Sở GD & ĐT Thanh HoáTrường THPT Quảng Xương II Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Bảng A Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề.. Khảo sát và vẽ đồ thị C.. Tìm m để fx có tập xác đị
Trang 1Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trường THPT Quảng Xương II Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Bảng A (Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề)
Bài1: (4 điểm)
Cho hàm số f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2 Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x=2 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)
(Đại học ngoại thương khối A năm 2000)
Bài2: (4 điểm)
1 Tính I=3
0
2
2 Cho f(x) = 2x + m + log2mx2- 2(m – 2)x+ 2m-1
Tìm m để f(x) có tập xác định làR.
Bài3: (4 điểm)
Giải phương trình: ln(sinx+1) = esinx-1.
Bài4: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
1 x z
1 z y
1 y x
Bài5: (4 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a Lấy M trong đoạn
AD' , N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a 2 ).
1 Chứng minh với x=
3
2 a thì MN ngắn nhất
2 Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của
AD'và DB
Bài6: (2 điểm)
Cho x,y,z 6 ; 2 Chứng minh:
2
2
1 1 y
sin
x sin z sin x
sin
z sin y sin z
sin
y sin x
sin
Trang 2Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trường THPT Quảng Xương II Đáp án Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài1
(4điểm)
1 (2điểm) Tập xác định: x
Chiều biến thiên: y'=3x2-12x+9
y'=0 x=1, x=3 Hàm số đạt cực đại tại x=1, y=3 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3, y=-1 Tính lồi lõm và điểm uốn
y'' =6x-12
Hàm số lồi x(,2) Hàm số lõm x(2,+)
Điểm uốn x=2, y=1 limy=+; limy=-
x->+ x->-
Bảng biến thiên
Đồ thị: x=0 =>y=-1 y=0 =>x3-6x2+9x-1=0 Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1
Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ chính xác đẹp
x - 1 3 +
y'
+ 0
-y'' 3 +
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 32 (2điểm) Xét A(2,a) trên đường x=2 Tiếp tuyến tại A có phương trình là: y=(3x02-12x0+9)(x-x0)+x03-6x02+9x0-1
Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi a=(3x02-12x0+9)(2-x0)+x03-6x02+9x0-1
2x03-12x02+24x0-17+a=0 (1)
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số tiếp tuyến qua A Xét g(x)= -2x3+12x2-24x+17
g'(x)=-6(x-2)2 0 x
g(x) luôn nghịch biến và có tập giá trị là (-,+) do đó phương trình (1) luôn có một nghiệm duy nhất
Vậy từ một điểm bất kỳ trên x=2 luôn kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (1)
0,5
0,5
0,5
0,5 1
(2điểm) I=3
0
2
) 1 x (
x dx = 3
0
x x1dx
=1 0
x 1xdx + 3
1
x x1dx
=1 0 2
1
x dx - 1
0 2
3
x dx+ 3
1 2
3
x dx -3
1 2
1
x dx
= 15
8 + 5
3 8
0,5
0,5
0,5 0,5
Bài 2
(4điểm)
2 (2điểm) Ta chỉ cần mx
2-2(m-2)x+2m-1>0 xR
Khi
0 4 m 3 m
0 m
2 '
1 m
4 m
0 m
=>m >1 Vậy m>1 thì f(x) có tập xác địnhR
0,5 0,5
0,5
0,5
Trang 4Bài 3
(4điểm) Điều kiện sinx-1, x- k2
2 (kZ)
Đặt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey
ta có hệ
) 2 ( 1 x sin e
) 1 ( 1 y e
y sinx
Lấy (1) trừ (2) ta có phương trình
esinx – ey = y-sinx
Nếu sinx > y thì esinx > ey Phương trình không có nghiệm Nếu sinx < y thì esinx < ey Phương trình không có nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm khi sinx=y thay vào (2) ta có: esinx=sinx+1 (3)
Xét f(x)= ex-x-1 với x-1
f'(x)= ex– 1=0 x=1 Vậy phương trình (3) có nghiệm sinx=0 =>x=k (kZ)
0,5
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5 0,5
Bài 4
(2điểm)
Ta có
) 3 ( x 1 z
) 2 ( z 1 y
) 1 ( y 1 x
điều kiện x,y,z 1
Nếu (x,y,z) là một nghiệm của hệ gọi x= min(x,y,z) thì
xy,xz (4)
z 1+ y =x =>zx Vậy z=x
xy => x y =>1+ x 1+ z
zy (5)
Từ (4) và (5) ta có x=y=z nên x=1+ x => x=y=z=
2
5
3
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 5(4®iÓm) (2®iÓm)1 Dùng MM
' AD; NN' AD
DNN'vu«ng c©n nªn AM'=MM'
Ta cã AM2= x2=2MM' 2 =>MM'=AM'=
2
2 x
V× N'DN c©n => N'D=N'N=
2
2 x
=> c©n MM'A = c©n NN'D
=>AM'=DN'=>AN'=DM'
M'N'= AD - 2AN'= x 2
M'N'=a -
2(a-2
2 x
)= x 2- a
MM'N t¹i M' nªn MN2
=M'M 2+M'N2=
2
2
x
+(M'N' 2+N'N2)=
2
2
x
+(x 2-a)2 +
2
2
x
=3x2-2ax 2+a2
§Æt f(x)=3x2-2ax 2+a2 xÐt trªn 0 a, 2
f'(x)= 6x- 2a 2=0 <=> x=
3
2
a
VËy f(x) nhá nhÊt khi x=
3
2
a
MN2=3
2
3
2 a
- 2a 3
2
a
2+a2
0,5
0,5
0,5
=
2
2a2
-3
4a2+a2 =
3
2
a => MN=
3
a
0,5
Trang 62 (2điểm) Xét MM'D: MD2=MM' 2+M'D2
= 2
3
2 a
+
2
2
2 3
2
a
9
5 9
4 9
2 2
a
và MN2=
3
2
a
DN2=x2=
9
2a2
=>MN2+DN2=
9
5a2
Ta lại có MD2=MN2+DN2=
9
5a2
Vậy MDN tại N =>MN DB Xét AN'N ta có AN2=AN' 2 +N'N2=
2
2
2 3
2
a
2
2
x = 9
5a2
AM=x=
3
2
a MN=
3
a nên AM2+MN2=
9
5a2 do đó
AN2=AM2+MN2 =>AMN tại M
MNAD Vậy MN là đường vuông góc chung
0,5
0,5
0,5 0,5
Bài6
(2
điểm)
Đặt sinx=a; siny=b; sinz=c thì a,b,c , 1
2 1
Ta có
abc
a c c b b a b
a c a
c b c
b
a ( )( )( )
Ta chứng minh
abc
a c c b b
2
1
a,b,c , 1
2 1
Đặt u=
c
a
; v=
c
b
; do 2
1
abc1 thì
2
1
uv1 ta chứng
minh:
uv
v u u
v )( 1 )( 1 )
2
1
ta có:
uv
v u u
v )( 1 )( 1 )
v
v v
2 1
) 1 )(
2
1 1 )(
2
1
= 1+
2
1
-v-v
v v
1 2 2
1 1 2
1
2
2
1
Dấu = khi u=
2
1
; v=
2
1 hay x=
6
; y=
4
; z=
2
0,5
0,5
0,5
0,5 Tài liệu tham khảo: 1 Đề thi Đại học của Bộ giáo dục xuất bản năm 1996
2 Báo toán học và tuỏi trẻ năm 2000