 :
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đờng thẳng (d):
1
1 1
2 2
3
−
+
=
+
=
điểm
M( 2; 3; - 4) Lập phơng trình đờng thẳng (∆) biết (∆) đi qua M, (∆) cắt và vuông góc với (d)
Bài tập 11 :
Trong không gian cho hai đờng thẳng :
Trang 8; 1
9 2
3 1
7 :
)
( 1
−
−
=
−
=
−
3 1
2 1
7 3 : ) ( 2
+
=
+
=
−
=
∆
t z
t y
t x
( t tham số, t thuộc R )
a CMR ( ∆1) chéo ( ∆2)
b Lập phơng trình đờng vuông góc chung của ( ∆1) và ( ∆2)
c Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng ( ∆1) và ( ∆2)
d Tìm A thuộc ( ∆1) và B thuộc ( ∆2) sao cho AB vuông góc với ( ∆1) và AB vuông góc với ( ∆2)
e Lập phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất sao cho ( ∆1) và ( ∆2) tiếp xúc với mặt cầu đó
f Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa ( ∆1) và mặt phẳng (P) song song với ( ∆2)
Tính khoảng cách từ ( ∆2) tới mặt phẳng (P)
g Lập phơng trình mặt phẳng (Q) chứa ( ∆2) và mặt phẳng (Q) song song với
) ( ∆1 Tính khoảng cách từ ( ∆1) tới mặt phẳng (Q)
h Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
Bài tập 12 :
Trong không gian cho mặt phẳng (P): x - 2y +2z - 5 = 0 và hai điểm A(- 3; 0; 1) và B(1; - 1; 3) Trong các đờng thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phơng trình đ-ờng thẳng mà khoảng cách từ B tới đđ-ờng thẳng đó là nhỏ nhất
Bài tập 13 :
Trong không gian toạ độ Oxyz cho đờng thẳng ;
4
2 1
3 : ) (
=
+
−
=
+
=
∆
z
t y
t x
( t tham số, t thuộc R )
2
2 1
1
2 : ) ' (∆ x+ = x = z− M0(1;1;2)
a Lập phơng trình đờng thẳng (d) đI qua M0, (d) cắt cả ( ∆ )và ( ∆ ' )
b Lập phơng trình đờng vuông góc chung của ( ∆ )và ( ∆ ' )
c Lập phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhât sao cho ( ∆ )và ( ∆ ' )tiếp xúc với mặt cầu đó
Bài tập 14 :
Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0, điểm A(1;1;3); B(2;4;7) Lập phơng trình (d) là tiếp tuyến của mặt cầu (S) tại A sao cho khoảng cách từ B tới (d)
là nhỏ nhất
Bài tập 15 :
2 4 : ) (
=
−
=
−
=
∆
t z
t y
t x
cho điểm M(1; 0; 5) Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua
M, (d) vuông góc và cắt ( ∆ )
Bài tập 16 :
Cho mặt phẳng (P) : 3x + 5y - z - 2 = 0; đờng thẳng (d) : ;
1
1 3
9 4
12 : ) ( x− = y− = z−
d
Trang 9Lập ( ∆ )là đờng thẳng nằm trong (P), ( ∆ ) vuông góc và cắt (d)
Bài tập 17 :
1 4
10 8
23 : ) (d1 x+ = y+ = z và 2 2 ;
2 3 : ) ( 2
=
−
−
=
+
=
t z
t y
t x
d
a Lập phơng trình mặt phẳng (P1) ; (P2) lần lợt đi qua (d1); (d2) và song song với nhau
b Lập ( ∆ )song song với trục Oz và cắt cả (d1) và (d2)
Bài tập 18 :
0 1 2
0 3 3
: ) ' (
; 0 1
0 1 2
: ) (
= +
−
= +
− +
∆
=
− +
−
= + +
∆
y x
z y x z
y x
y x
Chứng minh rằng ( ∆ )cắt ( ∆ ' ) và lập phơng trình các đờng phân giác của các góc tạo bởi ( ∆ )và ( ∆ ' )
Bài tập 19 :
Tìm tập hợp các điểm cách đều 3 điểm : A(1;1;1); B(-1;2;0); C(2; - 3; 2)
Bài tập 20 :
2 2
2 1
1 : ) ( 1
−
=
−
=
x
4 4
2 2
2 : ) ( 2
−
=
−
=
x
; 1
1 1
2 : ) ( 3 x = y = z−
1
1 2
2
2 : ) ( 4
−
−
=
=
x d
Lập phơng trình đờng thẳng cắt cả bốn đờng thẳng trên
Bài tập 21 :
Cho tứ diện ABCD với A(3;-5;1) ; B(7; 5; 3) ; C( 9; -1; 5) ; D( 5; 3; - 3)
a Lập phơng trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện
