Cho đường tròn O; R, hai đường kính AH và DE.. Gọi M; N thứ tự là trung điểm của BH và HC.. Chứng minh DM, EN là các tiếp tuyến của O; R.. Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung
Trang 1PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
_
Câu I (6 điểm)
1 Chứng minh rằng: a Z thì A a 3 6a2 7a 12 luôn chia hết cho 6
2 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy, biết rằng xxyy xx 2 yy2
3 Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2
P
là số hữu tỉ
Giải :
1. a Z thì A a 3 6a2 7a 12 luôn chia hết cho 6
A = a3 – 6a2 – 7a + 12 A = a3 – a – 6a2 – 6a + 12
A = a(a – 1)(a + 1) – 6a2 – 6a + 12
Do a(a – 1)(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a+1) 6
Mặt khác – 6a2 – 6a + 12 6 nên A 6
2 Điều kiện: 1 x, y 9 và x,y nguyên
Ta có: xxyy xx 2 yy (1)2
x.100.11 + y.11= x2.112 + y2.112 100x + y = 11(x2 + y2)
=> (x y ) 11
=> x + y =11 ( với 2 x + y 18)) => (x; y) chỉ có thể là các cặp số:
(2; 9); (9; 2); (3; 8)); (8); 3); (4; 7); (7; 4); (5; 6); (6; 5) Thay lần lượt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 8) và y = 3 thỏa mãn.
Vậy số cần tìm là 8)3
P
(a b ) (b c ) (c a ) (a b b c )( ) ( b c c a )( ) ( c a a b )( )
2
P
Do a b c, , là các số hữu tỉ đôi một khác nhau nên P Q
Câu II (4 điểm)
1 Giải phương trình: x2 4x 5 2 2x 3
Trang 22 Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
5
Giải :
1.ĐK: 3
2
x
Ta có: x2 4x 5 2 2x 3 x2 2x 1 2x 3 2 2x 3 1 0
x
x
Vậy: phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
2 Ta có:
2 2
3 3
5
2 2
2 2
5
Vậy hệ có 2 nghiệm là: ( 5;0 ) ; ( 5;0 )
Câu III (4 điểm)
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thứcB x y z , biết rằng x y z , , là số
thực thoả mãn điều kiện: 2 2 3 2
1 2
x
y yz z
2 Cho a b c R, , và abc 2010
ab a bc b ca c Giải :
1 Ta có : y2 + yz + z2 = 1 -
2
3x2
2y2 + 2yz + 2z2 = 2 – 3x2
3x2 + 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 ( 1 )
x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 = 2
( x + y + z )2 + ( x – y )2 + ( x – z )2 = 2
Do ( x – y )2
0; ( x – z )2
0 nên suy ra ( x + y + z )2
2 Hay - 2 xyz 2
Dấu “ = ” xảy ra khi x – y = 0 và x – z = 0 hay x = y = z
Thay vào ( 1 ) ta có: 9x2 = 2; x =
3
2 ; x = -
3 2
Vậy Với: x = y = z = -
3
2 thì min B = - 2
Với: x = y = z =
3
2 thì max B = 2
2 Vì abc 2010suy ra a; b; c khác 0
Thay 2010 abc vào vế trái, ta có:
Trang 3
ab abc a abc bc b abc ca c
ab ac c b c ac ca c
1 1 1
ac c
ac c
Câu IV (6 điểm)
1 Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AH và DE Qua H kẻ tiếp tuyến với (O) cắt
AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C Gọi M; N thứ tự là trung điểm của BH và HC
a Chứng minh DM, EN là các tiếp tuyến của (O; R)
b Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
c Hai đường kính AH và DE của (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác AMN bé nhất?
2.Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, C là một điểm thuộc đường tròn đó Chứng minh rằng: Nếu ACO và BCO có bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau thì C là điểm chính giữa cung AB
Giải :
K
N
C M
B
I
H
O
E A
D
1.a) Ta có:
( vì tam giác DHO cân tại O)
( vì tam giác DMH cân tại M)
900
=
900 MDOD
MD là tiếp tuyến của (O;R)
Tương tự NE là tiếp tuyến của (O;R)
Trang 4b) Kẻ MK AN tại K và MK cắt AH tại I I là trực tâm của AMN
Ta chứng minh I là trung điểm của OH Thật vậy:
Do ABC vuông tại A, đường cao AH AH2 = BH.CH =
= = BHO AHN (c.g.c)
I là trung điểm của OH
Vậy trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH (đpcm)
c) Ta có: SAMN = = R.MN = (BH + HC) 2 = R = R = 2.R2
SAMN = 2R2 BH = HC ABC vuông cân tại A AH là phân giác của BAC cũng là phân giác của DAE Do đó: AD =AE hay tứ giác ADHE là hình vuông Suy ra: AHDE
Vậy min S AMN = 2R 2 AH DE (đpcm)
O
C
H
2. Ta có: 1 . 1 .
ACO
1 . 1 .
BCO
ACO BCO
Gọi r 1 ; r 2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác ACO và BCO
Ta có:
ACO
S r AC r OA r OC r AC R
BCO
S r BC r OB r OC r BC R
Vì SACO SBCO (theo (1)) nên 1 .( 2 )
2r AC R = 1
2r BC R Suy ra: AC BC hay AC BC Vậy C là điểm chính giưa của cung AB