b Lập phơng trình mặt phẳng chứa A, C và cách đều B, D
Bài tập 22 :
Cho điểm A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c), a,b,c > 0 thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3 Xác
định a, b, c để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới mặt phẳng (ABC) là lớn nhất
Bài tập 23 :
Cho mặt phẳng (P): 5x + ky + 4z + m = 0 ; (Q): 3x - 7y + z - 3 = 0;
(R): x - 9y - 2z + 5 = 0 Tìm k, m để 3 mặt phẳng cùng đi qua một đờng thẳng
Bài tập 24 :
Cho mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0 ; (Q): mx - 2y + z + m - 1 = 0;
(R): mx + (m -1)y - z + 2m = 0 Tìm m để 3 mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau và tìm toạ độ giao điểm của chúng
Bài tập 25 :
Cho M0( 1; 2; 4) Lập phơng trình mặt phẳng cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz tại A,
B, C sao cho OA = OB = OC ( A, B, C khác O )
Bài tập 26 :
Cho M0( 1; 1; 1) Lập phơng trình mặt phẳng cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích OABC là nhỏ nhất
Bài tập 27 :
(S) : x2 + y2 + z2 - 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0
Xác định m để (S) là phơng trình mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất
Bài tập 28 :
(S) : x2 + y2 + z2 + 2x.cosα - 2ysinα - 4z - ( 4 + sin2 α ) = 0
Trang 10Xác định α để (S) là phơng trình mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất
Bài tập 29 :
a A(2;0;0); B(0; 4; 0); C(0;0;6) ; D(2;4;6) Tìm tập hợp các điểm M trong không
gian sao cho MA +MB +MC +MD = 4
b A(a;0;0); B(0; b; 0); C(0;0;c)
Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 = MO2 ; O là gốc toạ độ
Bài tập 30 :
Tứ diện ABCD có A(2;1;-1); B(3;0;1) ; C(2; -1;3) ;
Tìm D thuộc Oy sao cho thể tích ABCD bằng 5
Bài tập 31 :
Cho tam giác ABC với A(1;2;-1); B(2;-1;3) ; C(- 4; 7; 5)
a Tính độ dài đờng cao của tam giác ABC từ đỉnh A
b Tính độ dài đờng phân giác trong của tam giác ABC tại đỉnh B
Bài tập 32 :
Cho tam giác ABC với A( 1; 0; 0 ); B(0; 0; 1) ; C( 2; 1;1 )
a Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC
b Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài tập 33 :
; 2 1 1
:
)
(d1 x = y = z ;
1
2 1 : ) ( 2
+
=
=
−
=
t z
t y
t x
d (P): x - y - z = 0
Tìm M thuộc (d1) và N thuộc (d2) sao cho MN // mp(P) và MN = 2
Bài tập 34 :
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng (d1) và (d2)
Phơng trình (d1):
1 2
1 1
z y
x
=
+
= ; phơng trình (d2):
=
− +
= +
−
0 1 2
0 1 3
y x
z x
a Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau và vuông góc với nhau
b Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d) biết (d) cắt cả (d1) và (d2)
và song song
2
3 4
7 1
4 :
−
−
=
−
=
−
Bài tập 35 :
Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A( 1 ; 1 ; 2 ), B( 2 ; 0 ; 2 )
a Tỡm quỹ tớch cỏc điểm M sao cho MA2 −MB2 = 5
b Tỡm quỹ tớch cỏc điểm cỏch đều hai mặt phẳng (OAB)và (Oxy)
áp Dụng phơng pháp toạ độ giải các bài tập hình học kGian
I Dạng tam diện vuụng
Vớ dụ 1 Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c đụi một vuụng gúc Điểm
M cố định thuộc tam giỏc ABC cú khoảng cỏch lần lượt đến cỏc mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3 Tỡm a, b, c để thể tớch O.ABC nhỏ nhất